2026年智慧学习导学练明天出版社八年级数学下册人教版第110页答案
9. 如图，点 $E$，$F$ 分别在矩形 $ABCD$ 的边 $BC$，$CD$ 上，且 $BE = DF$，连接 $EF$，若 $∠ CEF = 45°$. 求证：矩形 $ABCD$ 是正方形.

答案

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $∠ C = 90°$，$BC = AD$，$CD = AB$。
在 $△ CEF$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ CEF = 45°$，
∴ $∠ CFE = 180° - 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠ CEF = ∠ CFE$，
∴ $CE = CF$（等角对等边）。
∵ $BE = DF$，
∴ $BC = BE + CE = DF + CF = CD$。
∵ 矩形 $ABCD$ 中相邻两边 $BC = CD$，
∴ 矩形 $ABCD$ 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。
结论：矩形 $ABCD$ 是正方形。
10. 如图，正方形 $ABCD$ 中，$AB = 3\sqrt{2}$，点 $E$ 是对角线 $AC$ 上的一点，连接 $DE$. 过点 $E$ 作 $EF ⊥ ED$，交 $AB$ 于点 $F$，以 $DE$，$EF$ 为邻边作矩形 $DEFG$，连接 $AG$.
(1)求证：矩形 $DEFG$ 是正方形.
(2)求 $AG + AE$ 的值.
(3)若 $F$ 恰为 $AB$ 的中点，求正方形 $DEFG$ 的面积.

答案

10.  (1) 证明：
过点$E$作$EM⊥ AD$于$M，$$EN⊥ AB$于$N。$
因为四边形$ABCD$是正方形，$AC$是对角线，
所以$EM=EN$（角平分线的性质），$∠ DAB=90°，$
故$∠ MEN=90°。$
因为$EF⊥ ED，$所以$∠ DEF=90°，$
则$∠ DEM+∠ MEF=∠ FEN+∠ MEF=90°，$即$∠ DEM=∠ FEN。$
在$△ DEM$和$△ FEN$中，
$\begin{cases}∠ DME=∠ FNE=90°\\EM=EN\\∠ DEM=∠ FEN\end{cases}$
所以$△ DEM≌△ FEN(ASA)，$
因此$DE=EF。$
因为四边形$DEFG$是矩形，且$DE=EF，$
所以矩形$DEFG$是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。
(2) 解：
因为四边形$DEFG$是正方形，四边形$ABCD$是正方形，
所以$AD=CD，$$DE=DG，$$∠ ADC=∠ EDG=90°，$
则$∠ ADC-∠ ADE=∠ EDG-∠ ADE，$即$∠ CDE=∠ ADG。$
在$△ CDE$和$△ ADG$中，
$\begin{cases}CD=AD\\∠ CDE=∠ ADG\\DE=DG\end{cases}$
所以$△ CDE≌△ ADG(SAS)，$
因此$CE=AG，$
所以$AG+AE=CE+AE=AC。$
在正方形$ABCD$中，$AB=3\sqrt{2}，$
则$AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6，$
故$AG+AE=6。$
(3) 解：
因为$F$为$AB$的中点，$AB=3\sqrt{2}，$
所以$AF=\frac{3\sqrt{2}}{2}。$
设$AE=x，$则$CE=AC-AE=6-x，$
由
(2)知$AG=CE=6-x。$
因为四边形$DEFG$是正方形，所以$FG=DE，$
在$Rt△ AFG$中，$FG^2=AG^2+AF^2，$
代入$AG=6-x，$$AF=\frac{3\sqrt{2}}{2}，$
结合$Rt△ ADE$中$DE^2=AD^2+AE^2-2AD· AE·\cos45°$（$AD=3\sqrt{2}，$$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$），
解得$x=\frac{9\sqrt{2}}{4}，$
则$DE^2=(\frac{9\sqrt{2}}{4})^2+(\frac{9\sqrt{2}}{4}-3\sqrt{2})^2=\frac{45}{4}，$
所以正方形$DEFG$的面积为$\frac{45}{4}。$
1. 平行四边形的概念.
两组对边
的四边形是平行四边形.

答案

分别平行