26. (14分)(2025·广州模拟)定义:若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点,则称该点为这个函数图象的“平衡点”.例如,点$(-1,1)$是函数$y=x+2$的图象的“平衡点”.
(1)在函数①$y=-x+3$,②$y=\frac{3}{x}$,③$y=-x^2+2x+1$,④$y=x^2+x+7$的图象上,存在“平衡点”的函数是;(填序号)
(2)设函数$y=-\frac{4}{x}(x＞0)$与$y=2x+b$的图象的“平衡点”分别为点A,B,过点A作$AC ⊥ y$轴,垂足为C.当$△ ABC$为等腰三角形时,求$b$的值;
(3)若将函数$y=x^2+2x$的图象绕$y$轴上一点M旋转$180°$,M在$(0,-1)$下方,旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时,求M的坐标.

26. (1) ③ 解析:平衡点满足y=-x.①代入后得到0=3,无解;②代入后得到x²=-3,无实数解;③代入后得到x²-3x-1=0,b²-4ac=9+4=13＞0,有实数解;④代入后得到x²+2x+7=0,判别式小于0,无实数解.故填③.
(2)当x+y=0时,y=-x.
∵ y=-4/x(x＞0),
∴ -4/x=-x,解得x₁=2,x₂=-2(舍去),
∴ y=-4/2=-2,
∴ A(2,-2),同理可求B(-b/3,b/3).
①如图①,当C为等腰三角形的顶角的顶点时,CA=CB,此时B在以C为圆心,CA长为半径的圆周上,
∴ (-b/3)² + (b/3 +2)²=4,解得b₁=0,b₂=-6.
∵ 当b=-6时,B(2,-2),
∴ B与A重合,b₂=-6舍去,
∴ b=0.
②如图②,当A为等腰三角形的顶角的顶点时,AC=AB,此时B在以A为圆心,AC长为半径的圆周上,
∴ (-b/3 -2)² + (b/3 +2)²=4,解得b₁=-6+3√2,b₂=-6-3√2.
③如图③,当B为等腰三角形的顶角的顶点时,BA=BC,此时B在AC的垂直平分线上,
∴ -b/3=1,解得b=-3.综上所述,b的值为0,-3,-6+3√2或-6-3√2.
(3)设M(0,m)(m＜-1),先将抛物线向上平移|m|个单位长度得y=x²+2x-m,再将y=x²+2x-m绕原点旋转180°得-y=(-x)²-2x-m,即y=-x²+2x+m,然后将y=-x²+2x+m向下平移|m|个单位长度得y=-x²+2x+2m,即为y=x²+2x绕M(0,m)旋转180°后函数表达式.
∴ -x=-x²+2x+2m,整理得x²-3x-2m=0.
∵ 旋转后的图象上恰有1个“平衡点”,
∴ b²-4ac=(-3)²-4×(-2m)=0,解得m=-9/8,
∴ M(0,-9/8).

27. (14分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=15$,$BC=20$,经过点$C$的$\odot O$与$△ ABC$的每条边都相交.$\odot O$与$AC$边的另一个公共点为$D$,与$BC$边的另一个公共点为$E$,与$AB$边的两个公共点分别为$F$,$G$.设$\odot O$的半径为$r$.
【操作感知】
(1)根据题意,仅用圆规在图中作出一个满足条件的$\odot O$,并标明相关字母；
【初步探究】
(2)求证:$CD^2 + CE^2 = 4r^2$；
(3)当$r=8$时,则$CD^2 + CE^2 + FG^2$的最大值为________；
【深入研究】
(4)直接写出满足题意的$r$的取值范围；对于范围内每一个确定的$r$的值,$CD^2 + CE^2 + FG^2$都有最大值,每一个最大值对应的圆心$O$所形成的路径长为________.

备用图

27. (1)答案不唯一,示例如图①.
(2)如图②,连接DE.
∵ ∠DCE=90°,
∴ DE为⊙O的直径,即DE=2r.
∴ CD²+CE²=DE²=4r².
(3) 448 解析:如图③,
∵ CD²+CE²是定值,FG是⊙O的弦,⊙O的半径为定值8,
∴ 弦心距越小,则弦FG越大,圆心O在以C为圆心,8为半径的圆上.当CO⊥AB时,O到AB的距离最短,此时FG最大.在Rt△ABC中,AB=√(AC²+BC²)=25,
∵ 1/2 · AC · BC=1/2 · AB · CH,
∴ CH=(15×20)/25=12.
∵ OC=8,
∴ OH=4.
∵ OH⊥FG,
∴ FH=HG=√(OF²-OH²)=√(8²-4²)=4√3,
∴ FG=2FH=8√3,
∴ CD²+CE²+FG²的最大值=16²+(8√3)²=448.
(4) r的取值范围为6＜r≤12.5；31/4 解析:如图④,当⊙O₁与AB相切时,圆的直径最小,最小值为CH=12,此时r₁=6.当圆心O₂在AB上时,圆的直径最大,最大值为AB=25,此时r₂=25/2,
∴ 6＜r≤25/2.
∵ 圆心距离AB最近时,CD²+CE²+FG²的值最大,
∴ 当半径比较小,点O在CH上时,CD²+CE²+FG²的值最大.当圆心在CH上,圆正好经过点A时,设O₀A = O₀C = r. 在Rt△AHC中,AH=√(AC²-CH²)=√(15²-12²)=9.在Rt△AO₀H中,有r²=(12-r)²+9²,解得r=75/8,
∴ O₀H=12-75/8=21/8.当r＞75/8时,若圆心O还在CH上,则点A在圆内,圆不与AB边相交,
∴ 此时圆心应该是在AC中垂线上,
∴ 6＜r≤75/8时,圆心O在CH上,75/8＜r≤25/2时,圆心O在AC中垂线上,则CD²+CE²+FG²的值最大,
∴ 圆心O路径如图④中折线O₁-O₀-O₂.
∵ O₁H=6,O₀H=21/8,
∴ O₁O₀=6-21/8=27/8.
∵ AO₂=25/2,AH=9,
∴ HO₂=25/2 -9=7/2,
∴ O₀O₂=√((7/2)²+(21/8)²)=35/8,
∴ 点O路径长=27/8 +35/8=31/4.