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1. (2025·唐山校级月考)学校艺术节上,同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙.下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品,在同一幅作品中,内、外边框的图形不一定相似的是 (
A
)答案
1. A 解析:设矩形作品的长、宽分别为a,b,边框宽为d,则内、外矩形的长宽比分别为$\frac{a}{b}$,$\frac{a+2d}{b+2d}$,二者不一定相等.故选A.
2.（河北中考）若$△ ABC$的每条边长增加各自的10%得$△ A'B'C'$，则$∠ B'$的度数与其对应角$∠ B$的度数相比（
A.增加了10%
B.减少了10%
C.增加了$(1+10\%)$
D.没有改变
D
）A.增加了10%
B.减少了10%
C.增加了$(1+10\%)$
D.没有改变
答案
2. D 解析:按照比例放大或缩小的图形是相似图形，$\therefore △ ABC∽ △ A'B'C',\therefore ∠ B'=∠ B$.故选D.
3. 如果一个多边形的最长边和最短边分别为35 cm和5 cm，另一个和它相似的多边形的最长边为14 cm，那么这个多边形的最短边为
2
cm.答案
3. 2 解析:两个相似多边形的相似比为$\frac{14}{35}=\frac{2}{5}$,$\therefore$ 另一个多边形的最短边为$5×\frac{2}{5}=2(\mathrm{cm})$.
4. 有同一个四边形地块的甲、乙两张地图，比例尺分别为$1:200$与$1:500$，则甲地图与乙地图的相似比等于________.
答案
4. 5:2 解析:同一地块在地图上的长度与比例尺成正比，$\therefore$ 甲、乙两图的相似比为$\frac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{500}}=5:2$.
易错提醒
比例尺$1:200$是将地图缩小为原来的$\frac{1}{200}$,比例尺$1:500$是将地图缩小为原来的$\frac{1}{500}$,$\therefore$ 甲地图与乙地图的相似比是$\frac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{500}}$,而不是$\frac{200}{500}$.
易错提醒
比例尺$1:200$是将地图缩小为原来的$\frac{1}{200}$,比例尺$1:500$是将地图缩小为原来的$\frac{1}{500}$,$\therefore$ 甲地图与乙地图的相似比是$\frac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{500}}$,而不是$\frac{200}{500}$.
5. (1)如图①，$△ ABO ∽ △ CDO$，若$BO=6$，$DO=3$，$CD=2$，则$AB$的长为
(2)如图②，在$△ ABC$中，$CD$是边$AB$上的高，若$△ ACD ∽ △ CBD$，则$∠ ACB=$
4
。(2)如图②，在$△ ABC$中，$CD$是边$AB$上的高，若$△ ACD ∽ △ CBD$，则$∠ ACB=$
90
°。答案
5. (1) 4 解析:$\because △ ABO∽ △ CDO,\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BO}{DO}=\frac{6}{3}=2,\therefore AB=2CD=4.$
(2) 90 解析:$\because △ ACD∽ △ CBD,\therefore ∠ ACD=∠ B,∠ A=∠ BCD.$又$\because CD$是边AB上的高,$\therefore ∠ ACD+∠ A=90°$,$\therefore ∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=90°.$
(2) 90 解析:$\because △ ACD∽ △ CBD,\therefore ∠ ACD=∠ B,∠ A=∠ BCD.$又$\because CD$是边AB上的高,$\therefore ∠ ACD+∠ A=90°$,$\therefore ∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=90°.$
6. 教材变式 如图,在$□ ABCD$中,AC与BD交于点O,点F,E,M,N分别是AO,BO,CO,DO的中点,顺次连接四点形成一个$□ FEMN$,试证明$□ ABCD$和$□ FEMN$相似.
答案
$\because$ 点F,E,M,N分别是AO,BO,CO,DO的中点,$\therefore FN// EM// AD// BC,EF// NM// AB// CD,EM=FN=\frac{1}{2}CB,EF=NM=\frac{1}{2}AB$,$\therefore ∠ FEM=∠ FNM=∠ ABC=∠ ADC,∠ EFN=∠ EMN=∠ BAD=∠ BCD$,$\therefore □ ABCD∽ □ FEMN.$
7. (2025·张掖期中)如图,点 C,D 在线段 AB 上,△PCD 是等边三角形,且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB 的大小;
(2)说明线段 AC,CD,BD 之间的数量关系,当AC=4,BD=9时,试求 CD 的值.
(1)求∠APB 的大小;
(2)说明线段 AC,CD,BD 之间的数量关系,当AC=4,BD=9时,试求 CD 的值.
答案
7. (1) $\because △ PCD$是等边三角形,$\therefore ∠ PCD=60°$,$\therefore ∠ A+∠ APC=60°.\because △ ACP∽ △ PDB$,$\therefore ∠ APC=∠ B$,$\therefore ∠ A+∠ B=60°$,$\therefore ∠ APB=180°-(∠ A+∠ B)=120°.$
(2)$\because △ ACP∽ △ PDB$,$\therefore \frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}.\because △ PCD$是等边三角形,$\therefore PC=PD=CD$,$\therefore CD^2=AC·BD.$又$AC=4,BD=9$,$\therefore CD^2=36$,即$CD=6.$
(2)$\because △ ACP∽ △ PDB$,$\therefore \frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}.\because △ PCD$是等边三角形,$\therefore PC=PD=CD$,$\therefore CD^2=AC·BD.$又$AC=4,BD=9$,$\therefore CD^2=36$,即$CD=6.$
8. (2025·长治期末)复印用纸中的A3纸对折后成为2张A4纸，A4纸对折后成为2张A5纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，则复印用纸的长、宽之比为 (
A.$\sqrt{2}:1$
B.$1:\sqrt{2}$
C.$2:1$
D.$1:2$
A
)A.$\sqrt{2}:1$
B.$1:\sqrt{2}$
C.$2:1$
D.$1:2$
答案
8. A 解析:设A3纸的宽为x,长为y,则A4纸的宽为$\frac{1}{2}y$,长为x.$\because$ 得到的两个矩形都和原来的矩形相似,$\therefore y:x=x:\frac{1}{2}y$,即$x^2=\frac{1}{2}y^2$,$\therefore x:y=1:\sqrt{2}$,$\therefore y:x=\sqrt{2}:1$,即复印用纸的长与宽之比是$\sqrt{2}:1$.故选A.
