三、解答题
16. 如图，点E,F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C。请说明：∠A=∠D。

16.解:因为BE = FC,所以BE + EF = CF + EF,即BF = CE. 又因为AB = DC,∠B = ∠C,所以△ABF ≌ △DCE(SAS).所以∠A = ∠D.

【分析】
要证明∠A=∠D，观察图形发现∠A和∠D分别属于△ABF和△DCE，因此只需证明这两个三角形全等，即可利用全等三角形对应角相等得到结论。已知条件给出了AB=DC、∠B=∠C，还缺少一组对应边相等的条件；结合已知BE=FC，根据等式的性质，在这两条相等线段上同时加上公共线段EF，就能得到BF=CE，刚好满足SAS的全等判定要求，即可完成证明。
【解析】
解：
∵ BE = FC，
∴ BE + EF = CF + EF，即BF = CE。
在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}AB = DC（已知）\\∠B = ∠C（已知）\\BF = CE（已证）\end{array} $
∴ △ABF ≌ △DCE（SAS）
∴ ∠A = ∠D（全等三角形的对应角相等）
【答案】
∠A=∠D
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；等式的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题核心是先通过线段的和差关系推导得到全等判定所需的边相等条件，再利用SAS判定三角形全等，最终通过全等的性质得到对应角相等，属于全等判定的典型基础习题。
【难度系数】
0.85

17. 如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠1=∠2,∠3=∠4.
请说明:(1)△ABC≌△ADC;
(2)BO=DO.

17.解:(1)在△ABC和△ADC中,$\begin{cases}∠1 = ∠2,\\AC = AC,\\∠3 = ∠4,\end{cases}$
所以△ABC≌△ADC(ASA).
(2)因为△ABC≌△ADC,所以AB = AD.
又因为∠1 = ∠2,AO = AO,所以△ABO ≌ △ADO(SAS).所以BO = DO.

【分析】
（1）要证明△ABC≌△ADC，先梳理已知条件：题目给出∠1=∠2、∠3=∠4，且△ABC和△ADC共享公共边AC，刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，可直接证明两三角形全等。
（2）要证明BO=DO，可转化为证明BO、DO所在的△ABO和△ADO全等。借助第(1)问的全等结论可得到AB=AD，再结合已知的∠1=∠2，以及两三角形共享的公共边AO，满足边角边（SAS）的全等判定条件，证得△ABO≌△ADO后，根据全等三角形对应边相等即可得到BO=DO。
【解析】
(1) 在△ABC和△ADC中，
$\begin{cases}∠1 = ∠2,\\AC = AC,\\∠3 = ∠4,\end{cases}$
所以△ABC≌△ADC（ASA）。
(2) 由(1)得△ABC≌△ADC，根据全等三角形对应边相等，可得AB = AD。
在△ABO和△ADO中，
$\begin{cases}AB = AD,\\∠1 = ∠2,\\AO = AO,\end{cases}$
所以△ABO ≌ △ADO（SAS），根据全等三角形对应边相等，可得BO = DO。
【答案】
(1)在△ABC和△ADC中,$\begin{cases}∠1 = ∠2,\\AC = AC,\\∠3 = ∠4,\end{cases}$所以△ABC≌△ADC(ASA)。
(2)因为△ABC≌△ADC,所以AB = AD。又因为∠1 = ∠2,AO = AO,所以△ABO ≌ △ADO(SAS)，所以BO = DO。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题时需注意挖掘公共边等隐含条件，结合已知和已证结论合理选用全等判定定理即可完成推导，是巩固全等三角形知识的典型习题。
【难度系数】
0.8

18. 如图,已知$AC⊥BC,BD⊥AD,AC$与$BD$交于点$O,AC=BD$.
请说明:(1)$BC=AD$;
(2)$△ OAB$是等腰三角形.

18.解:(1)因为AC ⊥ BC,BD ⊥ AD,所以∠ADB = ∠ACB = 90°,在Rt△ABC和Rt△BAD中,
因为$\begin{cases}AB = BA,\\AC = BD,\end{cases}$
所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),所以BC = AD.
(2)因为Rt△ABC≌Rt△BAD,所以∠CAB = ∠DBA,
所以OA = OB,
所以△OAB是等腰三角形.

【分析】
(1) 要证明线段BC=AD，通常可证明两条线段所在的三角形全等。由已知AC⊥BC、BD⊥AD，可得△ADB和△ACB都是直角三角形，已知AC=BD，且两个三角形有公共斜边AB，因此可通过HL定理证明Rt△ABC≌Rt△BAD，根据全等三角形对应边相等即可得到BC=AD。
(2) 要证明△OAB是等腰三角形，只需证明该三角形有两条边相等或者两个内角相等。由(1)中已证的三角形全等，可得对应角∠CAB=∠DBA，根据等角对等边可推出OA=OB，即可判定△OAB为等腰三角形。
【解析】
(1) 因为AC ⊥ BC，BD ⊥ AD，所以∠ADB = ∠ACB = 90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，
$\begin{cases}AB = BA\\AC = BD\end{cases}$
所以Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），根据全等三角形对应边相等，可得BC = AD。
(2) 由(1)可知Rt△ABC≌Rt△BAD，根据全等三角形对应角相等，可得∠CAB = ∠DBA，根据等角对等边可得OA = OB，所以△OAB是等腰三角形。
【答案】
(1) BC=AD；
(2) △OAB是等腰三角形。
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形的基础综合题，解题的关键是挖掘图中的公共边这一隐含条件，结合已知的垂直和线段相等条件证明直角三角形全等，再利用全等的性质推导角相等，进而判定等腰三角形，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8