4. 如图所示,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,点D在AC上,将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE。
(1)求∠DCE的度数；
(2)当AB=4,AD:DC=1:3时,求BD的长。

(1) ∠DCE = 90°
(2) $BD = \sqrt{10}$

【分析】
(1) 求∠DCE的度数时，首先利用旋转的性质，旋转前后的三角形全等，对应角相等，再结合等腰直角三角形底角为45°的特征，将∠ACB与旋转得到的∠BCE相加即可得到结果。
(2) 求BD的长时，先根据等腰直角三角形的边长关系算出AC的总长度，再按比例拆分得到AD、DC的长度；结合旋转性质得AD=CE，借助第一问得到的∠DCE=90°，用勾股定理算出DE的长度；最后根据旋转得到△BDE是等腰直角三角形，再次用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 解：
∵△ABD绕顶点B顺时针旋转90°得到△CBE
∴△ABD≌△CBE，
∴∠A=∠BCE
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°
∴∠A=∠ACB=45°
∴∠BCE=45°
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=45°+45°=90°
(2) 解：在等腰Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
∵$AD:DC=1:3$，
∴$AD=\frac{1}{4}AC=\sqrt{2}$，$DC=\frac{3}{4}AC=3\sqrt{2}$
由旋转性质可得：$AD=CE=\sqrt{2}$，$BD=BE$，$∠ DBE=90°$
由(1)知$∠ DCE=90°$，在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$DE^2=DC^2+CE^2=(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=18+2=20$
∵△DBE是等腰直角三角形，$∠ DBE=90°$
∴$BD^2+BE^2=DE^2$，又
∵$BD=BE$，
∴$2BD^2=20$
∴$BD^2=10$，
∵$BD＞0$，
∴$BD=\sqrt{10}$
【答案】
(1) $∠ DCE=90°$
(2) $BD=\sqrt{10}$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用旋转的对应边、对应角相等的性质，结合等腰直角三角形的特征和勾股定理逐步推导，要注意前后问题的关联，第一问的结论可直接作为第二问的已知条件使用。
【难度系数】
0.6

5. 如图所示，$△ ABC$的边$BC$在直线$m$上，$AC ⊥ BC$，且$AC = BC$，$△ DEF$的边$FE$也在直线$m$上，边$DF$与边$AC$重合，且$DF = EF$。
(1)在图①中，请你通过观察、思考，猜想并写出$AB$与$AE$所满足的数量关系和位置关系(不要求证明)；
(2)在$△ DEF$沿直线$m$向左平移到图②所示的位置时，$DE$交$AC$于点$G$，连接$AE$，$BG$。猜想$△ BCG$与$△ ACE$能否通过旋转重合。请证明你的猜想。

(1)AB = AE,AB ⊥ AE。
(2)将△BCG 绕点 C 顺时针旋转 90°后能与△ACE 重合。证明:
∵ AC ⊥ BC, DF ⊥ FE,
∴ ∠ACB = ∠ACE = ∠DFE = 90°, 又
∵ AC = BC, DF = EF,
∴ ∠DEF = ∠D = 45°。在△CEG 中,
∵ ∠ACE = 90°,
∴ ∠CGE + ∠GEC = 90°,
∴ ∠CGE = ∠GEC = 45°,
∴ CG = CE。在 △BCG 和 △ACE 中,
$\begin{cases} BC = AC, \\ ∠GCB = ∠ECA, \\ CG = CE, \end{cases}$
∴ △BCG≌△ACE(SAS),
∴ 将△BCG 绕点 C 顺时针旋转 90°后能与△ACE 重合。

【分析】
(1) 首先观察图形特征：△ABC是等腰直角三角形，AC=BC且AC⊥BC，△DEF也是等腰直角三角形且边DF与AC重合，可得BC=CE，AC垂直平分线段BE，由此可推出AB与AE的数量关系；再结合等腰直角三角形的锐角为45°，计算∠BAE的度数即可判断位置关系。
(2) 若两个三角形能通过旋转重合，首先需证明两三角形全等，再确定旋转中心、方向和角度：先根据等腰直角三角形的性质得∠DEF=45°，结合AC⊥BC的条件证△CEG为等腰直角三角形，得到CG=CE；再结合已知的BC=AC、两组直角相等，利用SAS判定△BCG≌△ACE，最后根据对应边BC与AC的夹角为90°，即可确定旋转方式。
【解析】
(1) AB=AE，AB⊥AE。
(2) 将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合，证明如下：
∵ AC ⊥ BC, DF ⊥ FE,
∴ ∠ACB = ∠ACE = ∠DFE = 90°,
又
∵ AC = BC, DF = EF,
∴ ∠DEF = ∠D = 45°。
在△CEG中,
∵ ∠ACE = 90°,
∴ ∠CGE + ∠GEC = 90°,
∴ ∠CGE = ∠GEC = 45°,
∴ CG = CE。
在 △BCG 和 △ACE 中,
$\begin{cases} BC = AC, \\ ∠GCB = ∠ECA, \\ CG = CE, \end{cases}$
∴ △BCG≌△ACE(SAS),
∴ 将△BCG 绕点 C 顺时针旋转 90°后能与△ACE 重合。
【答案】
(1) $AB=AE$，$AB⊥ AE$；
(2) 将$△ BCG$绕点$C$顺时针旋转$90°$后能与$△ ACE$重合，证明见解析。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；图形的旋转
【点评】
本题综合考查了等腰直角三角形、全等三角形、旋转的相关知识，解题的关键是结合等腰直角三角形的边、角特征找到全等的条件，再结合旋转的性质判断图形的变换方式，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7