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1. 如图所示，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在格点上，平移△ABC，使点P落在平移后的三角形内部，在图中画出示意图。
答案
示意图如
所示。解析
【分析】
解决本题首先要回忆平移的核心性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，对应点的连线平行（或共线）且相等。解题时先观察点P和原△ABC的位置关系，确定合理的平移方向与平移格数，只要保证平移后的三角形能将点P包含在内部即可，平移方案不唯一。确定平移方案后，分别作出三个顶点平移后的对应点，再顺次连接对应点就能得到符合要求的图形。
【解析】
1. 确定平移方案：例如选择将△ABC向右平移4个格，再向上平移1个格（也可选择其他满足要求的平移方式）；
2. 分别找到点A、B、C按照上述方案平移后的对应点A'、B'、C'；
3. 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到平移后的△A'B'C'，此时点P落在△A'B'C'的内部，即为所求图形。
【答案】
示意图如所示。
【知识点】
平移的性质、平移作图
【点评】
本题属于基础的图形操作类题目，答案不唯一，只要平移后点P在三角形内部均符合要求，核心是掌握平移的性质，正确确定对应点的位置。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆平移的核心性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，对应点的连线平行（或共线）且相等。解题时先观察点P和原△ABC的位置关系，确定合理的平移方向与平移格数，只要保证平移后的三角形能将点P包含在内部即可，平移方案不唯一。确定平移方案后，分别作出三个顶点平移后的对应点，再顺次连接对应点就能得到符合要求的图形。
【解析】
1. 确定平移方案：例如选择将△ABC向右平移4个格，再向上平移1个格（也可选择其他满足要求的平移方式）；
2. 分别找到点A、B、C按照上述方案平移后的对应点A'、B'、C'；
3. 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到平移后的△A'B'C'，此时点P落在△A'B'C'的内部，即为所求图形。
【答案】
示意图如
所示。【知识点】
平移的性质、平移作图
【点评】
本题属于基础的图形操作类题目，答案不唯一，只要平移后点P在三角形内部均符合要求，核心是掌握平移的性质，正确确定对应点的位置。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D,E$分别在$AB,AC$上,$CE=BC$,连接$CD$,将线段$CD$绕点$C$按顺时针方向旋转$90°$后得$CF$,连接$EF$。
(1)补充完成图形；
(2)若$EF// CD$,求证:$∠ BDC=90°$。
(1)补充完成图形；
(2)若$EF// CD$,求证:$∠ BDC=90°$。
答案
(1)补全图形如
所示。(2)证明:由旋转的性质得∠DCF=90°,
∴ ∠DCE + ∠ECF = 90°。
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠DCE + ∠BCD = 90°,
∴ ∠ECF = ∠BCD。
∵ EF//DC,
∴ ∠EFC + ∠DCF = 180°,
∴ ∠EFC = 90°。在△BDC 和 △EFC 中, DC = FC, ∠BCD = ∠ECF,BC = EC,
∴ △BDC≌△EFC(SAS),
∴ ∠BDC = ∠EFC = 90°。
解析
【分析】
(1)补全图形思路：根据旋转的定义，以点C为旋转中心，将线段CD顺时针旋转90°得到CF，保证旋转后CD=CF且∠DCF=90°，再连接EF即可完成图形补全。
(2)证明题思路：要证∠BDC=90°，可通过证明∠BDC与已知90°角相等实现。结合已知CE=BC、旋转后CD=CF的条件，优先考虑证明△BDC和△EFC全等。首先利用旋转性质得∠DCF=90°，结合∠ACB=90°，通过同角的余角相等推出∠BCD=∠ECF，得到全等所需的一组等角；再结合EF//CD的条件，利用平行线同旁内角互补推出∠EFC=90°；最后用SAS判定两三角形全等，通过对应角相等即可得证。
【解析】
(1)补全图形：将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF，补全后的图形符合要求即可。
(2)证明：
由旋转的性质可得：∠DCF=90°，
∴ ∠DCE + ∠ECF = 90°。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠DCE + ∠BCD = 90°，
∴ ∠ECF = ∠BCD。
∵ EF//CD，
∴ ∠EFC + ∠DCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
代入∠DCF=90°得：∠EFC=90°。
在△BDC和△EFC中：
$\begin{cases} DC=FC \\ ∠ BCD=∠ ECF \\ BC=EC \end{cases}$
∴ △BDC≌△EFC（SAS），
∴ ∠BDC = ∠EFC = 90°，结论得证。
【答案】
(1)补全图形如所示。
(2)证明:由旋转的性质得∠DCF=90°,
∴ ∠DCE + ∠ECF = 90°。
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠DCE + ∠BCD = 90°,
∴ ∠ECF = ∠BCD。
∵ EF//DC,
∴ ∠EFC + ∠DCF = 180°,
∴ ∠EFC = 90°。在△BDC 和 △EFC 中, DC = FC, ∠BCD = ∠ECF,BC = EC,
∴ △BDC≌△EFC(SAS),
∴ ∠BDC = ∠EFC = 90°。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，融合了图形旋转、平行线、全等三角形三类核心知识点，解题关键是抓住旋转的性质找到全等三角形的对应边和对应角，能够有效锻炼几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
(1)补全图形思路：根据旋转的定义，以点C为旋转中心，将线段CD顺时针旋转90°得到CF，保证旋转后CD=CF且∠DCF=90°，再连接EF即可完成图形补全。
(2)证明题思路：要证∠BDC=90°，可通过证明∠BDC与已知90°角相等实现。结合已知CE=BC、旋转后CD=CF的条件，优先考虑证明△BDC和△EFC全等。首先利用旋转性质得∠DCF=90°，结合∠ACB=90°，通过同角的余角相等推出∠BCD=∠ECF，得到全等所需的一组等角；再结合EF//CD的条件，利用平行线同旁内角互补推出∠EFC=90°；最后用SAS判定两三角形全等，通过对应角相等即可得证。
【解析】
(1)补全图形：将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF，补全后的图形符合要求即可。
(2)证明：
由旋转的性质可得：∠DCF=90°，
∴ ∠DCE + ∠ECF = 90°。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠DCE + ∠BCD = 90°，
∴ ∠ECF = ∠BCD。
∵ EF//CD，
∴ ∠EFC + ∠DCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
代入∠DCF=90°得：∠EFC=90°。
在△BDC和△EFC中：
$\begin{cases} DC=FC \\ ∠ BCD=∠ ECF \\ BC=EC \end{cases}$
∴ △BDC≌△EFC（SAS），
∴ ∠BDC = ∠EFC = 90°，结论得证。
【答案】
(1)补全图形如
所示。(2)证明:由旋转的性质得∠DCF=90°,
∴ ∠DCE + ∠ECF = 90°。
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠DCE + ∠BCD = 90°,
∴ ∠ECF = ∠BCD。
∵ EF//DC,
∴ ∠EFC + ∠DCF = 180°,
∴ ∠EFC = 90°。在△BDC 和 △EFC 中, DC = FC, ∠BCD = ∠ECF,BC = EC,
∴ △BDC≌△EFC(SAS),
∴ ∠BDC = ∠EFC = 90°。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，融合了图形旋转、平行线、全等三角形三类核心知识点，解题关键是抓住旋转的性质找到全等三角形的对应边和对应角，能够有效锻炼几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
3.如图,有一个等腰直角三角尺ABC,将其绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C的位置,且A,C,B'三点共线。
(1)直接写出旋转角的度数;
(2)连接AA',BB'相交于点M,求证:点A与点A'关于点M成中心对称。
(1)直接写出旋转角的度数;
(2)连接AA',BB'相交于点M,求证:点A与点A'关于点M成中心对称。
答案
(1)旋转角的度数为135°。
(2)证明:
∵ △ABC 为等腰直角三角形,
∴ ∠ACB = 45°,∠ABC = 90°。根据旋转的性质,得 CA = CA',∠A'CB' = ∠ACB = 45°,∠A'B'C = ∠ABC = 90°。
∴ ∠CAA' = ∠CA'A。
∵ ∠A'CB' = ∠CAA' + ∠CA'A = 2∠CAA',
∴ ∠CAA' = ∠CA'A = 22.5°。同理可得∠CBB' = ∠CB'B = 22.5°。
∴ ∠CAA' = ∠CB'B。
∴ MA = MB'。
∵ ∠CAA' + ∠AA'B' = 90°,∠CB'B + ∠BB'A' = 90°,
∴ ∠AA'B' = ∠BB'A'。
∴ MB' = MA'。
∴ MA = MA'。
∴ 点A 与点A'关于点M 成中心对称。
(2)证明:
∵ △ABC 为等腰直角三角形,
∴ ∠ACB = 45°,∠ABC = 90°。根据旋转的性质,得 CA = CA',∠A'CB' = ∠ACB = 45°,∠A'B'C = ∠ABC = 90°。
∴ ∠CAA' = ∠CA'A。
∵ ∠A'CB' = ∠CAA' + ∠CA'A = 2∠CAA',
∴ ∠CAA' = ∠CA'A = 22.5°。同理可得∠CBB' = ∠CB'B = 22.5°。
∴ ∠CAA' = ∠CB'B。
∴ MA = MB'。
∵ ∠CAA' + ∠AA'B' = 90°,∠CB'B + ∠BB'A' = 90°,
∴ ∠AA'B' = ∠BB'A'。
∴ MB' = MA'。
∴ MA = MA'。
∴ 点A 与点A'关于点M 成中心对称。
解析
【分析】
(1) 先明确旋转角的定义：旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，本题旋转中心是点C，因此∠BCB'或∠ACA'为旋转角。已知△ABC是等腰直角三角形，可得∠ACB=45°，结合A、C、B'三点共线构成平角180°，用平角度数减去∠ACB的度数即可求出旋转角。
(2) 证明两点关于某点成中心对称，只需证明两点连线经过该点，且该点是连线中点，即本题需证点M在AA'上，且MA=MA'。首先利用旋转的性质得到对应边、对应角相等，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角性质推导角度关系，通过等角对等边得到MA=MB'、MA'=MB'，等量代换得到MA=MA'即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∵A、C、B'三点共线，
∴∠ACB'=180°，
旋转角为∠BCB'，
∴∠BCB'=180°-∠ACB=180°-45°=135°。
(2) 证明：
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB = 45°，∠ABC = 90°。
根据旋转的性质，得$CA = CA'$，$∠A'CB' = ∠ACB = 45°$，$∠A'B'C = ∠ABC = 90°$。
∴∠CAA' = ∠CA'A。
∵∠A'CB' = ∠CAA' + ∠CA'A = 2∠CAA'，
∴∠CAA' = ∠CA'A = 22.5°。
同理可得∠CBB' = ∠CB'B = 22.5°。
∴∠CAA' = ∠CB'B，
∴$MA = MB'$。
∵∠CAA' + ∠AA'B' = 90°，∠CB'B + ∠BB'A' = 90°，
∴∠AA'B' = ∠BB'A'，
∴$MB' = MA'$。
∴$MA = MA'$，
又
∵点M在AA'上，
∴点A与点A'关于点M成中心对称。
【答案】
(1) $\boxed{135°}$
(2) 证明如上，点A与点A'关于点M成中心对称。
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，中心对称的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将旋转性质和中心对称判定结合考查，解题的关键是抓住旋转前后边角的等量关系，灵活运用等腰三角形的性质推导边角关系，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确旋转角的定义：旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，本题旋转中心是点C，因此∠BCB'或∠ACA'为旋转角。已知△ABC是等腰直角三角形，可得∠ACB=45°，结合A、C、B'三点共线构成平角180°，用平角度数减去∠ACB的度数即可求出旋转角。
(2) 证明两点关于某点成中心对称，只需证明两点连线经过该点，且该点是连线中点，即本题需证点M在AA'上，且MA=MA'。首先利用旋转的性质得到对应边、对应角相等，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角性质推导角度关系，通过等角对等边得到MA=MB'、MA'=MB'，等量代换得到MA=MA'即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∵A、C、B'三点共线，
∴∠ACB'=180°，
旋转角为∠BCB'，
∴∠BCB'=180°-∠ACB=180°-45°=135°。
(2) 证明：
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB = 45°，∠ABC = 90°。
根据旋转的性质，得$CA = CA'$，$∠A'CB' = ∠ACB = 45°$，$∠A'B'C = ∠ABC = 90°$。
∴∠CAA' = ∠CA'A。
∵∠A'CB' = ∠CAA' + ∠CA'A = 2∠CAA'，
∴∠CAA' = ∠CA'A = 22.5°。
同理可得∠CBB' = ∠CB'B = 22.5°。
∴∠CAA' = ∠CB'B，
∴$MA = MB'$。
∵∠CAA' + ∠AA'B' = 90°，∠CB'B + ∠BB'A' = 90°，
∴∠AA'B' = ∠BB'A'，
∴$MB' = MA'$。
∴$MA = MA'$，
又
∵点M在AA'上，
∴点A与点A'关于点M成中心对称。
【答案】
(1) $\boxed{135°}$
(2) 证明如上，点A与点A'关于点M成中心对称。
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，中心对称的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将旋转性质和中心对称判定结合考查，解题的关键是抓住旋转前后边角的等量关系，灵活运用等腰三角形的性质推导边角关系，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
