24. (10分)小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图①、图②所示,花洒安装在离地面高度160厘米的A处,花洒AD的长度为20厘米.
(1)已知花洒与墙面所成的角∠BAD=120°,求当花洒喷射出的水流CD与花洒AD成90°的角时,水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离;(结果保留根号)
(2)某店铺代理销售这种花洒,上个月的销售额为2 400元,这个月由于店铺举行促销活动,每个花洒的价格比上个月便宜20元,因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元,求此款花洒的原价是多少元.

25. (10分)如图,点O在△ABC的边BC上,⊙O

24. (1)如图,过点D作EF//BC,作AE⊥EF,CF⊥EF,垂足分别为E,F.
∵ ∠BAD=120°,
∴ ∠EAD=60°,
∴ ∠EDA=30°.
∵ AD=20厘米,
∴ AE=1/2 AD=10厘米,DE=√3 AE=10√3厘米,
∴ CF=BE=160+10=170(厘米).
∵ ∠ADC=90°,
∴ ∠CDF=60°,
∴ DF=CF/√3=170√3/3厘米,
∴ BC=EF=ED+DF=10√3 + 170√3/3=200√3/3(厘米).
答:水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离为200√3/3厘米.
(2)设此款花洒的原价是x元,则现在的价格是(x-20)元.根据题意,得$\dfrac{2400+400}{x-20} - \dfrac{2400}{x} =8$,解得x=120或-50(舍去).经检验,x=120是原方程的解并符合题意.
答:此款花洒的原价是120元.

与AC相切于点C,与BC相交于点D,AB经过⊙O上的点E,且DE//OA.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若AC=6,BE=4,求⊙O的半径长;
(3)在(2)的条件下,延长AO交⊙O于点F,连接CF,求tan F的值.

25. (1)如图,连接OE,CE,CE交AO于点G,
∵ 点O在△ABC的边BC上,即CD是⊙O的直径,
∴ ∠CED=90°.
∵ DE//OA,
∴ ∠OGE=∠CED=90°.
∵ OC=OE,
∴ AO是EC的垂直平分线,∠OCE=∠OEC,
∴ AC=AE,
∴ ∠ACG=∠AEC.
∵ ⊙O与AC相切于点C,
∴ ∠ACO=∠ACG+∠OCE=90°,
∴ ∠AEO=∠AEC+∠OEC=90°,
∴ AB是⊙O的切线.
(2)
∵ AC=6,BE=4,
∴ AE=AC=6,
∴ AB=AE+BE=10.设⊙O的半径为r,BD=x,则BC=2r+x,OB=r+x.
∵ ∠ACB=∠OEB=90°,
∴ $\begin{cases}AB^2=AC^2+BC^2, \\ OB^2=OE^2+BE^2,\end{cases}$ 即$\begin{cases}10^2=6^2+(2r+x)^2, \\ (r+x)^2=r^2+4^2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}r=3, \\ x=2.\end{cases}$
∴ ⊙O的半径长为3.
(3)如图,设AO交⊙O于点M,连接CM,过点M作MH⊥AC,
∵ AC=6,OC=3,
∴ AO=√(AC²+OC²)=√(6²+3²)=3√5,
∴ AM=3√5-3.
∵ ∠ACB=90°,MH⊥AC,
∴ MH//OC,
∴ △AHM∽△ACO,
∴ $\dfrac{MH}{OC} = \dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AM}{AO}$,即$\dfrac{MH}{3} = \dfrac{AH}{6} = \dfrac{3\sqrt{5}-3}{3\sqrt{5}}$,解得$MH=\dfrac{15-3\sqrt{5}}{5}$, $AH=\dfrac{30-6\sqrt{5}}{5}$.
∴ CH=AC-AH=6-$\dfrac{30-6\sqrt{5}}{5}$=$\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
∵ OC=OF,
∴ ∠FCO=∠F.
∵ MF是⊙O的直径,
∴ ∠FCM=90°,即∠MCF=∠OCF+∠MCO=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACM+∠MCO= 90°,
∴ ∠ACM = ∠FCO,
∴ ∠ACM=∠F,
∴ tan F=tan∠ACM=$\dfrac{MH}{CH} = \dfrac{\dfrac{15-3\sqrt{5}}{5}}{\dfrac{6\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.