登录
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO的方向平移后得到△O'A'B'，平移后点A'的横坐标为$6\sqrt{3}$，则点B'的坐标为（
A.$(8\sqrt{3}, -4\sqrt{3})$
B.$(8, -4\sqrt{3})$
C.$(8\sqrt{3}, -4)$
D.$(8, -4)$
C
）A.$(8\sqrt{3}, -4\sqrt{3})$
B.$(8, -4\sqrt{3})$
C.$(8\sqrt{3}, -4)$
D.$(8, -4)$
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们分三步思考：第一步先根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系，求出原△OAB中点A和点B的坐标；第二步根据点A和原点O的坐标求出射线AO的直线解析式，结合A'的横坐标算出A'的坐标，进而得到平移向量；第三步利用平移的性质，将点B的坐标加上平移向量就能得到B'的坐标。
【解析】
1. 求原点点A的坐标：
过点A作$AD ⊥ y$轴于点D，已知等边$△ OAB$边长为4，所以$OA=OB=4$，$∠ AOB=60°$。
在$Rt△ AOD$中，$∠ AOD=60°$，$∠ OAD=30°$，根据直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，得$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2} × 4=2$。
再由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
因为点A在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，所以$A(-2\sqrt{3},2)$。
2. 求原点点B的坐标：
因为$∠ AOB=60°$，$OB=4$，OB在y轴正半轴上，所以$B(0,4)$。
3. 求射线AO的解析式：
直线AO过原点$(0,0)$和$A(-2\sqrt{3},2)$，设解析式为$y=kx$，代入A点坐标得$2=-2\sqrt{3}k$，解得$k=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，所以直线AO的解析式为$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$。
4. 求点A'的坐标和平移向量：
平移后点A'在射线AO上，且横坐标为$6\sqrt{3}$，代入解析式得$y_{A'}=-\frac{1}{\sqrt{3}} × 6\sqrt{3}=-6$，即$A'(6\sqrt{3},-6)$。
平移向量为$A' - A=(6\sqrt{3}-(-2\sqrt{3}),-6-2)=(8\sqrt{3},-8)$。
5. 求点B'的坐标：
根据平移规律，图形上所有点的平移向量相同，所以$B'$的坐标为$(0+8\sqrt{3},4-8)=(8\sqrt{3},-4)$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质，一次函数解析式，坐标平移规律
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何图形和平移结合的典型题型，解题核心是准确求出原图形顶点坐标和平移向量，需要同学们熟练掌握等边三角形性质、直角三角形边角关系和平移的基本规律。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，我们分三步思考：第一步先根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系，求出原△OAB中点A和点B的坐标；第二步根据点A和原点O的坐标求出射线AO的直线解析式，结合A'的横坐标算出A'的坐标，进而得到平移向量；第三步利用平移的性质，将点B的坐标加上平移向量就能得到B'的坐标。
【解析】
1. 求原点点A的坐标：
过点A作$AD ⊥ y$轴于点D，已知等边$△ OAB$边长为4，所以$OA=OB=4$，$∠ AOB=60°$。
在$Rt△ AOD$中，$∠ AOD=60°$，$∠ OAD=30°$，根据直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，得$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2} × 4=2$。
再由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
因为点A在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，所以$A(-2\sqrt{3},2)$。
2. 求原点点B的坐标：
因为$∠ AOB=60°$，$OB=4$，OB在y轴正半轴上，所以$B(0,4)$。
3. 求射线AO的解析式：
直线AO过原点$(0,0)$和$A(-2\sqrt{3},2)$，设解析式为$y=kx$，代入A点坐标得$2=-2\sqrt{3}k$，解得$k=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，所以直线AO的解析式为$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$。
4. 求点A'的坐标和平移向量：
平移后点A'在射线AO上，且横坐标为$6\sqrt{3}$，代入解析式得$y_{A'}=-\frac{1}{\sqrt{3}} × 6\sqrt{3}=-6$，即$A'(6\sqrt{3},-6)$。
平移向量为$A' - A=(6\sqrt{3}-(-2\sqrt{3}),-6-2)=(8\sqrt{3},-8)$。
5. 求点B'的坐标：
根据平移规律，图形上所有点的平移向量相同，所以$B'$的坐标为$(0+8\sqrt{3},4-8)=(8\sqrt{3},-4)$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质，一次函数解析式，坐标平移规律
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何图形和平移结合的典型题型，解题核心是准确求出原图形顶点坐标和平移向量，需要同学们熟练掌握等边三角形性质、直角三角形边角关系和平移的基本规律。
【难度系数】
0.65
9. 在如图所示的四组图形中,左边图形与右边图形成中心对称的有
①②③
。(填序号)答案
9.①②③
解析
【分析】
要判断两个图形成中心对称，需依据中心对称的定义：把其中一个图形绕某一点旋转180°，若能与另一个图形完全重合，就说明这两个图形成中心对称。解题时只需依次对四组图形按照这个方法验证即可。
【解析】
根据中心对称的定义逐一判断：
1. 序号①：将左侧的“9”绕某点旋转180°后，刚好与右侧的“6”完全重合，因此左右两图成中心对称；
2. 序号②：将左侧的图形绕某点旋转180°后，与右侧图形完全重合，因此左右两图成中心对称；
3. 序号③：将左侧的“2”形图形绕某点旋转180°后，与右侧图形完全重合，因此左右两图成中心对称；
4. 序号④：将左侧的图形绕任意点旋转180°后，都无法与右侧的“2”形图形重合，因此左右两图不成中心对称。
综上，成中心对称的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
中心对称的判定
【点评】
本题是中心对称识别的基础题，解题的核心是牢记中心对称的判断规则：旋转180°后两图形完全重合，掌握该判定规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断两个图形成中心对称，需依据中心对称的定义：把其中一个图形绕某一点旋转180°，若能与另一个图形完全重合，就说明这两个图形成中心对称。解题时只需依次对四组图形按照这个方法验证即可。
【解析】
根据中心对称的定义逐一判断：
1. 序号①：将左侧的“9”绕某点旋转180°后，刚好与右侧的“6”完全重合，因此左右两图成中心对称；
2. 序号②：将左侧的图形绕某点旋转180°后，与右侧图形完全重合，因此左右两图成中心对称；
3. 序号③：将左侧的“2”形图形绕某点旋转180°后，与右侧图形完全重合，因此左右两图成中心对称；
4. 序号④：将左侧的图形绕任意点旋转180°后，都无法与右侧的“2”形图形重合，因此左右两图不成中心对称。
综上，成中心对称的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
中心对称的判定
【点评】
本题是中心对称识别的基础题，解题的核心是牢记中心对称的判断规则：旋转180°后两图形完全重合，掌握该判定规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10. 在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点的坐标分别为A(-2,1),B(1,3),将线段AB经过平移后得到线段A'B'。若点A的对应点A'的坐标是(3,2),则点B的对应点B'的坐标是
(6,4)
。答案
10.(6,4)
解析
【分析】
解决本题的核心是利用平移的性质：图形平移时，图形上所有点的平移方向和距离都相同，即对应点的横坐标变化量相等，纵坐标变化量也相等。解题时先根据点A到对应点A'的坐标计算出横、纵坐标的平移变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出B'的坐标。
【解析】
解：首先计算平移的坐标变化量：
点A的坐标为(-2,1)，对应点A'的坐标为(3,2)
横坐标的变化量：$3 - (-2) = 5$，即横坐标向右平移5个单位
纵坐标的变化量：$2 - 1 = 1$，即纵坐标向上平移1个单位
再将该变化量应用到点B(1,3)上：
B'的横坐标为$1 + 5 = 6$
B'的纵坐标为$3 + 1 = 4$
因此点B的对应点B'的坐标为(6,4)
【答案】
(6,4)
【知识点】
平移的坐标特征、点的坐标运算
【点评】
本题是平移变换的基础题，重点考查对平移前后对应点坐标变化规律的掌握情况，只要明确平移时所有点的坐标变化量一致，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是利用平移的性质：图形平移时，图形上所有点的平移方向和距离都相同，即对应点的横坐标变化量相等，纵坐标变化量也相等。解题时先根据点A到对应点A'的坐标计算出横、纵坐标的平移变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出B'的坐标。
【解析】
解：首先计算平移的坐标变化量：
点A的坐标为(-2,1)，对应点A'的坐标为(3,2)
横坐标的变化量：$3 - (-2) = 5$，即横坐标向右平移5个单位
纵坐标的变化量：$2 - 1 = 1$，即纵坐标向上平移1个单位
再将该变化量应用到点B(1,3)上：
B'的横坐标为$1 + 5 = 6$
B'的纵坐标为$3 + 1 = 4$
因此点B的对应点B'的坐标为(6,4)
【答案】
(6,4)
【知识点】
平移的坐标特征、点的坐标运算
【点评】
本题是平移变换的基础题，重点考查对平移前后对应点坐标变化规律的掌握情况，只要明确平移时所有点的坐标变化量一致，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.9
11. 如图所示,在直角三角形OAB中,∠AOB=30°,将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA₁B₁,则∠A₁OB=
70
°。答案
11.70
解析
【分析】
解决这道题的核心是利用旋转的性质，首先明确旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角就是旋转角，本题中△OAB绕点O逆时针旋转100°，可得旋转角∠AOA₁=100°，观察图形可知所求∠A₁OB是旋转角∠AOA₁与原∠AOB的差，代入已知角度计算即可。
【解析】
解：
∵△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA₁B₁，
∴旋转角∠AOA₁=100°，
又
∵已知∠AOB=30°，
∴∠A₁OB=∠AOA₁ - ∠AOB=100° - 30°=70°。
【答案】
70
【知识点】
旋转的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对旋转性质的理解应用，解题的关键是准确找到旋转角，结合图形的位置关系通过角的减法运算得到结果，熟练掌握旋转的相关性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.85
解决这道题的核心是利用旋转的性质，首先明确旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角就是旋转角，本题中△OAB绕点O逆时针旋转100°，可得旋转角∠AOA₁=100°，观察图形可知所求∠A₁OB是旋转角∠AOA₁与原∠AOB的差，代入已知角度计算即可。
【解析】
解：
∵△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA₁B₁，
∴旋转角∠AOA₁=100°，
又
∵已知∠AOB=30°，
∴∠A₁OB=∠AOA₁ - ∠AOB=100° - 30°=70°。
【答案】
70
【知识点】
旋转的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对旋转性质的理解应用，解题的关键是准确找到旋转角，结合图形的位置关系通过角的减法运算得到结果，熟练掌握旋转的相关性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.85
