【变式1】（多选）下列四个命题中，是真命题的是 （）

A.$∃ x\in\mathbf{Q},x^2 -8=0$
B.所有的质数（素数）都是奇数
C.至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除
D.$∀ a\in\mathbf{R}$,二次函数 $y=x^2+2a$ 的图象都关于y轴对称

CD
使 $x^2-8=0$ 成立的数只有 $2\sqrt{2}$ 与 $-2\sqrt{2}$,但它们都不是有理数,A错误;
2 是质数,但 2 是偶数,B错误;
99 既能被 11 整除,又能被 9 整除,C正确;
$∀ a\in\mathbf{R}$,二次函数 $y=x^2+2a$ 的图象都关于 $y$ 轴对称,D正确.

【典例2】写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1) $∀ x≥2,x^2≥4$;
(2) $∃ x\in\mathbf{Z},x^2+2$是偶数;
(3) 能被3整除的数,也能被4整除.
解题指导 (1)和(2)先改换量词,再否定结论,进而判断真假.
(3)先将命题中隐含的量词补上,然后再改换量词、否定结论,进而判断真假.
答案 解:(1)命题的否定: $∃ x≥2,x^2＜4$,是假命题.
(2)命题的否定: $∀ x\in\mathbf{Z},x^2+2$都不是偶数,是假命题.
(3)原命题补上量词为“所有能被3整除的数,也能被4整除”,故该命题的否定为“存在一个能被3整除的数,不能被4整除”,是真命题.

解：
(1) 命题的否定：$∃ x≥ 2,x^2＜4$，是假命题。
(2) 命题的否定：$∀ x\in\mathbf{Z},x^2+2$都不是偶数，是假命题。
(3) 原命题隐含全称量词，补全表述为“所有能被3整除的数，也能被4整除”，因此该命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题。

【变式2】(1)命题“$∃ x＞0, x^2 -5x +6=0$”的否定为，是(填“真”或“假”)命题；
(2)命题“可以被5整除的数，末位数字是0”的否定为，是(填“真”或“假”)命题。

(1)$∀ x＞0,x^2-5x+6≠0$ 假 (2)有些可以被5整除的数,末位数字不是0(或存在一个可以被5整除的数,末位数字不是0) 真
(1)先把“$∃$”换为“$∀$”,然后否定结论,即原命题的否定为“$∀ x＞0,x^2-5x+6≠0$”,是假命题.
(2)原命题补上量词为“任意一个可以被5整除的数,末位数字都是0”,故其否定为“有些可以被5整除的数,末位数字不是0”(或“存在一个可以被5整除的数,末位数字不是0”),是真命题.

【典例3】(1)(多选)已知命题$p:∃ x\in\mathbf{R},x^2+4x+a=0$.若命题$p$是假命题,则实数$a$的取值范围可能是 （）
A.$\{a∣0＜a≤4\}$ B.$\{a∣ a＞10\}$
C.$\{a∣ a＞5\}$ D.$\{a∣ a＞4\}$
(2)若命题“$∀ x\in\{x∣0≤ x≤3\},x^2-4x-a≤0$”为真命题,则实数$a$的取值范围是.
解题指导(1)第1步:由命题$p$是假命题,得其命题的否定$¬ p$是真命题,故先写出$¬ p$.
第2步:根据$¬ p$是真命题,列出含$a$的不等式进行求解.
第3步:选项中实数$a$的取值范围应为上述不等式解集的子集.
(2)将原命题转化为“$x^2-4x≤ a$在$0≤ x≤3$上恒成立”的问题.
解析(1)因为命题$p$是假命题,所以命题$p$的否定是真命题,即$¬ p:∀ x\in\mathbf{R},x^2+4x+a≠0$,(因为由命题$p$是假命题不易求$a$的取值范围,而命题$p$是假命题等价于命题$p$的否定是真命题,故可从反面考虑)即一元二次方程$x^2+4x+a=0$无实数根,所以$\Delta=4^2-4a＜0$,解得$a＞4$.易得$\{a∣ a＞4\}$的子集皆符合题意.
(2)若命题“$∀ x\in\{x∣0≤ x≤3\},x^2-4x-a≤0$”为真命题,则$a≥ x^2-4x$在$0≤ x≤3$上恒成立,所以$a≥(x^2-4x)_{\max},x\in\{x∣0≤ x≤3\}$.根据二次函数的性质可知,当$x=0$时,函数$y=x^2-4x$取得最大值,最大值为$0$,所以$a≥0$.故实数$a$的取值范围是$\{a∣ a≥0\}$.
答案(1)BCD (2)$\{a∣ a≥0\}$

解：
(1) 因为命题$p$是假命题，所以其否定$¬ p: ∀ x \in \mathbf{R}, x^2 + 4x + a ≠ 0$为真命题，
即一元二次方程$x^2 + 4x + a = 0$无实数根，
因此判别式$\Delta = 4^2 - 4a ＜ 0$，
解得$a ＞ 4$。
选项B、C、D对应的集合均为$\{a ∣ a＞4\}$的子集，符合要求，选项A对应的集合不满足$a＞4$，不符合要求。
故选BCD。
(2) 命题“$∀ x \in \{x ∣ 0 ≤ x ≤ 3\}, x^2 - 4x - a ≤ 0$”为真命题，等价于$a ≥ x^2 - 4x$在$x \in [0,3]$上恒成立，
即$a$大于等于函数$f(x)=x^2 - 4x$在区间$[0,3]$上的最大值。
二次函数$f(x)=x^2 - 4x$开口向上，对称轴为$x=2$，在区间$[0,3]$上，当$x=0$时$f(x)$取得最大值$f(0)=0$，
因此$a ≥ 0$，即实数$a$的取值范围是$\{a ∣ a ≥ 0\}$。