7. 已知抛物线 $ C:y = ax^{2}+bx + c(a ≠ 0) $ 经过原点，顶点为 $ A(h,k)(h ≠ 0) $。
（1）当 $ h = 1 $，$ k = 2 $ 时，求抛物线 $ C $ 的表达式；
（2）若抛物线 $ y = tx^{2}(t ≠ 0) $ 也经过 $ A $ 点，求 $ a $ 与 $ t $ 之间的关系式。

7. 解:(1)
∵顶点为$A(1,2)$,
∴设抛物线C的表达式为$y = a(x - 1)^{2} + 2$.
∵抛物线C经过原点,
∴$0 = a(0 - 1)^{2} + 2$,
∴$a = -2$,
∴抛物线C的表达式为$y = -2x^{2} + 4x$.
(2)
∵抛物线C经过原点,
∴设抛物线C的表达式为$y = ax^{2} + bx$.
∵$h = -\frac{b}{2a}$,
∴$b = -2ah$,
∴$y = ax^{2} - 2ahx$.
∵顶点$A(h,k)$,
∴$k = ah^{2} - 2ah^{2} = -ah^{2}$.
∵抛物线$y = tx^{2}$也经过$A(h,k)$,
∴$k = th^{2}$,
∴$th^{2} = -ah^{2}$,$t = -a$.
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一、二次函数的实际应用
1. 用二次函数表示实际问题中变量之间的关系.
2. 用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质是求二次函数的。
3. 应用二次函数解决实际问题可按下列步骤进行：
①找出问题中的变量和常量以及它们之间的；
②表示它们之间的关系；
③应用二次函数的解题；
④检验结果的合理性，特别是检验是否符合实际意义.

2. 最值 3. ①表达式 ②函数 ③图象及性质

二、二次函数的综合应用
解决这类问题常需要综合以下数学思想方法：。

分类讨论思想、数形结合思想、方程思想、转化化归思想

1. 图①(单位：m)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m，水面宽 4 m. 如图②，建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是()。


A.$ y = - 2x^{2} $
B.$ y = 2x^{2} $
C.$ y = - \frac{1}{2}x^{2} $
D.$ y = \frac{1}{2}x^{2} $

1. C