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10. 若$a^2=25$，$\sqrt[3]{b}=-2$，则$a+b=(\quad)$。
A.$-3$
B.$-13$
C.$-3$或$-13$
D.$\pm13$或$\pm3$
A.$-3$
B.$-13$
C.$-3$或$-13$
D.$\pm13$或$\pm3$
答案
10. C
解析
【分析】
解题时应先分别求出a、b的取值，再计算a+b的结果。首先根据平方根的性质，平方等于25的数有两个，互为相反数，因此a有两个可能的取值；再根据立方根的性质，任意实数的立方根唯一，因此b只有一个确定值；最后分两种情况代入计算a+b即可，注意不要漏掉a的负取值。
【解析】
第一步：求a的取值
∵ $a^2=25$，正数的平方根有两个且互为相反数
∴ $a=\pm5$
第二步：求b的取值
∵ $\sqrt[3]{b}=-2$，将等式两边同时立方可得
∴ $b=(-2)^3=-8$
第三步：分情况计算a+b
① 当$a=5$时，$a+b=5+(-8)=-3$
② 当$a=-5$时，$a+b=-5+(-8)=-13$
因此a+b的值为-3或-13，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的运算，立方根的运算，有理数加法
【点评】
本题易错点是忽略正数的平方根有两个，仅计算a=5的情况导致漏解，掌握平方根和立方根的性质是解题的关键，做题时要注意分类讨论，不要遗漏符合条件的取值。
【难度系数】
0.7
解题时应先分别求出a、b的取值，再计算a+b的结果。首先根据平方根的性质，平方等于25的数有两个，互为相反数，因此a有两个可能的取值；再根据立方根的性质，任意实数的立方根唯一，因此b只有一个确定值；最后分两种情况代入计算a+b即可，注意不要漏掉a的负取值。
【解析】
第一步：求a的取值
∵ $a^2=25$，正数的平方根有两个且互为相反数
∴ $a=\pm5$
第二步：求b的取值
∵ $\sqrt[3]{b}=-2$，将等式两边同时立方可得
∴ $b=(-2)^3=-8$
第三步：分情况计算a+b
① 当$a=5$时，$a+b=5+(-8)=-3$
② 当$a=-5$时，$a+b=-5+(-8)=-13$
因此a+b的值为-3或-13，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的运算，立方根的运算，有理数加法
【点评】
本题易错点是忽略正数的平方根有两个，仅计算a=5的情况导致漏解，掌握平方根和立方根的性质是解题的关键，做题时要注意分类讨论，不要遗漏符合条件的取值。
【难度系数】
0.7
11. 计算:
(1) $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| + 2\sqrt{2}$；
(2) $(-2)^3 × \sqrt{(-4)^2} + \sqrt[3]{(-4)^3} × (-\dfrac{1}{2})^2 - \sqrt[3]{27}$。
(1) $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| + 2\sqrt{2}$；
(2) $(-2)^3 × \sqrt{(-4)^2} + \sqrt[3]{(-4)^3} × (-\dfrac{1}{2})^2 - \sqrt[3]{27}$。
答案
11. (1) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ (2) $-36$
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要根据绝对值的性质化简绝对值：先判断$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的大小，可知$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，所以$\sqrt{2}-\sqrt{3}$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，去绝对值后再合并同类二次根式即可。
（2）解决第二问要遵循实数混合运算的顺序：先算乘方、开方运算，再算乘法运算，最后算加减运算。分别计算各项的乘方、平方根、立方根结果后，按运算顺序逐步计算即可，注意符号的判断。
【解析】
（1）解：$\because \sqrt{3}＞\sqrt{2}$，$\therefore \sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$
$\therefore |\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
原式$=\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{2}$
$=\sqrt{3}+(-\sqrt{2}+2\sqrt{2})$
$=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
（2）解：先分别计算各部分运算：
$(-2)^3=-8$，$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$
$\sqrt[3]{(-4)^3}=-4$，$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，$\sqrt[3]{27}=3$
代入原式得：
原式$=-8×4 + (-4)×\dfrac{1}{4} - 3$
$=-32 + (-1) - 3$
$=-36$
【答案】
（1）$\sqrt{3}+\sqrt{2}$；（2）$-36$
【知识点】
绝对值的化简，平方根与立方根运算，实数混合运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题，解题的核心是熟练掌握绝对值、开方的运算法则，运算时严格遵循先乘方开方、再乘除、最后加减的顺序，尤其要注意负数相关运算的符号判断，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先要根据绝对值的性质化简绝对值：先判断$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的大小，可知$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，所以$\sqrt{2}-\sqrt{3}$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，去绝对值后再合并同类二次根式即可。
（2）解决第二问要遵循实数混合运算的顺序：先算乘方、开方运算，再算乘法运算，最后算加减运算。分别计算各项的乘方、平方根、立方根结果后，按运算顺序逐步计算即可，注意符号的判断。
【解析】
（1）解：$\because \sqrt{3}＞\sqrt{2}$，$\therefore \sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$
$\therefore |\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
原式$=\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{2}$
$=\sqrt{3}+(-\sqrt{2}+2\sqrt{2})$
$=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
（2）解：先分别计算各部分运算：
$(-2)^3=-8$，$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$
$\sqrt[3]{(-4)^3}=-4$，$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，$\sqrt[3]{27}=3$
代入原式得：
原式$=-8×4 + (-4)×\dfrac{1}{4} - 3$
$=-32 + (-1) - 3$
$=-36$
【答案】
（1）$\sqrt{3}+\sqrt{2}$；（2）$-36$
【知识点】
绝对值的化简，平方根与立方根运算，实数混合运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题，解题的核心是熟练掌握绝对值、开方的运算法则，运算时严格遵循先乘方开方、再乘除、最后加减的顺序，尤其要注意负数相关运算的符号判断，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.8
12. 计算：
(1) $\sqrt{5} + π$(结果精确到0.01)；
(2) $3\sqrt{3} + 2\sqrt[3]{2}$(结果精确到十分位)。
(1) $\sqrt{5} + π$(结果精确到0.01)；
(2) $3\sqrt{3} + 2\sqrt[3]{2}$(结果精确到十分位)。
答案
12. (1) 5.38 (2) 7.7
解析
【分析】
这是两道实数的近似计算题目，解题思路如下：首先需要明确题目要求的精确度，在计算时先将无理数取比要求的精确度多1位的近似值，再按照运算顺序计算，最后对结果按要求四舍五入得到符合精确度的答案。第(1)题要求精确到0.01，取√5和π的近似值时保留到小数点后三位即可；第(2)题要求精确到十分位，取√3和$\sqrt[3]{2}$的近似值时保留到小数点后两位即可。
【解析】
(1) 先取无理数的近似值：$\sqrt{5}\approx2.236$，$π\approx3.142$
代入计算：$\sqrt{5}+π\approx2.236+3.142=5.378$
将结果精确到0.01，四舍五入得：$5.378\approx5.38$
(2) 先取无理数的近似值：$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt[3]{2}\approx1.26$
代入计算：$3\sqrt{3}+2\sqrt[3]{2}\approx3×1.73 + 2×1.26=5.19+2.52=7.71$
将结果精确到十分位，四舍五入得：$7.71\approx7.7$
【答案】
(1) $\boxed{5.38}$；(2) $\boxed{7.7}$
【知识点】
无理数估值，近似数运算，实数加减
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握常见无理数的近似值取值方法，注意计算时要比最终要求的精确度多取一位小数，避免四舍五入带来的误差，只要细心计算就能拿到满分。
【难度系数】
0.8
这是两道实数的近似计算题目，解题思路如下：首先需要明确题目要求的精确度，在计算时先将无理数取比要求的精确度多1位的近似值，再按照运算顺序计算，最后对结果按要求四舍五入得到符合精确度的答案。第(1)题要求精确到0.01，取√5和π的近似值时保留到小数点后三位即可；第(2)题要求精确到十分位，取√3和$\sqrt[3]{2}$的近似值时保留到小数点后两位即可。
【解析】
(1) 先取无理数的近似值：$\sqrt{5}\approx2.236$，$π\approx3.142$
代入计算：$\sqrt{5}+π\approx2.236+3.142=5.378$
将结果精确到0.01，四舍五入得：$5.378\approx5.38$
(2) 先取无理数的近似值：$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt[3]{2}\approx1.26$
代入计算：$3\sqrt{3}+2\sqrt[3]{2}\approx3×1.73 + 2×1.26=5.19+2.52=7.71$
将结果精确到十分位，四舍五入得：$7.71\approx7.7$
【答案】
(1) $\boxed{5.38}$；(2) $\boxed{7.7}$
【知识点】
无理数估值，近似数运算，实数加减
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握常见无理数的近似值取值方法，注意计算时要比最终要求的精确度多取一位小数，避免四舍五入带来的误差，只要细心计算就能拿到满分。
【难度系数】
0.8
13. 已知一种长方体的书，长与宽相等，4本同样的书叠在一起成一个正方体，体积为$216\ \mathrm{cm}^3$，求这样一本书的高度.
答案
13. 1.5 cm
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：4本相同的书叠放成体积为216cm³的正方体，我们第一步需要根据正方体体积公式求出正方体的棱长；由于4本书叠放的总高度就等于正方体的棱长，且每本书高度相同，因此用总高度除以4，即可求出单本书的高度。
【解析】
解：设叠成的正方体的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据正方体体积公式$ V = x^3 $，代入体积$ 216 \, \mathrm{cm}^3 $可得：
$ x^3 = 216 $
因为$ 6^3 = 216 $，所以$ x = 6 $，即正方体的棱长为6cm。
4本书叠放的总高度等于正方体棱长，因此1本书的高度为：
$ 6 ÷ 4 = 1.5 \, (\mathrm{cm}) $
【答案】
1.5 cm
【知识点】
正方体体积公式，开立方运算，除法运算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是明确叠放后书的总高度等于正方体的棱长，先通过体积求出正方体棱长后再计算单本书高度，计算难度低，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：4本相同的书叠放成体积为216cm³的正方体，我们第一步需要根据正方体体积公式求出正方体的棱长；由于4本书叠放的总高度就等于正方体的棱长，且每本书高度相同，因此用总高度除以4，即可求出单本书的高度。
【解析】
解：设叠成的正方体的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据正方体体积公式$ V = x^3 $，代入体积$ 216 \, \mathrm{cm}^3 $可得：
$ x^3 = 216 $
因为$ 6^3 = 216 $，所以$ x = 6 $，即正方体的棱长为6cm。
4本书叠放的总高度等于正方体棱长，因此1本书的高度为：
$ 6 ÷ 4 = 1.5 \, (\mathrm{cm}) $
【答案】
1.5 cm
【知识点】
正方体体积公式，开立方运算，除法运算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是明确叠放后书的总高度等于正方体的棱长，先通过体积求出正方体棱长后再计算单本书高度，计算难度低，不易出错。
【难度系数】
0.8
14. 先阅读，再思考：
∵ $\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即 $2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，
∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为 2，小数部分为 $\sqrt{7} - 2$。
已知 $\sqrt{2}$ 的小数部分为 $a$，$\sqrt{3}$ 的小数部分为 $b$，求 $a + b + 2$ 的值。
∵ $\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即 $2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，
∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为 2，小数部分为 $\sqrt{7} - 2$。
已知 $\sqrt{2}$ 的小数部分为 $a$，$\sqrt{3}$ 的小数部分为 $b$，求 $a + b + 2$ 的值。
答案
14. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时我们可以参考题目给出的求无理数小数部分的方法：首先用“夹逼法”确定无理数在哪两个相邻的整数之间，得到它的整数部分，再用无理数减去整数部分即可得到小数部分。我们先分别求出$\sqrt{2}$的小数部分$a$和$\sqrt{3}$的小数部分$b$，再代入式子$a+b+2$计算即可。
【解析】
首先确定$\sqrt{2}$的范围：
∵ $\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即 $1＜\sqrt{2}＜2$
∴ $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，小数部分 $a=\sqrt{2}-1$
再确定$\sqrt{3}$的范围：
∵ $\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即 $1＜\sqrt{3}＜2$
∴ $\sqrt{3}$ 的整数部分是1，小数部分 $b=\sqrt{3}-1$
将$a$、$b$代入$a+b+2$计算：
$a+b+2=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-1)+2=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-1+2=\sqrt{2}+\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 代数式求值
3. 二次根式加减
【点评】
本题是典型的无理数小数部分求解问题，核心方法是用夹逼法确定无理数的整数部分，进而得到小数部分，整体运算量小，掌握估算无理数大小的方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以参考题目给出的求无理数小数部分的方法：首先用“夹逼法”确定无理数在哪两个相邻的整数之间，得到它的整数部分，再用无理数减去整数部分即可得到小数部分。我们先分别求出$\sqrt{2}$的小数部分$a$和$\sqrt{3}$的小数部分$b$，再代入式子$a+b+2$计算即可。
【解析】
首先确定$\sqrt{2}$的范围：
∵ $\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即 $1＜\sqrt{2}＜2$
∴ $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，小数部分 $a=\sqrt{2}-1$
再确定$\sqrt{3}$的范围：
∵ $\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即 $1＜\sqrt{3}＜2$
∴ $\sqrt{3}$ 的整数部分是1，小数部分 $b=\sqrt{3}-1$
将$a$、$b$代入$a+b+2$计算：
$a+b+2=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-1)+2=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-1+2=\sqrt{2}+\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 代数式求值
3. 二次根式加减
【点评】
本题是典型的无理数小数部分求解问题，核心方法是用夹逼法确定无理数的整数部分，进而得到小数部分，整体运算量小，掌握估算无理数大小的方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
15. 已知$3a + 1$的立方根是$-2$，$2b - 1$的算术平方根是$3$，$c$是$\sqrt{5}$的整数部分的$3$倍.
（1）求$a$，$b$，$c$的值；
（2）求$2a - b + \dfrac{9}{2}c$的平方根.
（1）求$a$，$b$，$c$的值；
（2）求$2a - b + \dfrac{9}{2}c$的平方根.
答案
15. (1) $a=-3, b=5, c=6$ (2) $\pm4$
解析
【分析】
解决本题首先要明确立方根、算术平方根的定义，以及无理数整数部分的估算方法：①若一个数的立方根是m，则这个数等于m³，据此可列方程求出a的值；②若一个数的算术平方根是n（n≥0），则这个数等于n²，据此列方程求出b的值；③先估算√5的范围，得到它的整数部分，再乘3得到c的值。第二问先把a、b、c的值代入代数式计算出结果，再根据平方根的定义求结果的平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
（1）求解a、b、c的值：
①
∵$3a + 1$的立方根是$-2$，根据立方根的定义，得：
$3a + 1 = (-2)^3 = -8$
解方程：$3a = -8 -1 = -9$，解得$a = -3$
②
∵$2b - 1$的算术平方根是$3$，根据算术平方根的定义，得：
$2b -1 = 3^2 =9$
解方程：$2b =9 +1=10$，解得$b=5$
③
∵$2=\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}=3$，
∴$\sqrt{5}$的整数部分是$2$
由题意得$c=2×3=6$
（2）求$2a - b + \dfrac{9}{2}c$的平方根：
把$a=-3$，$b=5$，$c=6$代入代数式，得：
$2a - b + \dfrac{9}{2}c = 2×(-3) -5 + \dfrac{9}{2}×6 = -6 -5 +27 =16$
∵$(±4)^2=16$，
∴16的平方根是$±4$
【答案】
(1) $a=-3, b=5, c=6$ (2) $\pm4$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查根式相关定义的应用和无理数的估算，解题时要注意区分算术平方根和平方根的区别，求平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要明确立方根、算术平方根的定义，以及无理数整数部分的估算方法：①若一个数的立方根是m，则这个数等于m³，据此可列方程求出a的值；②若一个数的算术平方根是n（n≥0），则这个数等于n²，据此列方程求出b的值；③先估算√5的范围，得到它的整数部分，再乘3得到c的值。第二问先把a、b、c的值代入代数式计算出结果，再根据平方根的定义求结果的平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
（1）求解a、b、c的值：
①
∵$3a + 1$的立方根是$-2$，根据立方根的定义，得：
$3a + 1 = (-2)^3 = -8$
解方程：$3a = -8 -1 = -9$，解得$a = -3$
②
∵$2b - 1$的算术平方根是$3$，根据算术平方根的定义，得：
$2b -1 = 3^2 =9$
解方程：$2b =9 +1=10$，解得$b=5$
③
∵$2=\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}=3$，
∴$\sqrt{5}$的整数部分是$2$
由题意得$c=2×3=6$
（2）求$2a - b + \dfrac{9}{2}c$的平方根：
把$a=-3$，$b=5$，$c=6$代入代数式，得：
$2a - b + \dfrac{9}{2}c = 2×(-3) -5 + \dfrac{9}{2}×6 = -6 -5 +27 =16$
∵$(±4)^2=16$，
∴16的平方根是$±4$
【答案】
(1) $a=-3, b=5, c=6$ (2) $\pm4$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查根式相关定义的应用和无理数的估算，解题时要注意区分算术平方根和平方根的区别，求平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.75
