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9. 如果梯形的上底长为 $6\mathrm{cm}$，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是 $19\mathrm{cm}$，那么这个梯形的周长为
31
$\mathrm{cm}$。答案
9. 31
解析
设梯形为$ABCD$，$AD// BC$，$AD = 6\mathrm{cm}$，过$A$作$AE// CD$交$BC$于$E$。
因为$AD// BC$，$AE// CD$，所以四边形$AECD$是平行四边形，故$EC = AD = 6\mathrm{cm}$，$AE = CD$。
已知$△ ABE$的周长是$19\mathrm{cm}$，即$AB + BE + AE = 19\mathrm{cm}$。
梯形$ABCD$的周长为$AB + BC + CD + AD = AB + (BE + EC) + CD + AD$，因为$AE = CD$，$EC = AD = 6\mathrm{cm}$，所以梯形周长$= (AB + BE + AE) + 2AD = 19 + 2×6 = 31\mathrm{cm}$。
31
因为$AD// BC$，$AE// CD$，所以四边形$AECD$是平行四边形，故$EC = AD = 6\mathrm{cm}$，$AE = CD$。
已知$△ ABE$的周长是$19\mathrm{cm}$，即$AB + BE + AE = 19\mathrm{cm}$。
梯形$ABCD$的周长为$AB + BC + CD + AD = AB + (BE + EC) + CD + AD$，因为$AE = CD$，$EC = AD = 6\mathrm{cm}$，所以梯形周长$= (AB + BE + AE) + 2AD = 19 + 2×6 = 31\mathrm{cm}$。
31
10. 在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$∠ B = 90^{\circ}$，$AD = 6$，$AB = 4$，$CD = 5$，则 $BC$ 的长为
9或3
。答案
10. 9或3
解析
解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵AD//BC，∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=6，DE=AB=4。
在Rt△DEC中，CD=5，DE=4，
由勾股定理得：$EC=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
当点E在BC上时，BC=BE+EC=6+3=9；
当点E在BC的延长线上时，BC=BE-EC=6-3=3。
综上，BC的长为9或3。
∵AD//BC，∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=6，DE=AB=4。
在Rt△DEC中，CD=5，DE=4，
由勾股定理得：$EC=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
当点E在BC上时，BC=BE+EC=6+3=9；
当点E在BC的延长线上时，BC=BE-EC=6-3=3。
综上，BC的长为9或3。
11. 如图，在等腰梯形 $ABCD$ 中，$BC = 13\mathrm{cm}$，$AD = 5\mathrm{cm}$，沿直线 $BD$ 折叠这个等腰梯形，使点 $A$ 落在边 $BC$ 上的点 $E$ 处，折痕为 $BD$，则 $△ DEC$ 的周长为
18cm
。答案
11. 18cm
解析
解：
∵四边形$ABCD$是等腰梯形，$AD=5\mathrm{cm}$，$BC=13\mathrm{cm}$，
∴$AB=CD$，$AD// BC$。
由折叠性质得：$BE=AB$，$DE=AD=5\mathrm{cm}$。
∵$AD// BC$，$AB=CD$，
∴$AB=CD=BE$，设$AB=CD=BE=x$，则$EC=BC-BE=13-x$。
$△ DEC$的周长$=DE+EC+CD=5+(13-x)+x=18\mathrm{cm}$。
18cm
∵四边形$ABCD$是等腰梯形，$AD=5\mathrm{cm}$，$BC=13\mathrm{cm}$，
∴$AB=CD$，$AD// BC$。
由折叠性质得：$BE=AB$，$DE=AD=5\mathrm{cm}$。
∵$AD// BC$，$AB=CD$，
∴$AB=CD=BE$，设$AB=CD=BE=x$，则$EC=BC-BE=13-x$。
$△ DEC$的周长$=DE+EC+CD=5+(13-x)+x=18\mathrm{cm}$。
18cm
12. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别在 $OA$，$OD$ 上，连接 $EF$，$BE$，$CF$，$EF// BC$。求证：四边形 $BCFE$ 是等腰梯形。
答案
12.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OC,则∠OBC=∠OCB.
∵EF//BC,
∴∠OBC=∠OFE,∠OCB=∠OEF.
∴∠OEF=∠OFE.
∴ OE = OF. 在△BOE和△COF中,{OE=OF,∠BOE=∠COF,BO=CO,
∴△BOE≌△COF.
∴BE=CF.
∴四边形BCFE是等腰梯形
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OC,则∠OBC=∠OCB.
∵EF//BC,
∴∠OBC=∠OFE,∠OCB=∠OEF.
∴∠OEF=∠OFE.
∴ OE = OF. 在△BOE和△COF中,{OE=OF,∠BOE=∠COF,BO=CO,
∴△BOE≌△COF.
∴BE=CF.
∴四边形BCFE是等腰梯形
13. 如图，在直角梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$∠ B = 90^{\circ}$，且 $AD = 12\mathrm{cm}$，$AB = 8\mathrm{cm}$，$DC = 10\mathrm{cm}$。若动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ 的速度沿线段 $AD$ 向点 $D$ 运动；动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以 $3\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ 的速度沿线段 $CB$ 向点 $B$ 运动，当点 $P$ 到达点 $D$ 时，动点 $P$，$Q$ 同时停止运动。设点 $P$，$Q$ 同时出发，并运动了 $t\mathrm{s}$。
(1)$BC =\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
(2)当 $t$ 的值为多少时，四边形 $PQCD$ 为等腰梯形？
]
(1)$BC =\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
(2)当 $t$ 的值为多少时，四边形 $PQCD$ 为等腰梯形？
]答案
13. (1)18 解析:过点D作DE⊥BC于点E,则易得四边形ABED为矩形.
∴DE=AB=8cm,AD=BE=12cm.在Rt△CDE中,
∵∠CED=90°,DC=10cm,DE=8cm,
∴EC= $\sqrt{DC^{2}-DE^{2}}$ =6cm.
∴BC=BE+EC=18cm.
(2)根据题意,得PA=2tcm,CQ=3tcm,则PD=AD - PA=(12 - 2t)cm.如图，过点D作DE⊥BC于点E,则四边形ABED为矩形,DE=AB=8cm,AD=BE=12cm.当PQ=CD时,四边形PQCD为等腰梯形.过点P作PF⊥BC于点F,则四边形PDEF是矩形.
∴EF=PD=(12 - 2t)cm,PF=DE.在Rt△PQF和Rt△DCE中,{PQ=DC,PF=DE,
∴Rt△PQF≌Rt△DCE.
∴QF=CE.
∴QC - PD=QC - EF=QF+EC=2CE,即3t - (12 - 2t)=12,解得t=$\frac{24}{5}$.
∴当t=$\frac{24}{5}$时，四边形PQCD为等腰梯形
