8. (2025·沭阳段考)如图，在四边形$ABCD$中，$AD = BC$，$P$是对角线$BD$的中点，$E$，$F$分别是$AB$，$CD$的中点，连接$PE$，$PF$，$EF$。若$∠ PEF = 25^{\circ}$，则$∠ FPE$的度数为。

8. $130^{\circ}$

证明：
∵P是BD中点，E是AB中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=$\frac{1}{2}$AD，PE//AD。
同理，PF是△BCD的中位线，
∴PF=$\frac{1}{2}$BC，PF//BC。
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴△PEF是等腰三角形，∠PEF=∠PFE=25°。
在△PEF中，∠FPE=180°-∠PEF-∠PFE=180°-25°-25°=130°。
130°

9. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 13$，$BC = 12$，$D$，$E$分别是$AB$，$BC$的中点，连接$DE$，$CD$。若$DE = 2.5$，求$△ ACD$的周长。

9. $ \because D $，$ E $ 分别是 $ AB $，$ BC $ 的中点，$ DE = 2.5 $，$ \therefore DE $ 是 $ △ ABC $ 的中位线．$ \therefore AC = 2DE = 5 $．$ \because AB = 13 $，$ BC = 12 $，$ \therefore AC^{2} + BC^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169 $，$ AB^{2} = 13^{2} = 169 $．$ \therefore AC^{2} + BC^{2} = AB^{2} $．
$ \therefore ∠ ACB = 90^{\circ} $．在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ \because D $ 是 $ AB $ 的中点，$ \therefore AD = CD = \dfrac{1}{2}AB = 6.5 $．$ \therefore △ ACD $ 的周长 $ = AC + AD + CD = 18 $

10. 如图，在正方形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$E$为$BC$上一点，$CE = 7$，连接$DE$，$F$为$DE$的中点，连接$OF$，$CF$。若$△ CEF$的周长为$32$，求$OF$的长。

10. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，$ \therefore ∠ BCD = 90^{\circ} $，$ BC = DC $，$ BO = DO $．$ \because $ 在 $ \mathrm{Rt}△ DCE $ 中，$ F $ 为 $ DE $ 的中点，$ \therefore CF = EF = DF = \dfrac{1}{2}DE $．$ \because CE = 7 $，$ △ CEF $ 的周长为 $ 32 $，$ \therefore DE = 25 $．$ \therefore $ 在 $ \mathrm{Rt}△ DCE $ 中，$ DC = \sqrt{DE^{2} - CE^{2}} = \sqrt{25^{2} - 7^{2}} = 24 $．$ \therefore BE = BC - CE = DC - CE = 17 $．$ \because BO = DO $，$ F $ 为 $ DE $ 的中点，$ \therefore OF $ 是 $ △ DBE $ 的中位线．$ \therefore OF = \dfrac{1}{2}BE = \dfrac{17}{2} $

11. (2025·宿城期中)如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$BD = 2AB$，$E$，$F$，$H$分别是$OD$，$OA$，$CB$的中点，连接$FH$，$EF$，$FH$交$BD$于点$G$。
(1) 求证：线段$FH$与线段$BE$互相平分；
(2) 若$EF = 12$，求$GH$的长。

11. （1）如图，连接 $ BF $，$ EH $．$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AD // BC $，$ AD = BC $．$ \because E $，$ F $，$ H $ 分别是 $ OD $，$ OA $，$ CB $ 的中点，即 $ EF $ 为 $ △ AOD $ 的中位线，$ \therefore EF // AD $，$ EF = \dfrac{1}{2}AD $，$ BH = \dfrac{1}{2}BC $．$ \therefore EF // BH $，$ EF = BH $．$ \therefore $ 四边形 $ BFEH $ 是平行四边形．
$ \therefore GH = GF $，$ GE = GB $．$ \therefore $ 线段 $ FH $ 与线段 $ BE $ 互相平分
（2）由（1）知，$ EF = \dfrac{1}{2}AD $．$ \because EF = 12 $，$ \therefore AD = BC = 24 $．$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore BD = 2OB $．又 $ \because BD = 2AB $，$ \therefore AB = OB $．$ \because F $ 为 $ OA $ 的中点，$ \therefore BF ⊥ OA $．又 $ \because H $ 为 $ BC $ 的中点，$ \therefore FH = \dfrac{1}{2}BC $．$ \because GH = GF $，$ \therefore GH = \dfrac{1}{4}BC = 6 $