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1. 填空。
(1)一个九位数,最高位上是奇数中最小的合数,百万位上是最小的合数,万位上是最大的一位数,千位上是2和3的最小公倍数,百位上是最小的质数,其余各位上都是最小的自然数,这个数写作(
(2)一个数既是8的倍数,又是32的因数,这个数可以是(
(3)48□既是2的倍数,又有因数3,□里可以填(
(4)如果$a=b+1$($a,b$都是非零自然数),那么$a$和$b$的最大公因数是(
(1)一个九位数,最高位上是奇数中最小的合数,百万位上是最小的合数,万位上是最大的一位数,千位上是2和3的最小公倍数,百位上是最小的质数,其余各位上都是最小的自然数,这个数写作(
904096200
),读作(九亿零四百零九万六千二百
),省略“亿”后面的尾数约是(9
)亿。(2)一个数既是8的倍数,又是32的因数,这个数可以是(
8,16,32
)。(3)48□既是2的倍数,又有因数3,□里可以填(
0,6
)。(4)如果$a=b+1$($a,b$都是非零自然数),那么$a$和$b$的最大公因数是(
1
),最小公倍数是(ab
)。答案
1. (1)904096200 九亿零四百零九万六千二百 9 (2)8,16,32 (3)0,6 (4)1 ab
解析
【分析】
本题包含4个小题，分别考查数的组成、读写、近似数，因数与倍数的综合应用，2和3的倍数特征，互质数的最大公因数与最小公倍数，解题思路如下：
1. 第(1)小题：先明确各个数位对应的数字，根据“奇数中最小的合数是9（最高位亿位）、最小的合数是4（百万位）、最大的一位数是9（万位）、2和3的最小公倍数是6（千位）、最小的质数是2（百位）、最小的自然数是0（其余各位）”，依次确定每个数位的数字，写出该数；再按照大数的读法规则读数；最后根据四舍五入法省略“亿”后面的尾数求近似数。
2. 第(2)小题：先找出32的所有因数，再从这些因数中筛选出是8的倍数的数，即为所求。
3. 第(3)小题：根据2的倍数特征，个位数字需是0、2、4、6、8；再结合3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数），计算4+8=12，12加上□里的数需是3的倍数，由此确定□的可能取值。
4. 第(4)小题：由a=b+1（a、b是非零自然数）可知，a和b是相邻的自然数，相邻自然数互质，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
【解析】
(1) 九位数的最高位是亿位：
奇数中最小的合数是9，所以亿位是9；
最小的合数是4，所以百万位是4；
最大的一位数是9，所以万位是9；
2和3的最小公倍数是6，所以千位是6；
最小的质数是2，所以百位是2；
最小的自然数是0，其余各位是0；
因此这个数写作：904096200；
读作：九亿零四百零九万六千二百；
省略“亿”后面的尾数，看千万位数字是0，小于5，舍去，约是9亿。
(2) 32的因数有：1、2、4、8、16、32；
其中是8的倍数的数有：8、16、32，所以这个数可以是8,16,32。
(3) 48□是2的倍数，□可填0、2、4、6、8；
各位数字和：4+8+□=12+□，需是3的倍数：
12+0=12，是3的倍数；
12+2=14，不是3的倍数；
12+4=16，不是3的倍数；
12+6=18，是3的倍数；
12+8=20，不是3的倍数；
所以□里可以填0,6。
(4) 因为a=b+1（a、b是非零自然数），所以a和b是相邻的自然数，相邻自然数互质，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积ab。
【答案】
1. (1)904096200 九亿零四百零九万六千二百 9 (2)8,16,32 (3)0,6 (4)1 ab
【知识点】
1. 数的读写与近似数
2. 因数与倍数的应用
3. 互质数的特征
【点评】
本题综合考查了整数的相关概念、因数倍数的性质以及2、3的倍数特征，需要学生熟练掌握各类数的定义和特征，注重基础概念的理解与灵活运用，题目覆盖知识点较多，有助于巩固数论相关基础内容。
【难度系数】
0.6
本题包含4个小题，分别考查数的组成、读写、近似数，因数与倍数的综合应用，2和3的倍数特征，互质数的最大公因数与最小公倍数，解题思路如下：
1. 第(1)小题：先明确各个数位对应的数字，根据“奇数中最小的合数是9（最高位亿位）、最小的合数是4（百万位）、最大的一位数是9（万位）、2和3的最小公倍数是6（千位）、最小的质数是2（百位）、最小的自然数是0（其余各位）”，依次确定每个数位的数字，写出该数；再按照大数的读法规则读数；最后根据四舍五入法省略“亿”后面的尾数求近似数。
2. 第(2)小题：先找出32的所有因数，再从这些因数中筛选出是8的倍数的数，即为所求。
3. 第(3)小题：根据2的倍数特征，个位数字需是0、2、4、6、8；再结合3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数），计算4+8=12，12加上□里的数需是3的倍数，由此确定□的可能取值。
4. 第(4)小题：由a=b+1（a、b是非零自然数）可知，a和b是相邻的自然数，相邻自然数互质，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
【解析】
(1) 九位数的最高位是亿位：
奇数中最小的合数是9，所以亿位是9；
最小的合数是4，所以百万位是4；
最大的一位数是9，所以万位是9；
2和3的最小公倍数是6，所以千位是6；
最小的质数是2，所以百位是2；
最小的自然数是0，其余各位是0；
因此这个数写作：904096200；
读作：九亿零四百零九万六千二百；
省略“亿”后面的尾数，看千万位数字是0，小于5，舍去，约是9亿。
(2) 32的因数有：1、2、4、8、16、32；
其中是8的倍数的数有：8、16、32，所以这个数可以是8,16,32。
(3) 48□是2的倍数，□可填0、2、4、6、8；
各位数字和：4+8+□=12+□，需是3的倍数：
12+0=12，是3的倍数；
12+2=14，不是3的倍数；
12+4=16，不是3的倍数；
12+6=18，是3的倍数；
12+8=20，不是3的倍数；
所以□里可以填0,6。
(4) 因为a=b+1（a、b是非零自然数），所以a和b是相邻的自然数，相邻自然数互质，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积ab。
【答案】
1. (1)904096200 九亿零四百零九万六千二百 9 (2)8,16,32 (3)0,6 (4)1 ab
【知识点】
1. 数的读写与近似数
2. 因数与倍数的应用
3. 互质数的特征
【点评】
本题综合考查了整数的相关概念、因数倍数的性质以及2、3的倍数特征，需要学生熟练掌握各类数的定义和特征，注重基础概念的理解与灵活运用，题目覆盖知识点较多，有助于巩固数论相关基础内容。
【难度系数】
0.6
2. 选择。
(1)自然数可以分为(
A. 奇数和合数
B. 质数和合数
C. 奇数和偶数
(2)96是16和12的(
A. 公倍数
B. 最小公倍数
C. 公因数
(3)$a$是自然数,$2a7a9a$是一个六位数,这个数一定是(
A. 2
B. 3
C. 5
(1)自然数可以分为(
C
)。A. 奇数和合数
B. 质数和合数
C. 奇数和偶数
(2)96是16和12的(
A
)。A. 公倍数
B. 最小公倍数
C. 公因数
(3)$a$是自然数,$2a7a9a$是一个六位数,这个数一定是(
B
)的倍数。A. 2
B. 3
C. 5
答案
2. (1)C (2)A (3)B
解析
【分析】
1. 第(1)题：先明确自然数的分类逻辑。按能否被2整除可将自然数分为奇数和偶数，该分类涵盖所有自然数；按因数个数分则是质数、合数和1，选项B遗漏了1，选项A中奇数和合数存在交叉（如9既是奇数又是合数），不能作为完整分类标准，因此选C。
2. 第(2)题：先确定16和12的最小公倍数，通过列举倍数可知其最小公倍数是48，96是48的倍数，所以96是16和12的公倍数；公因数是两个数共有的因数，96比16和12都大，不可能是公因数，因此选A。
3. 第(3)题：依据2、3、5的倍数特征判断。2的倍数要求个位是偶数，5的倍数要求个位是0或5，这里个位是自然数a，无法确定a的奇偶性或是否为0/5；而3的倍数要求各位数字之和是3的倍数，计算该六位数各位数字和：2+a+7+a+9+a=18+3a=3(6+a)，显然是3的倍数，因此选B。
【解析】
(1) 自然数按能否被2整除可分为奇数和偶数，选项A的分类存在交叉，选项B遗漏了自然数1，只有选项C是完整且正确的分类方式，故选C。
(2) 计算16和12的最小公倍数：16的倍数有16、32、48、96…，12的倍数有12、24、36、48、96…，二者最小公倍数是48，96是48的2倍，所以96是16和12的公倍数；公因数是小于等于两数的公共因数，96不符合，故选A。
(3) 计算六位数2a7a9a的各位数字之和：2+a+7+a+9+a=18+3a=3(6+a)，因为3(6+a)能被3整除，所以这个数一定是3的倍数；当a为奇数时，个位是奇数，不是2的倍数；当a不是0或5时，不是5的倍数，故选B。
【答案】
(1)C (2)A (3)B
【知识点】
1. 自然数分类
2. 公倍数概念
3. 3的倍数特征
【点评】
本题考查了自然数分类、公倍数定义以及2、3、5的倍数特征，需要准确掌握各类数的概念和特征，注意分类的完整性，避免因概念混淆选错答案。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)题：先明确自然数的分类逻辑。按能否被2整除可将自然数分为奇数和偶数，该分类涵盖所有自然数；按因数个数分则是质数、合数和1，选项B遗漏了1，选项A中奇数和合数存在交叉（如9既是奇数又是合数），不能作为完整分类标准，因此选C。
2. 第(2)题：先确定16和12的最小公倍数，通过列举倍数可知其最小公倍数是48，96是48的倍数，所以96是16和12的公倍数；公因数是两个数共有的因数，96比16和12都大，不可能是公因数，因此选A。
3. 第(3)题：依据2、3、5的倍数特征判断。2的倍数要求个位是偶数，5的倍数要求个位是0或5，这里个位是自然数a，无法确定a的奇偶性或是否为0/5；而3的倍数要求各位数字之和是3的倍数，计算该六位数各位数字和：2+a+7+a+9+a=18+3a=3(6+a)，显然是3的倍数，因此选B。
【解析】
(1) 自然数按能否被2整除可分为奇数和偶数，选项A的分类存在交叉，选项B遗漏了自然数1，只有选项C是完整且正确的分类方式，故选C。
(2) 计算16和12的最小公倍数：16的倍数有16、32、48、96…，12的倍数有12、24、36、48、96…，二者最小公倍数是48，96是48的2倍，所以96是16和12的公倍数；公因数是小于等于两数的公共因数，96不符合，故选A。
(3) 计算六位数2a7a9a的各位数字之和：2+a+7+a+9+a=18+3a=3(6+a)，因为3(6+a)能被3整除，所以这个数一定是3的倍数；当a为奇数时，个位是奇数，不是2的倍数；当a不是0或5时，不是5的倍数，故选B。
【答案】
(1)C (2)A (3)B
【知识点】
1. 自然数分类
2. 公倍数概念
3. 3的倍数特征
【点评】
本题考查了自然数分类、公倍数定义以及2、3、5的倍数特征，需要准确掌握各类数的概念和特征，注意分类的完整性，避免因概念混淆选错答案。
【难度系数】
0.7
3. 盒子里有36枚棋子,如果不是一次性拿出,也不是一枚一枚地拿出,但每次拿出的枚数要相同,那么共有几种不同的拿法?
答案
$36=2×18=3×12=4×9=6×6$ 答:共有7种不同的拿法。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：每次拿出的枚数×拿的次数=总枚数36，因此每次拿的枚数必须是36的因数。题目限制不能一次性拿出（排除拿36枚）、不能一枚一枚拿出（排除拿1枚），所以解题思路是：先找出36的所有正因数，再排除不符合条件的1和36，最后统计剩余因数的个数，注意像6×6这种情况，拿6枚只算一种拿法，不能重复计数。
【解析】
1. 对36进行因数分解，找出所有正因数：
$36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6$，可得36的正因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36。
2. 根据题意排除不符合条件的因数：
排除“一次性拿出”对应的36和“一枚一枚拿出”对应的1，剩余符合条件的因数为2、3、4、6、9、12、18，共7个。
3. 每个剩余因数对应一种拿法，因此共有7种不同拿法。
【答案】
7种
【知识点】
因数的应用
【点评】
本题考查因数在实际问题中的应用，解题关键是理解每次拿的枚数与总枚数的因数关系，同时要准确排除题目限制的情况，避免重复或遗漏拿法，锻炼学生对因数概念的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确：每次拿出的枚数×拿的次数=总枚数36，因此每次拿的枚数必须是36的因数。题目限制不能一次性拿出（排除拿36枚）、不能一枚一枚拿出（排除拿1枚），所以解题思路是：先找出36的所有正因数，再排除不符合条件的1和36，最后统计剩余因数的个数，注意像6×6这种情况，拿6枚只算一种拿法，不能重复计数。
【解析】
1. 对36进行因数分解，找出所有正因数：
$36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6$，可得36的正因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36。
2. 根据题意排除不符合条件的因数：
排除“一次性拿出”对应的36和“一枚一枚拿出”对应的1，剩余符合条件的因数为2、3、4、6、9、12、18，共7个。
3. 每个剩余因数对应一种拿法，因此共有7种不同拿法。
【答案】
7种
【知识点】
因数的应用
【点评】
本题考查因数在实际问题中的应用，解题关键是理解每次拿的枚数与总枚数的因数关系，同时要准确排除题目限制的情况，避免重复或遗漏拿法，锻炼学生对因数概念的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
4. 有两根铁丝,第一根长24 cm,第二根长30 cm。现在要把它们截成同样长的小段,每小段最长多少厘米?
答案
$24=2×2×2×3$ $30=2×3×5$ 24和30的最大公因数是6 答:每小段最长是6 cm。
解析
【分析】
要解决把两根不同长度的铁丝截成同样长的最长小段的问题，关键是理解“每小段最长”的含义：我们需要找到能同时整除24和30的最大数，也就是求24和30的最大公因数。可以通过分解质因数的方法求解：先分别把24和30分解为质因数相乘的形式，再找出它们共有的质因数，将这些共有的质因数相乘，得到的结果就是最大公因数，也就是每小段的最长长度。
【解析】
1. 分解24的质因数：
$24=2×2×2×3$
2. 分解30的质因数：
$30=2×3×5$
3. 找出24和30共有的质因数：2和3
4. 计算最大公因数：$2×3=6$
因此每小段最长是6厘米。
【答案】
每小段最长是6 cm。
【知识点】
最大公因数的应用、分解质因数
【点评】
本题将实际截铁丝的问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，考查学生对最大公因数概念的理解及运用分解质因数法求最大公因数的能力，帮助学生建立数学与生活的联系。
【难度系数】
0.8
要解决把两根不同长度的铁丝截成同样长的最长小段的问题，关键是理解“每小段最长”的含义：我们需要找到能同时整除24和30的最大数，也就是求24和30的最大公因数。可以通过分解质因数的方法求解：先分别把24和30分解为质因数相乘的形式，再找出它们共有的质因数，将这些共有的质因数相乘，得到的结果就是最大公因数，也就是每小段的最长长度。
【解析】
1. 分解24的质因数：
$24=2×2×2×3$
2. 分解30的质因数：
$30=2×3×5$
3. 找出24和30共有的质因数：2和3
4. 计算最大公因数：$2×3=6$
因此每小段最长是6厘米。
【答案】
每小段最长是6 cm。
【知识点】
最大公因数的应用、分解质因数
【点评】
本题将实际截铁丝的问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，考查学生对最大公因数概念的理解及运用分解质因数法求最大公因数的能力，帮助学生建立数学与生活的联系。
【难度系数】
0.8
5. 【提优挑战】用长18 cm、宽12 cm、高6 cm的长方体木块拼一个正方体,至少需要多少个这样的长方体木块?
答案
18,12,6的最小公倍数是36,这个正方体的棱长为36 cm。 $(36÷18)×(36÷12)×(36÷6)=36$(个) 答:至少需要36个这样的长方体木块。
解析
【分析】
要想用长方体木块拼成正方体，正方体的棱长必须是长方体长、宽、高的公倍数，要使使用的木块数量最少，正方体的棱长就应该是长方体长、宽、高的最小公倍数。首先需要求出18、12、6的最小公倍数，以此确定正方体的棱长；接着分别计算正方体棱长中包含多少个长方体的长、宽、高，最后将这三个方向的数量相乘，就能得到所需长方体木块的总数。
【解析】
1. 确定正方体的棱长：
求18、12、6的最小公倍数，对三个数分解质因数：
$18 = 2×3×3$，$12 = 2×2×3$，$6 = 2×3$
最小公倍数为$2×2×3×3 = 36$，即拼成的正方体棱长为36cm。
2. 计算各方向所需长方体数量：
长方向：$36÷18 = 2$（个）
宽方向：$36÷12 = 3$（个）
高方向：$36÷6 = 6$（个）
3. 计算总木块数：
$2×3×6 = 36$（个）
答：至少需要36个这样的长方体木块。
【答案】
36个
【知识点】
最小公倍数的应用、立体图形拼接
【点评】
本题考查了最小公倍数在立体图形拼接问题中的实际应用，需要结合正方体棱长相等的特征，明确正方体棱长与长方体长宽高的关系，通过求最小公倍数确定正方体棱长，再计算各方向的木块数量，锻炼了空间想象能力和运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.4
要想用长方体木块拼成正方体，正方体的棱长必须是长方体长、宽、高的公倍数，要使使用的木块数量最少，正方体的棱长就应该是长方体长、宽、高的最小公倍数。首先需要求出18、12、6的最小公倍数，以此确定正方体的棱长；接着分别计算正方体棱长中包含多少个长方体的长、宽、高，最后将这三个方向的数量相乘，就能得到所需长方体木块的总数。
【解析】
1. 确定正方体的棱长：
求18、12、6的最小公倍数，对三个数分解质因数：
$18 = 2×3×3$，$12 = 2×2×3$，$6 = 2×3$
最小公倍数为$2×2×3×3 = 36$，即拼成的正方体棱长为36cm。
2. 计算各方向所需长方体数量：
长方向：$36÷18 = 2$（个）
宽方向：$36÷12 = 3$（个）
高方向：$36÷6 = 6$（个）
3. 计算总木块数：
$2×3×6 = 36$（个）
答：至少需要36个这样的长方体木块。
【答案】
36个
【知识点】
最小公倍数的应用、立体图形拼接
【点评】
本题考查了最小公倍数在立体图形拼接问题中的实际应用，需要结合正方体棱长相等的特征，明确正方体棱长与长方体长宽高的关系，通过求最小公倍数确定正方体棱长，再计算各方向的木块数量，锻炼了空间想象能力和运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.4
