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一、填空。
1. $ 6 : ($$)$$$) = 18 : 30 $ $ 4.5 : 0.15 = ()______$) : 3.2 $
1. $ 6 : ($$)$$$) = 18 : 30 $ $ 4.5 : 0.15 = ()______$) : 3.2 $
答案
10
96
96
解析
【分析】
这两道题考查比例基本性质的应用，解题思路是利用“在比例里，两个内项的积等于两个外项的积”这一核心性质，通过设未知数列等式来求解未知项。对于第一个比例，已知两个外项和一个内项，求另一个内项；第二个比例已知一个内项和两个外项中的一个，求另一个外项，均通过内项积与外项积相等的关系计算。
【解析】
1. 设第一个空的数为$ x $，根据比例的基本性质：内项积=外项积，可得：
$ 18x = 6×30 $
计算右边：$ 6×30=180 $
则$ x = 180÷18 = 10 $
2. 设第二个空的数为$ y $，同理根据比例的基本性质：
$ 0.15y = 4.5×3.2 $
计算右边：$ 4.5×3.2=14.4 $
则$ y = 14.4÷0.15 = 96 $
【答案】
10；96
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题是比例基本性质的基础应用，解题关键是牢记“内项积等于外项积”的性质，通过简单乘除运算即可求出未知项，能帮助学生巩固比例的核心概念，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
这两道题考查比例基本性质的应用，解题思路是利用“在比例里，两个内项的积等于两个外项的积”这一核心性质，通过设未知数列等式来求解未知项。对于第一个比例，已知两个外项和一个内项，求另一个内项；第二个比例已知一个内项和两个外项中的一个，求另一个外项，均通过内项积与外项积相等的关系计算。
【解析】
1. 设第一个空的数为$ x $，根据比例的基本性质：内项积=外项积，可得：
$ 18x = 6×30 $
计算右边：$ 6×30=180 $
则$ x = 180÷18 = 10 $
2. 设第二个空的数为$ y $，同理根据比例的基本性质：
$ 0.15y = 4.5×3.2 $
计算右边：$ 4.5×3.2=14.4 $
则$ y = 14.4÷0.15 = 96 $
【答案】
10；96
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题是比例基本性质的基础应用，解题关键是牢记“内项积等于外项积”的性质，通过简单乘除运算即可求出未知项，能帮助学生巩固比例的核心概念，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
2. $ \frac{24}{( )\_\_\_\_\_$)}=12 : ()______$)=\frac{3}{8}=( )$_________$$) ÷ 24 = ()______$) \% $
答案
64
32
9
37.5
32
9
37.5
解析
【分析】
这道题是围绕分数$\frac{3}{8}$展开的多形式转化题，解题思路是利用分数的基本性质、分数与比、除法的关系，以及分数化百分数的方法来逐个求解每个空：
1. 对于$\frac{24}{( )}=\frac{3}{8}$，根据分数的基本性质，分子从3变为24是乘了8，那么分母也需乘8，即可得到分母的值；
2. 对于$12:( )=\frac{3}{8}$，比的前项相当于分数的分子，前项3变为12是乘了4，比的后项相当于分数的分母，所以分母也需乘4，得到后项的值；
3. 对于$( )÷24=\frac{3}{8}$，除法中的除数相当于分数的分母，分母8变为24是乘了3，被除数相当于分数的分子，所以分子也需乘3，得到被除数的值；
4. 对于$\frac{3}{8}=( )\%$，先将分数转化为小数，再把小数转化为百分数即可。
【解析】
1. 求第一个空：
因为$\frac{3}{8}=\frac{24}{( )}$，分子$3×8=24$，根据分数的基本性质，分母$8×8=64$，所以第一个空填64；
2. 求第二个空：
因为$\frac{3}{8}=12:( )$，比的前项$3×4=12$，根据比与分数的关系及比的基本性质，比的后项$8×4=32$，所以第二个空填32；
3. 求第三个空：
因为$\frac{3}{8}=( )÷24$，除数$8×3=24$，根据除法与分数的关系及分数的基本性质，被除数$3×3=9$，所以第三个空填9；
4. 求第四个空：
计算$3÷8=0.375$，将小数转化为百分数：$0.375×100\%=37.5\%$，所以第四个空填37.5。
【答案】
64；32；9；37.5
【知识点】
分数与比、除法互化，分数的基本性质，百分数的转化
【点评】
本题考查分数、比、除法、百分数之间的相互转化，核心是掌握它们之间的内在联系及分数的基本性质，属于基础题型，能有效巩固相关概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8
这道题是围绕分数$\frac{3}{8}$展开的多形式转化题，解题思路是利用分数的基本性质、分数与比、除法的关系，以及分数化百分数的方法来逐个求解每个空：
1. 对于$\frac{24}{( )}=\frac{3}{8}$，根据分数的基本性质，分子从3变为24是乘了8，那么分母也需乘8，即可得到分母的值；
2. 对于$12:( )=\frac{3}{8}$，比的前项相当于分数的分子，前项3变为12是乘了4，比的后项相当于分数的分母，所以分母也需乘4，得到后项的值；
3. 对于$( )÷24=\frac{3}{8}$，除法中的除数相当于分数的分母，分母8变为24是乘了3，被除数相当于分数的分子，所以分子也需乘3，得到被除数的值；
4. 对于$\frac{3}{8}=( )\%$，先将分数转化为小数，再把小数转化为百分数即可。
【解析】
1. 求第一个空：
因为$\frac{3}{8}=\frac{24}{( )}$，分子$3×8=24$，根据分数的基本性质，分母$8×8=64$，所以第一个空填64；
2. 求第二个空：
因为$\frac{3}{8}=12:( )$，比的前项$3×4=12$，根据比与分数的关系及比的基本性质，比的后项$8×4=32$，所以第二个空填32；
3. 求第三个空：
因为$\frac{3}{8}=( )÷24$，除数$8×3=24$，根据除法与分数的关系及分数的基本性质，被除数$3×3=9$，所以第三个空填9；
4. 求第四个空：
计算$3÷8=0.375$，将小数转化为百分数：$0.375×100\%=37.5\%$，所以第四个空填37.5。
【答案】
64；32；9；37.5
【知识点】
分数与比、除法互化，分数的基本性质，百分数的转化
【点评】
本题考查分数、比、除法、百分数之间的相互转化，核心是掌握它们之间的内在联系及分数的基本性质，属于基础题型，能有效巩固相关概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8
3. 把 15 个篮球放进 4 个球筐里，总有一个球筐里至少放进()个篮球。
答案
4
解析
【分析】
这是一道抽屉原理的基础应用题，解题思路是先将篮球尽可能平均分配到各个球筐中，再根据剩余篮球的情况确定“至少”的数量。首先计算15个篮球平均放进4个球筐时每个球筐能放的数量和剩余数量，因为剩余的篮球还要放进球筐里，所以总有一个球筐里的篮球数量会是平均数量加1。
【解析】
第一步：计算平均每个球筐放的篮球数及剩余数量
15÷4 = 3（个）……3（个），即每个球筐先放3个篮球，还剩余3个篮球。
第二步：分析剩余篮球的放置
剩余的3个篮球无论怎么放进4个球筐中，都会使得至少有一个球筐里的篮球数量增加1个，所以至少放进的篮球数为：3 + 1 = 4（个）
【答案】
4
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题考查抽屉原理的基础应用，核心是理解“尽可能平均分”的思想，通过先平均分再处理剩余物品的方式，得出“总有一个抽屉至少有多少物品”的结论，是抽屉原理入门题型。
【难度系数】
0.8
这是一道抽屉原理的基础应用题，解题思路是先将篮球尽可能平均分配到各个球筐中，再根据剩余篮球的情况确定“至少”的数量。首先计算15个篮球平均放进4个球筐时每个球筐能放的数量和剩余数量，因为剩余的篮球还要放进球筐里，所以总有一个球筐里的篮球数量会是平均数量加1。
【解析】
第一步：计算平均每个球筐放的篮球数及剩余数量
15÷4 = 3（个）……3（个），即每个球筐先放3个篮球，还剩余3个篮球。
第二步：分析剩余篮球的放置
剩余的3个篮球无论怎么放进4个球筐中，都会使得至少有一个球筐里的篮球数量增加1个，所以至少放进的篮球数为：3 + 1 = 4（个）
【答案】
4
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题考查抽屉原理的基础应用，核心是理解“尽可能平均分”的思想，通过先平均分再处理剩余物品的方式，得出“总有一个抽屉至少有多少物品”的结论，是抽屉原理入门题型。
【难度系数】
0.8
4. 用$ \frac{2}{3} $、$ \frac{2}{7} $、$ \frac{1}{14} $和$ \frac{1}{6} $写出一个比例是()。
答案
$\frac{2}{3}:\frac{1}{6}=\frac{2}{7}:\frac{1}{14}（$答案不唯一）
解析
【分析】
要写出由这四个数组成的比例，关键是利用比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。首先计算这四个数中两两相乘的积，找到乘积相等的两组数，再根据乘积相等的关系，将这两组数分别作为比例的外项和内项，就能组成符合要求的比例，且由于内项和外项可交换位置，答案不唯一。
【解析】
1. 计算四个数两两相乘的积：
$\frac{2}{3}×\frac{1}{14}=\frac{2}{42}=\frac{1}{21}$
$\frac{2}{7}×\frac{1}{6}=\frac{2}{42}=\frac{1}{21}$
由此可得$\frac{2}{3}×\frac{1}{14}=\frac{2}{7}×\frac{1}{6}$。
2. 根据比例的基本性质，将$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{6}$作为比例的外项，$\frac{2}{7}$和$\frac{1}{14}$作为比例的内项，可组成比例：
$\frac{2}{3}:\frac{1}{6}=\frac{2}{7}:\frac{1}{14}$
（交换内项或外项的位置，还能得到其他符合要求的比例，如$\frac{2}{7}:\frac{2}{3}=\frac{1}{14}:\frac{1}{6}$等）
【答案】
$\frac{2}{3}:\frac{1}{6}=\frac{2}{7}:\frac{1}{14}$（答案不唯一）
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题主要考查比例基本性质的实际应用，需要学生通过分数乘法运算找到乘积相等的两组数，再灵活构造比例，答案的多样性要求学生理解比例各部分的关系，提升知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要写出由这四个数组成的比例，关键是利用比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。首先计算这四个数中两两相乘的积，找到乘积相等的两组数，再根据乘积相等的关系，将这两组数分别作为比例的外项和内项，就能组成符合要求的比例，且由于内项和外项可交换位置，答案不唯一。
【解析】
1. 计算四个数两两相乘的积：
$\frac{2}{3}×\frac{1}{14}=\frac{2}{42}=\frac{1}{21}$
$\frac{2}{7}×\frac{1}{6}=\frac{2}{42}=\frac{1}{21}$
由此可得$\frac{2}{3}×\frac{1}{14}=\frac{2}{7}×\frac{1}{6}$。
2. 根据比例的基本性质，将$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{6}$作为比例的外项，$\frac{2}{7}$和$\frac{1}{14}$作为比例的内项，可组成比例：
$\frac{2}{3}:\frac{1}{6}=\frac{2}{7}:\frac{1}{14}$
（交换内项或外项的位置，还能得到其他符合要求的比例，如$\frac{2}{7}:\frac{2}{3}=\frac{1}{14}:\frac{1}{6}$等）
【答案】
$\frac{2}{3}:\frac{1}{6}=\frac{2}{7}:\frac{1}{14}$（答案不唯一）
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题主要考查比例基本性质的实际应用，需要学生通过分数乘法运算找到乘积相等的两组数，再灵活构造比例，答案的多样性要求学生理解比例各部分的关系，提升知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 单价一定，总价和数量成()关系。
答案
正比例
解析
【分析】
要判断总价和数量的比例关系，首先回忆正比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且它们的比值（商）一定时，这两种量成正比例关系。接下来分析总价、数量和单价的关系，总价÷数量=单价，题目中明确单价一定，也就是总价和数量的比值固定，符合正比例关系的判定条件，因此可以判断二者成正比例关系。
【解析】
根据正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。
已知单价一定，而总价与数量的数量关系为：$\mathrm{总价} ÷ \mathrm{数量} = \mathrm{单价}$（一定），即总价和数量的比值固定不变，所以总价和数量成正比例关系。
【答案】
正比例
【知识点】
正比例关系判定
【点评】
本题考查正比例关系的基础概念，解题关键是理解正比例的定义，并结合总价、数量、单价之间的数量关系进行判断，属于基础题型，有助于巩固比例关系的核心知识点。
【难度系数】
0.9
要判断总价和数量的比例关系，首先回忆正比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且它们的比值（商）一定时，这两种量成正比例关系。接下来分析总价、数量和单价的关系，总价÷数量=单价，题目中明确单价一定，也就是总价和数量的比值固定，符合正比例关系的判定条件，因此可以判断二者成正比例关系。
【解析】
根据正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。
已知单价一定，而总价与数量的数量关系为：$\mathrm{总价} ÷ \mathrm{数量} = \mathrm{单价}$（一定），即总价和数量的比值固定不变，所以总价和数量成正比例关系。
【答案】
正比例
【知识点】
正比例关系判定
【点评】
本题考查正比例关系的基础概念，解题关键是理解正比例的定义，并结合总价、数量、单价之间的数量关系进行判断，属于基础题型，有助于巩固比例关系的核心知识点。
【难度系数】
0.9
6. 《中华人民共和国国旗法》规定，国旗的长和宽的比是$ 3 : 2 $，学校国旗宽是$ 160 cm $，长应是()cm。
答案
240
解析
【分析】
这道题是比的实际应用问题。首先要理解国旗长和宽的比3:2的含义，即长占3份，宽占2份。已知宽是160cm，我们可以先求出1份的长度，再乘以长对应的份数3得到长；也可以通过设未知数，利用比例的基本性质来列方程求解。两种思路的核心都是抓住长和宽的比例关系，建立数量间的等式。
【解析】
方法一：算术法
因为长和宽的比是3:2，说明宽是2份，对应160cm，先求出1份的长度：
$160÷2 = 80$（cm）
长占3份，所以长为：
$80×3 = 240$（cm）
方法二：比例方程法
设国旗的长为$x$ cm，根据长和宽的比是3:2，可列出比例：
$x:160 = 3:2$
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，可得：
$2x = 160×3$
$2x = 480$
$x = 480÷2$
$x = 240$
【答案】
240
【知识点】
比的应用、比例的基本性质
【点评】
本题考查比在实际生活中的应用，解题关键是准确理解长与宽的比例关系，熟练运用算术法或比例方程法求解。题目贴近生活，难度较低，有助于巩固比和比例的基础知识点。
【难度系数】
0.8
这道题是比的实际应用问题。首先要理解国旗长和宽的比3:2的含义，即长占3份，宽占2份。已知宽是160cm，我们可以先求出1份的长度，再乘以长对应的份数3得到长；也可以通过设未知数，利用比例的基本性质来列方程求解。两种思路的核心都是抓住长和宽的比例关系，建立数量间的等式。
【解析】
方法一：算术法
因为长和宽的比是3:2，说明宽是2份，对应160cm，先求出1份的长度：
$160÷2 = 80$（cm）
长占3份，所以长为：
$80×3 = 240$（cm）
方法二：比例方程法
设国旗的长为$x$ cm，根据长和宽的比是3:2，可列出比例：
$x:160 = 3:2$
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，可得：
$2x = 160×3$
$2x = 480$
$x = 480÷2$
$x = 240$
【答案】
240
【知识点】
比的应用、比例的基本性质
【点评】
本题考查比在实际生活中的应用，解题关键是准确理解长与宽的比例关系，熟练运用算术法或比例方程法求解。题目贴近生活，难度较低，有助于巩固比和比例的基础知识点。
【难度系数】
0.8
7. 一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是 16，另一个外项是()。
答案
$\frac{1}{16}$
解析
【分析】
首先我们要回忆比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。题目中提到两个内项互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积是1，所以两个内项的积是1。根据比例的基本性质，两个外项的积也必须等于1。已知其中一个外项是16，那么求另一个外项，只需要用1除以这个已知外项即可。
【解析】
根据比例的基本性质：比例中两个内项的积等于两个外项的积。
因为两个内项互为倒数，互为倒数的两数乘积为1，所以两个外项的积也为1。
已知一个外项是16，则另一个外项为：$1÷16=\frac{1}{16}$
【答案】
$\frac{1}{16}$
【知识点】
比例的基本性质、倒数的意义
【点评】
本题综合考查了比例的基本性质和倒数的意义，需要将两个知识点结合运用，只要熟练掌握这两个基础概念，就能快速得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
首先我们要回忆比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。题目中提到两个内项互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积是1，所以两个内项的积是1。根据比例的基本性质，两个外项的积也必须等于1。已知其中一个外项是16，那么求另一个外项，只需要用1除以这个已知外项即可。
【解析】
根据比例的基本性质：比例中两个内项的积等于两个外项的积。
因为两个内项互为倒数，互为倒数的两数乘积为1，所以两个外项的积也为1。
已知一个外项是16，则另一个外项为：$1÷16=\frac{1}{16}$
【答案】
$\frac{1}{16}$
【知识点】
比例的基本性质、倒数的意义
【点评】
本题综合考查了比例的基本性质和倒数的意义，需要将两个知识点结合运用，只要熟练掌握这两个基础概念，就能快速得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 在比例尺是$ \frac{1}{1000000} $的地图上，量得 A、B 两地的图上距离是$ 6.5 cm $。A、B 两地的实际距离是()km。
答案
65
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆比例尺的核心公式：比例尺=图上距离÷实际距离，由此可推导出实际距离=图上距离÷比例尺。解题时先根据公式求出以厘米为单位的实际距离，再进行单位换算，将厘米转化为千米（注意1千米=100000厘米）。具体步骤为：先代入图上距离和比例尺计算出实际距离的厘米数，再通过单位进率转换为千米。
【解析】
1. 根据比例尺公式推导实际距离的计算方法：
实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺
2. 代入已知数值计算实际距离（单位：厘米）：
实际距离 = 6.5 ÷ $\frac{1}{1000000}$ = 6.5 × 1000000 = 6500000（cm）
3. 单位换算（将厘米转换为千米）：
因为1km = 100000cm，所以6500000cm = 6500000 ÷ 100000 = 65（km）
【答案】
65
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题主要考查比例尺的基本公式运用及长度单位的换算，解题关键是牢记比例尺公式和长度单位间的进率，注意单位转换时的计算准确性，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆比例尺的核心公式：比例尺=图上距离÷实际距离，由此可推导出实际距离=图上距离÷比例尺。解题时先根据公式求出以厘米为单位的实际距离，再进行单位换算，将厘米转化为千米（注意1千米=100000厘米）。具体步骤为：先代入图上距离和比例尺计算出实际距离的厘米数，再通过单位进率转换为千米。
【解析】
1. 根据比例尺公式推导实际距离的计算方法：
实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺
2. 代入已知数值计算实际距离（单位：厘米）：
实际距离 = 6.5 ÷ $\frac{1}{1000000}$ = 6.5 × 1000000 = 6500000（cm）
3. 单位换算（将厘米转换为千米）：
因为1km = 100000cm，所以6500000cm = 6500000 ÷ 100000 = 65（km）
【答案】
65
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题主要考查比例尺的基本公式运用及长度单位的换算，解题关键是牢记比例尺公式和长度单位间的进率，注意单位转换时的计算准确性，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 如果$ a = b ÷ 5 $，那么$ a $和$ b $成()关系。
答案
正比例
解析
【分析】
要判断a和b成什么关系，首先回忆正比例、反比例的定义：两种相关联的量，若比值（商）一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。先对给定的等式$a = b ÷ 5$进行变形，得到$b ÷ a = 5$（也就是$\frac{b}{a}=5$），可以看出a和b是相关联的量，当b变化时a也会跟着变化，且它们的比值始终是5，是固定不变的，符合正比例关系的特征，所以可以判断二者成正比例关系。
【解析】
已知$a = b ÷ 5$，将等式变形可得：
$b ÷ a = 5$，即$\frac{b}{a}=5$（一定）。
根据正比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
因为a和b的比值始终为5（固定不变），所以a和b成正比例关系。
【答案】
正比例
【知识点】
正比例的意义
【点评】
本题主要考查正比例关系的判断，解题关键是熟练掌握正比例关系的定义，通过对给定等式变形，判断两种量的比值是否一定。
【难度系数】
0.8
要判断a和b成什么关系，首先回忆正比例、反比例的定义：两种相关联的量，若比值（商）一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。先对给定的等式$a = b ÷ 5$进行变形，得到$b ÷ a = 5$（也就是$\frac{b}{a}=5$），可以看出a和b是相关联的量，当b变化时a也会跟着变化，且它们的比值始终是5，是固定不变的，符合正比例关系的特征，所以可以判断二者成正比例关系。
【解析】
已知$a = b ÷ 5$，将等式变形可得：
$b ÷ a = 5$，即$\frac{b}{a}=5$（一定）。
根据正比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
因为a和b的比值始终为5（固定不变），所以a和b成正比例关系。
【答案】
正比例
【知识点】
正比例的意义
【点评】
本题主要考查正比例关系的判断，解题关键是熟练掌握正比例关系的定义，通过对给定等式变形，判断两种量的比值是否一定。
【难度系数】
0.8
10. 把 23 枚硬币放进 3 个盒子里，总有一个盒子里至少放进了()枚硬币。
答案
8
解析
【分析】
这是一道抽屉原理的应用题，解题核心是理解“总有一个盒子里至少放进多少枚硬币”的含义。我们需要先考虑最公平的分配情况，也就是把硬币尽量平均分到3个盒子中，这样能找到满足条件的最小“至少”数量。先计算平均每个盒子能放多少枚硬币，剩余的硬币无论怎么分配，都会让某个盒子的硬币数量增加，由此得出最终结果。
【解析】
根据抽屉原理的解题思路，步骤如下：
1. 计算平均分配的数量：用硬币总数除以盒子数，即 $23÷3=7$（枚）$\dots\dots2$（枚），这表示平均每个盒子放7枚后，还剩余2枚硬币。
2. 处理剩余硬币：剩余的2枚硬币不管放进哪两个盒子，都会使得至少有一个盒子里的硬币数量变为 $7+1=8$ 枚。
【答案】
8
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题是抽屉原理的基础应用，关键在于掌握“先平均分，再分配余数”的解题思路，能帮助学生理解抽屉原理的本质，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
这是一道抽屉原理的应用题，解题核心是理解“总有一个盒子里至少放进多少枚硬币”的含义。我们需要先考虑最公平的分配情况，也就是把硬币尽量平均分到3个盒子中，这样能找到满足条件的最小“至少”数量。先计算平均每个盒子能放多少枚硬币，剩余的硬币无论怎么分配，都会让某个盒子的硬币数量增加，由此得出最终结果。
【解析】
根据抽屉原理的解题思路，步骤如下：
1. 计算平均分配的数量：用硬币总数除以盒子数，即 $23÷3=7$（枚）$\dots\dots2$（枚），这表示平均每个盒子放7枚后，还剩余2枚硬币。
2. 处理剩余硬币：剩余的2枚硬币不管放进哪两个盒子，都会使得至少有一个盒子里的硬币数量变为 $7+1=8$ 枚。
【答案】
8
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题是抽屉原理的基础应用，关键在于掌握“先平均分，再分配余数”的解题思路，能帮助学生理解抽屉原理的本质，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
11. 一条铁路全长大约$ 300 km $，在比例尺是$ \frac{1}{3000000} $的地图上，它的长是()cm。
答案
10
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆比例尺的核心公式：比例尺=图上距离÷实际距离，由此可推导出图上距离=实际距离×比例尺。首先需要统一单位，因为实际距离的单位是千米，图上距离要求的是厘米，所以先把300km转换成厘米；然后将转换后的实际距离和给定的比例尺代入公式，计算得出图上距离。
【解析】
1. 单位换算：因为$1km=1000m$，$1m=100cm$，所以$300km=300×1000×100=30000000cm$。
2. 根据比例尺公式计算图上距离：
图上距离=实际距离×比例尺=$30000000×\frac{1}{3000000}=10(cm)$
【答案】
10
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题主要考查比例尺的基本应用，解题的关键是牢记比例尺公式，并注意实际距离与图上距离的单位统一，单位转换是容易出错的环节，需细心处理。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆比例尺的核心公式：比例尺=图上距离÷实际距离，由此可推导出图上距离=实际距离×比例尺。首先需要统一单位，因为实际距离的单位是千米，图上距离要求的是厘米，所以先把300km转换成厘米；然后将转换后的实际距离和给定的比例尺代入公式，计算得出图上距离。
【解析】
1. 单位换算：因为$1km=1000m$，$1m=100cm$，所以$300km=300×1000×100=30000000cm$。
2. 根据比例尺公式计算图上距离：
图上距离=实际距离×比例尺=$30000000×\frac{1}{3000000}=10(cm)$
【答案】
10
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题主要考查比例尺的基本应用，解题的关键是牢记比例尺公式，并注意实际距离与图上距离的单位统一，单位转换是容易出错的环节，需细心处理。
【难度系数】
0.8
12. 一个直角三角形(如右图)，底和高按$ 3 : 1 $放大后，得到图形的面积是()cm²。
答案
157.5
解析
【分析】
要解决这个问题，可分两步思考：首先明确图形按比例放大的性质，即底和高都要按照$3:1$的比例扩大到原来的3倍；然后利用三角形面积公式，代入放大后的底和高计算面积。先求出放大后的底和高，再代入公式计算，即可得到结果。
【解析】
1. 计算放大后的底：
原底为$5\mathrm{cm}$，按$3:1$放大后，底的长度为 $ 5 × 3 = 15 \, \mathrm{cm} $
2. 计算放大后的高：
原高为$7\mathrm{cm}$，按$3:1$放大后，高的长度为 $ 7 × 3 = 21 \, \mathrm{cm} $
3. 计算放大后三角形的面积：
根据三角形面积公式 $ S = \frac{1}{2}ah $（其中$ a $为底，$ h $为高），代入数据得：
$ S = \frac{1}{2} × 15 × 21 = \frac{315}{2} = 157.5 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
157.5
【知识点】
图形的放大与缩小；三角形面积计算
【点评】
本题主要考查图形放大的性质和三角形面积公式的综合应用，需注意图形按比例放大时，对应边的长度都要按相同比例扩大，再准确运用面积公式计算即可，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，可分两步思考：首先明确图形按比例放大的性质，即底和高都要按照$3:1$的比例扩大到原来的3倍；然后利用三角形面积公式，代入放大后的底和高计算面积。先求出放大后的底和高，再代入公式计算，即可得到结果。
【解析】
1. 计算放大后的底：
原底为$5\mathrm{cm}$，按$3:1$放大后，底的长度为 $ 5 × 3 = 15 \, \mathrm{cm} $
2. 计算放大后的高：
原高为$7\mathrm{cm}$，按$3:1$放大后，高的长度为 $ 7 × 3 = 21 \, \mathrm{cm} $
3. 计算放大后三角形的面积：
根据三角形面积公式 $ S = \frac{1}{2}ah $（其中$ a $为底，$ h $为高），代入数据得：
$ S = \frac{1}{2} × 15 × 21 = \frac{315}{2} = 157.5 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
157.5
【知识点】
图形的放大与缩小；三角形面积计算
【点评】
本题主要考查图形放大的性质和三角形面积公式的综合应用，需注意图形按比例放大时，对应边的长度都要按相同比例扩大，再准确运用面积公式计算即可，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
13. 一个精密零件，实际长度$ 5 mm $，在比例尺为()的图纸上量得长是$ 15 cm $。
答案
30:1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离。由于题目中图上距离和实际距离的单位不统一，第一步要先统一单位；再将统一单位后的图上距离与实际距离作比，最后化简该比即可得到所求比例尺。
【解析】
1. 单位换算：因为1cm=10mm，所以15cm=15×10=150mm。
2. 计算比例尺：根据比例尺的定义，比例尺=图上距离:实际距离=150:5，化简该比，两边同时除以5，得到30:1。
【答案】
30:1
【知识点】
比例尺的计算，长度单位换算
【点评】
本题核心考查比例尺的概念应用，解题的关键是必须先统一图上距离和实际距离的单位，避免因单位不统一导致计算错误。只要牢记比例尺的定义和长度单位换算规则，就能轻松解决此类问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离。由于题目中图上距离和实际距离的单位不统一，第一步要先统一单位；再将统一单位后的图上距离与实际距离作比，最后化简该比即可得到所求比例尺。
【解析】
1. 单位换算：因为1cm=10mm，所以15cm=15×10=150mm。
2. 计算比例尺：根据比例尺的定义，比例尺=图上距离:实际距离=150:5，化简该比，两边同时除以5，得到30:1。
【答案】
30:1
【知识点】
比例尺的计算，长度单位换算
【点评】
本题核心考查比例尺的概念应用，解题的关键是必须先统一图上距离和实际距离的单位，避免因单位不统一导致计算错误。只要牢记比例尺的定义和长度单位换算规则，就能轻松解决此类问题。
【难度系数】
0.7
14. 有 50 张数字卡片，分别写着$ 1 ∼ 50 $，把它们反扣在桌面上，至少要抽出()张，才能保证有两张同是奇数或同是偶数。
答案
3
解析
【分析】
这道题属于抽屉原理的应用，解题关键是考虑“最不利情况”。首先明确1~50中奇数和偶数各有25个，可看作两个抽屉。要保证抽到两张同是奇数或同是偶数，先假设最倒霉的情况：第一次抽奇数，第二次抽偶数，此时两种类型各有一张，再抽一张时，无论抽到奇数还是偶数，都会和之前的某一张属于同一类型，这样就能满足条件。
【解析】
1. 确定抽屉类别：1~50中的数分为奇数、偶数两类，每类各有25个数。
2. 分析最不利抽取情况：先抽取1张奇数，再抽取1张偶数，此时共抽取2张，且两种类型各一张。
3. 计算满足条件的最少抽取次数：再抽取1张，无论这张是奇数还是偶数，都会与之前的某一张同类型，因此至少需要抽取$1+1+1=3$张。
【答案】
3
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题考查抽屉原理的最不利原则应用，通过分析最不利的抽取场景，逐步推导得出结果，有助于提升学生的逻辑推理能力和对抽屉原理的理解与运用。
【难度系数】
0.8
这道题属于抽屉原理的应用，解题关键是考虑“最不利情况”。首先明确1~50中奇数和偶数各有25个，可看作两个抽屉。要保证抽到两张同是奇数或同是偶数，先假设最倒霉的情况：第一次抽奇数，第二次抽偶数，此时两种类型各有一张，再抽一张时，无论抽到奇数还是偶数，都会和之前的某一张属于同一类型，这样就能满足条件。
【解析】
1. 确定抽屉类别：1~50中的数分为奇数、偶数两类，每类各有25个数。
2. 分析最不利抽取情况：先抽取1张奇数，再抽取1张偶数，此时共抽取2张，且两种类型各一张。
3. 计算满足条件的最少抽取次数：再抽取1张，无论这张是奇数还是偶数，都会与之前的某一张同类型，因此至少需要抽取$1+1+1=3$张。
【答案】
3
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题考查抽屉原理的最不利原则应用，通过分析最不利的抽取场景，逐步推导得出结果，有助于提升学生的逻辑推理能力和对抽屉原理的理解与运用。
【难度系数】
0.8
二、下面的说法正确吗？说一说你的理由。
1. 任意给出 3 个不同的自然数，其中一定有 2 个数的和是偶数。
1. 任意给出 3 个不同的自然数，其中一定有 2 个数的和是偶数。
答案
正确。理由：任意三个不同的自然数，根据奇偶性分类，要么至少有两个奇数，要么至少有两个偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以一定有两个数的和是偶数。
解析
【分析】
要判断该说法是否正确，我们可以从自然数的奇偶性分类入手思考：自然数只有奇数和偶数两种类型，我们可以对3个不同自然数的奇偶组合情况进行分类讨论。首先明确奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，接着分析所有可能的组合：要么至少有2个奇数，要么至少有2个偶数，不管哪种情况，都能找到两个数的和为偶数，由此可判断说法正确。
【解析】
正确。理由：自然数按奇偶性可分为奇数和偶数两类。任意给出3个不同的自然数，根据奇偶性分类，只会出现两种核心情况：一是至少有两个奇数，二是至少有两个偶数。根据奇偶运算规律，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，因此不管是哪种情况，其中一定有2个数的和是偶数。
【答案】
正确。理由：任意三个不同的自然数，根据奇偶性分类，要么至少有两个奇数，要么至少有两个偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以一定有两个数的和是偶数。
【知识点】
奇偶性运算规律、抽屉原理
【点评】
本题考查自然数奇偶性的理解与应用，通过分类讨论和奇偶运算规律验证结论，锻炼逻辑推理和分类思考的能力，属于基础逻辑类题目。
【难度系数】
0.7
要判断该说法是否正确，我们可以从自然数的奇偶性分类入手思考：自然数只有奇数和偶数两种类型，我们可以对3个不同自然数的奇偶组合情况进行分类讨论。首先明确奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，接着分析所有可能的组合：要么至少有2个奇数，要么至少有2个偶数，不管哪种情况，都能找到两个数的和为偶数，由此可判断说法正确。
【解析】
正确。理由：自然数按奇偶性可分为奇数和偶数两类。任意给出3个不同的自然数，根据奇偶性分类，只会出现两种核心情况：一是至少有两个奇数，二是至少有两个偶数。根据奇偶运算规律，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，因此不管是哪种情况，其中一定有2个数的和是偶数。
【答案】
正确。理由：任意三个不同的自然数，根据奇偶性分类，要么至少有两个奇数，要么至少有两个偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以一定有两个数的和是偶数。
【知识点】
奇偶性运算规律、抽屉原理
【点评】
本题考查自然数奇偶性的理解与应用，通过分类讨论和奇偶运算规律验证结论，锻炼逻辑推理和分类思考的能力，属于基础逻辑类题目。
【难度系数】
0.7
2. 比例尺$ 400 : 1 $表示实际距离是图上距离的 400 倍。
答案
错误。理由：比例尺400:1表示图上距离是实际距离的400倍，而非实际距离是图上距离的400倍。
解析
【分析】
首先回忆比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比，公式为“比例尺=图上距离:实际距离”。拿到这道题，先明确给定的比例尺400:1中，前项对应图上距离，后项对应实际距离，也就是图上距离:实际距离=400:1，转化为倍数关系就是图上距离是实际距离的400倍，而题目中说“实际距离是图上距离的400倍”，和正确含义相反，因此可判断该说法错误。
【解析】
根据比例尺的定义，比例尺=图上距离:实际距离。
对于比例尺400:1，即图上距离:实际距离=400:1，这意味着图上距离是实际距离的400倍，并非实际距离是图上距离的400倍。
所以题目中的说法错误。
【答案】
错误。理由：比例尺400:1表示图上距离是实际距离的400倍，而非实际距离是图上距离的400倍。
【知识点】
比例尺的定义
【点评】
本题考查对比例尺核心概念的理解，关键是要明确比例尺的前项对应图上距离、后项对应实际距离，容易因混淆两者的对应关系而出错，需牢记比例尺的定义及各部分含义。
【难度系数】
0.7
首先回忆比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比，公式为“比例尺=图上距离:实际距离”。拿到这道题，先明确给定的比例尺400:1中，前项对应图上距离，后项对应实际距离，也就是图上距离:实际距离=400:1，转化为倍数关系就是图上距离是实际距离的400倍，而题目中说“实际距离是图上距离的400倍”，和正确含义相反，因此可判断该说法错误。
【解析】
根据比例尺的定义，比例尺=图上距离:实际距离。
对于比例尺400:1，即图上距离:实际距离=400:1，这意味着图上距离是实际距离的400倍，并非实际距离是图上距离的400倍。
所以题目中的说法错误。
【答案】
错误。理由：比例尺400:1表示图上距离是实际距离的400倍，而非实际距离是图上距离的400倍。
【知识点】
比例尺的定义
【点评】
本题考查对比例尺核心概念的理解，关键是要明确比例尺的前项对应图上距离、后项对应实际距离，容易因混淆两者的对应关系而出错，需牢记比例尺的定义及各部分含义。
【难度系数】
0.7
3. 正方形的面积和它的边长成正比例关系。
答案
错误。理由：正方形面积=边长×边长，面积与边长的比值为边长，不是固定常数，所以不成正比例关系。
解析
【分析】
要判断正方形的面积和边长是否成正比例关系，首先需回忆正比例关系的核心定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量随之变化，且它们的比值（商）是固定不变的常数，这两种量才成正比例关系。接着结合正方形的面积公式分析：正方形面积=边长×边长，那么面积与边长的比值就是边长本身，而边长是可变化的量，并非固定常数，不符合正比例关系的判定条件，因此该说法错误。
【解析】
1. 明确正比例关系判定标准：两种相关联的量，若它们的比值（商）为固定不变的常数，则成正比例关系。
2. 写出正方形面积公式：$ S = a × a $（$ S $表示面积，$ a $表示边长）。
3. 计算面积与边长的比值：$ \frac{S}{a} = a $，由于边长$ a $是变量，不是固定常数，所以面积和边长的比值不固定。
4. 得出结论：正方形的面积和它的边长不符合正比例关系的定义，原说法错误。
【答案】
错误。理由：正方形面积=边长×边长，面积与边长的比值为边长，不是固定常数，所以不成正比例关系。
【知识点】
1. 正比例关系的判定
2. 正方形面积公式
【点评】
本题重点考查对正比例关系定义的精准理解，易出错点是误将“相关联的量”直接等同于“成正比例的量”，忽略了“比值必须固定”这一核心条件，解题时需紧扣定义逐一验证。
【难度系数】
0.6
要判断正方形的面积和边长是否成正比例关系，首先需回忆正比例关系的核心定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量随之变化，且它们的比值（商）是固定不变的常数，这两种量才成正比例关系。接着结合正方形的面积公式分析：正方形面积=边长×边长，那么面积与边长的比值就是边长本身，而边长是可变化的量，并非固定常数，不符合正比例关系的判定条件，因此该说法错误。
【解析】
1. 明确正比例关系判定标准：两种相关联的量，若它们的比值（商）为固定不变的常数，则成正比例关系。
2. 写出正方形面积公式：$ S = a × a $（$ S $表示面积，$ a $表示边长）。
3. 计算面积与边长的比值：$ \frac{S}{a} = a $，由于边长$ a $是变量，不是固定常数，所以面积和边长的比值不固定。
4. 得出结论：正方形的面积和它的边长不符合正比例关系的定义，原说法错误。
【答案】
错误。理由：正方形面积=边长×边长，面积与边长的比值为边长，不是固定常数，所以不成正比例关系。
【知识点】
1. 正比例关系的判定
2. 正方形面积公式
【点评】
本题重点考查对正比例关系定义的精准理解，易出错点是误将“相关联的量”直接等同于“成正比例的量”，忽略了“比值必须固定”这一核心条件，解题时需紧扣定义逐一验证。
【难度系数】
0.6
三、选择。(将正确答案的序号填在括号里)
1. 能与$ \frac{1}{4} : \frac{1}{5} $组成比例的是()。
A.$ 5 : 4 $
B.$ 4 : 5 $
C.$ \frac{1}{5} : \frac{1}{4} $
D.$ \frac{1}{5} : \frac{1}{6} $
1. 能与$ \frac{1}{4} : \frac{1}{5} $组成比例的是()。
A.$ 5 : 4 $
B.$ 4 : 5 $
C.$ \frac{1}{5} : \frac{1}{4} $
D.$ \frac{1}{5} : \frac{1}{6} $
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个选项能与$\frac{1}{4}:\frac{1}{5}$组成比例，根据比例的定义，需先求出题干中比的比值，再分别计算各选项中比的比值，找到与题干比值相等的选项即可。首先计算$\frac{1}{4}:\frac{1}{5}$的比值，比的前项除以比的后项，即$\frac{1}{4}÷\frac{1}{5}=\frac{5}{4}$；接着依次计算每个选项的比值，对比后就能确定正确答案。
【解析】
1. 计算题干中比的比值：
$\frac{1}{4}:\frac{1}{5}=\frac{1}{4}÷\frac{1}{5}=\frac{1}{4}×5=\frac{5}{4}$
2. 计算各选项的比值：
选项A：$5:4=5÷4=\frac{5}{4}$，与题干比值相等；
选项B：$4:5=4÷5=\frac{4}{5}$，与题干比值不相等；
选项C：$\frac{1}{5}:\frac{1}{4}=\frac{1}{5}÷\frac{1}{4}=\frac{4}{5}$，与题干比值不相等；
选项D：$\frac{1}{5}:\frac{1}{6}=\frac{1}{5}÷\frac{1}{6}=\frac{6}{5}$，与题干比值不相等。
因此，能与$\frac{1}{4}:\frac{1}{5}$组成比例的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
比例的意义、求比值
【点评】
本题主要考查比例的意义，核心是通过求比值判断两个比是否相等。解题时需熟练掌握分数除法的计算法则，准确计算每个比的比值，避免因计算失误导致错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项能与$\frac{1}{4}:\frac{1}{5}$组成比例，根据比例的定义，需先求出题干中比的比值，再分别计算各选项中比的比值，找到与题干比值相等的选项即可。首先计算$\frac{1}{4}:\frac{1}{5}$的比值，比的前项除以比的后项，即$\frac{1}{4}÷\frac{1}{5}=\frac{5}{4}$；接着依次计算每个选项的比值，对比后就能确定正确答案。
【解析】
1. 计算题干中比的比值：
$\frac{1}{4}:\frac{1}{5}=\frac{1}{4}÷\frac{1}{5}=\frac{1}{4}×5=\frac{5}{4}$
2. 计算各选项的比值：
选项A：$5:4=5÷4=\frac{5}{4}$，与题干比值相等；
选项B：$4:5=4÷5=\frac{4}{5}$，与题干比值不相等；
选项C：$\frac{1}{5}:\frac{1}{4}=\frac{1}{5}÷\frac{1}{4}=\frac{4}{5}$，与题干比值不相等；
选项D：$\frac{1}{5}:\frac{1}{6}=\frac{1}{5}÷\frac{1}{6}=\frac{6}{5}$，与题干比值不相等。
因此，能与$\frac{1}{4}:\frac{1}{5}$组成比例的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
比例的意义、求比值
【点评】
本题主要考查比例的意义，核心是通过求比值判断两个比是否相等。解题时需熟练掌握分数除法的计算法则，准确计算每个比的比值，避免因计算失误导致错误。
【难度系数】
0.8
