12. △ ABC 与 △ A'B'C' 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)分别写出下列各点的坐标$: A(\underline{\qquad}, \underline{\qquad}), B(\underline{\qquad}, \underline{\qquad}), C(\underline{\qquad}, \underline{\qquad});(2)$若 △ A'B'C' 是由 △ ABC 平移得到的, P(x, y) 是 △ ABC 内部一点, 则 △ A'B'C' 内与点 P 相对应的点 P' 的坐标为$(\underline{\qquad}, \underline{\qquad});(3)$求 △ A'B'C' 的面积.

12.解:(1)1;3;2;0;3;1
(2)$x-4$;$y-2$
(3)$S_{△ A'B'C'}=2×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×2×2=2$.

【分析】
(1) 求点的坐标时，根据平面直角坐标系中坐标的定义，点的横坐标是点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标是向y轴作垂线对应的y轴数值，直接读取三个点的坐标即可。
(2) 平移中点的坐标变化规律是：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减。先选取一组对应点（如A和A'）计算平移的方向和距离，就能得到所有点平移后的坐标变化规律，进而写出P'的坐标。
(3) 平移不改变图形的面积，因此△A'B'C'的面积和△ABC的面积相等。对于网格中的三角形，采用割补法：将三角形放在一个可直接计算面积的矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
(1) 观察坐标系可得：
A点横坐标为1，纵坐标为3，即$A(1,3)$；
B点横坐标为2，纵坐标为0，即$B(2,0)$；
C点横坐标为3，纵坐标为1，即$C(3,1)$。
(2) 选取对应点$A(1,3)$和$A'(-3,1)$，计算坐标变化：
横坐标变化：$-3 - 1 = -4$，即向左平移4个单位；
纵坐标变化：$1 - 3 = -2$，即向下平移2个单位。
因此△ABC内任意点$P(x,y)$平移后对应点$P'$的坐标为$(x-4, y-2)$。
(3) 因为平移不改变图形的面积，故$S_{△A'B'C'}=S_{△ABC}$。
用割补法计算△ABC的面积：将△ABC置于长为3、宽为2的矩形中，矩形面积为$2×3=6$，减去周围三个直角三角形的面积：
第一个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，
第二个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×1=0.5$，
第三个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×2=2$，
因此$S_{△A'B'C'}=6 - 1.5 - 0.5 - 2 = 2$。
【答案】
(1) 1，3；2，0；3，1
(2) $x-4$，$y-2$
(3) 2
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标；平移的坐标规律；割补法求图形面积
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础综合题，核心考查坐标读取、平移规律和网格面积计算，解题的关键是掌握平移的坐标变化规则，以及割补法求不规则图形面积的思路，计算时注意不要漏减周边图形的面积即可。
【难度系数】
0.8

13. [2025·六安裕安区校级月考]在平面直角坐标系中,给出如下定义:点 P 到 x 轴、y 轴的距离的较大值称为点 P 的“长距”;当点 Q 到 x 轴、y 轴的距离相等时,称点 Q 为“完美点”.
(1)点$A(-3,5)$的长距为;
(2)若点$B(4-2a,-2)$是完美点,求 a 的值;
(3)若点$C(-2,3b-2)$的长距为 4,且点 C 在第二象限内,点 D 的坐标为$(9-2b,-5)$,试说明:点 D 是完美点.

13.解:(1)5
(2)$\because$点$B(4-2a,-2)$是完美点,$\therefore|4-2a|=|-2|$,$\therefore4-2a=2$或$4-2a=-2$,解得$a=1$或$a=3$.
(3)$\because$点$C(-2,3b-2)$的长距为 4,且点 C 在第二象限内,$\therefore3b-2=4$,解得$b=2$,$\therefore9-2b=5$,$\therefore$点 D 的坐标为$(5,-5)$.$\because$点 D 到 x 轴、y 轴的距离相等,$\therefore$点 D 是完美点.

【分析】
本题是结合平面直角坐标系的新定义题型，解题首先要准确理解两个核心定义：①“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，其中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值；②“完美点”是点到x轴、y轴的距离相等，即点的横、纵坐标的绝对值相等。解题时逐问应用定义即可：(1)分别计算点A到两轴的距离，取较大值即为长距；(2)根据完美点的定义列绝对值方程求解a；(3)先结合点C所在象限和长距的定义列方程求b的值，再代入得到点D的坐标，验证其横、纵坐标绝对值是否相等即可。
【解析】
(1) 点$A(-3,5)$到x轴的距离为$|5|=5$，到y轴的距离为$|-3|=3$，两者的较大值为5，因此长距为5。
(2) $\because$点$B(4-2a,-2)$是完美点，即点B到x轴、y轴的距离相等
$\therefore |4-2a|=|-2|$
$\therefore 4-2a=2$或$4-2a=-2$
解得$a=1$或$a=3$。
(3) $\because$点$C(-2,3b-2)$在第二象限，$\therefore$其纵坐标$3b-2＞0$
又$\because$点C的长距为4，点C到y轴的距离为$|-2|=2＜4$
$\therefore$点C到x轴的距离为4，即$3b-2=4$
解得$b=2$
将$b=2$代入点D的横坐标，得$9-2b=9-2×2=5$
$\therefore$点D的坐标为$(5,-5)$
$\because$点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，两者相等
$\therefore$点D是完美点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；
(2) $\boldsymbol{a=1}$或$\boldsymbol{a=3}$；
(3) 点D是完美点，理由见解析。
【知识点】
点到坐标轴的距离，绝对值方程求解，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心考查对新定义的理解与运用，结合平面直角坐标系的坐标性质、绝对值方程的求解设置问题，只要准确把握定义内容，就能逐步推导得出结果。
【难度系数】
0.75