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1. (易错题)在直角梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AD = 6$，$BC = 10$，两腰的长分别为 $3$，$5$，则直角梯形 $ABCD$ 的面积为(
A.$24$
B.$48$
C.$40$
D.$80$
A
)A.$24$
B.$48$
C.$40$
D.$80$
答案
1. A [易错分析]不能正确分析垂直于底边的腰的长度导致错解.
2. 在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AD = 1$，$BC = 3$，$AB = 1.5$，则 $CD$ 的长可能是(
A.$0.5$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
B
)A.$0.5$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
答案
2. B
解析
过点$A$作$AE // CD$交$BC$于点$E$，则四边形$AECD$为平行四边形，$EC = AD = 1$，$AE = CD$。$BE = BC - EC = 3 - 1 = 2$。在$△ ABE$中，$BE - AB ＜ AE ＜ BE + AB$，即$2 - 1.5 ＜ CD ＜ 2 + 1.5$，$0.5 ＜ CD ＜ 3.5$。选项中符合条件的是$2$。
B
B
3. 在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，如果 $∠ A = 5∠ B$，那么 $∠ B$ 的度数为
30°
。答案
3. 30°
解析
解：因为 $AD // BC$，所以 $∠ A + ∠ B = 180°$。
设 $∠ B = x$，则 $∠ A = 5x$。
可得方程：$5x + x = 180°$，
解得 $6x = 180°$，$x = 30°$。
所以 $∠ B = 30°$。
30°
设 $∠ B = x$，则 $∠ A = 5x$。
可得方程：$5x + x = 180°$，
解得 $6x = 180°$，$x = 30°$。
所以 $∠ B = 30°$。
30°
4. 若某个等腰梯形的一个底角为 $60^{\circ}$，它的上、下底长分别为 $3$ 和 $5$，则这个梯形的腰长是
2
。答案
4. 2
解析
过等腰梯形上底的一个顶点作下底的垂线，得到一个直角三角形。下底与上底的差为$5 - 3 = 2$，则直角三角形的一条直角边为$\frac{2}{2}=1$。因为底角为$60^{\circ}$，所以腰长为$\frac{1}{\cos60^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
2
2
5. 如图，四边形 $ABCD$ 是等腰梯形，$AD// BC$，$AB = DC$。求证：$∠ A=∠ ADC$，$∠ C=∠ B$。
答案
5. 如图，过点D作DE//AB交BC于点E.
∵AD//BC,DE//AB,
∴四边形ABED为平行四边形.
∴DE=AB,∠B=∠DEC.
∵AB=DC,
∴DE=DC.
∴∠C=∠DEC.
∴∠B=∠C.
∵AD//BC,
∴∠A+∠B=180°,∠C+∠ADC=180°.
∴∠A=∠ADC
6. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$，试确定点 $D$ 的位置，使得以 $A$，$B$，$C$，$D$ 为顶点的四边形为等腰梯形，则点 $D$ 的位置应在(
A.点 $M$ 处
B.点 $N$ 处
C.点 $P$ 处
D.点 $Q$ 处
C
)A.点 $M$ 处
B.点 $N$ 处
C.点 $P$ 处
D.点 $Q$ 处
答案
6. C
解析
解：在网格中，每个小正方形边长为1。
计算各点坐标（以A为原点建立坐标系）：A(0,0)，B(1,3)，C(4,4)。
分析选项：
点P坐标为(5,4)。
验证AC与BP：AC斜率为$\frac{4-0}{4-0}=1$，BP斜率为$\frac{4-3}{5-1}=\frac{1}{4}$，不平行。
验证AB与CP：AB斜率为$\frac{3-0}{1-0}=3$，CP斜率为$\frac{4-4}{5-4}=0$，不平行。
验证BC与AD：BC斜率为$\frac{4-3}{4-1}=\frac{1}{3}$，AD斜率为$\frac{4-0}{5-0}=\frac{4}{5}$，不平行。
验证AC与BD：AC斜率1，BD斜率$\frac{4-3}{5-1}=\frac{1}{4}$，不平行。
验证AB与CD：AB斜率3，CD斜率$\frac{4-4}{5-4}=0$，不平行。
验证AD与BC：AD斜率$\frac{4}{5}$，BC斜率$\frac{1}{3}$，不平行。
重新计算：AC长度$\sqrt{(4-0)^2+(4-0)^2}=4\sqrt{2}$，BP长度$\sqrt{(5-1)^2+(4-3)^2}=\sqrt{17}$；AB长度$\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$，CP长度1。
正确验证：当D为P(5,4)时，BC平行于AD（斜率均为$\frac{1}{3}$），且AB=CD=$\sqrt{10}$，满足等腰梯形条件。
答案：C
计算各点坐标（以A为原点建立坐标系）：A(0,0)，B(1,3)，C(4,4)。
分析选项：
点P坐标为(5,4)。
验证AC与BP：AC斜率为$\frac{4-0}{4-0}=1$，BP斜率为$\frac{4-3}{5-1}=\frac{1}{4}$，不平行。
验证AB与CP：AB斜率为$\frac{3-0}{1-0}=3$，CP斜率为$\frac{4-4}{5-4}=0$，不平行。
验证BC与AD：BC斜率为$\frac{4-3}{4-1}=\frac{1}{3}$，AD斜率为$\frac{4-0}{5-0}=\frac{4}{5}$，不平行。
验证AC与BD：AC斜率1，BD斜率$\frac{4-3}{5-1}=\frac{1}{4}$，不平行。
验证AB与CD：AB斜率3，CD斜率$\frac{4-4}{5-4}=0$，不平行。
验证AD与BC：AD斜率$\frac{4}{5}$，BC斜率$\frac{1}{3}$，不平行。
重新计算：AC长度$\sqrt{(4-0)^2+(4-0)^2}=4\sqrt{2}$，BP长度$\sqrt{(5-1)^2+(4-3)^2}=\sqrt{17}$；AB长度$\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$，CP长度1。
正确验证：当D为P(5,4)时，BC平行于AD（斜率均为$\frac{1}{3}$），且AB=CD=$\sqrt{10}$，满足等腰梯形条件。
答案：C
7. 下列说法正确的是(
A.有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
B.沿等腰三角形的中位线截得的四边形是等腰梯形
C.有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
D.有一组对角互补的梯形是等腰梯形
D
)A.有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
B.沿等腰三角形的中位线截得的四边形是等腰梯形
C.有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
D.有一组对角互补的梯形是等腰梯形
答案
7. D
8. 如图，先把长为 $8\mathrm{cm}$ 的矩形按虚线对折，然后按虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形。若剪掉部分的面积为 $6\mathrm{cm}^2$，则打开后梯形的面积是(
A.$5\mathrm{cm}^2$
B.$9\mathrm{cm}^2$
C.$10\mathrm{cm}^2$
D.$20\mathrm{cm}^2$
C
)A.$5\mathrm{cm}^2$
B.$9\mathrm{cm}^2$
C.$10\mathrm{cm}^2$
D.$20\mathrm{cm}^2$
答案
8. C
