7. (抚顺中考)如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(8,0)，O(0,0)，B(8,-6)，点M为OB的中点.以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的$\frac{1}{2}$，得到△A'OB'，点M'为OB'的中点，则MM'的长为.

7. 5/2或15/2 解析:如图,在Rt△AOB中,OB=√(6²+8²)=10.
①当△A'OB'在第四象限时,MM'=5/2;②当△A''OB''在第二象限时,MM''=15/2.故答案为5/2或15/2.

8. (2026·六安期中)如果两个一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$满足$k_1=k_2$，$b_1≠b_2$，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图，已知函数$y=-2x+4$的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点，一次函数$y=kx+b$与$y=-2x+4$是“平行一次函数”.
(1)若函数$y=kx+b$的图象过点$(3,1)$，求b的值；
(2)若函数$y=kx+b$的图象与两坐标轴围成的三角形和$△ AOB$构成位似图形，位似中心为原点，且与两坐标轴围成的三角形各边长分别是$△ AOB$各边长的$\frac{1}{2}$，求函数$y=kx+b$的表达式.

8. (1)由已知得k=-2,把点(3,1)和k=-2代入y=kx+b中,得1=-2×3+b,
∴ b=7.
(2)如图,根据两个三角形的边长之比可得函数y=kx+b的图象有两种情况:①不经过第三象限时,过点(1,0)和(0,2),这时函数y=kx+b的表达式为y=-2x+2;②不经过第一象限时,过点(-1,0)和(0,-2),这时函数y=kx+b的表达式为y=-2x-2.
综上,函数y=kx+b的表达式为y=-2x+2或y=-2x-2.

9. (2026·苏州模拟)如图①所示,点P与P'分别为两个抛物线的顶点,A与B,A'与B'分别为两个抛物线上的点,若△PAB与△P'A'B'关于点Q位似且位于点Q的同侧,则称这两条抛物线为位似抛物线,其中点Q为两抛物线的位似中心.
(1)如图②所示的两抛物线$y=x^2$和$y=4x^2$,点$A(4,16)$,$B(-4,16)$为抛物线$y=x^2$上两点,连接$OA$,$OB$分别交$y=4x^2$于点$C$,$D$,判断$y=x^2$和$y=4x^2$是否为位似抛物线,并说明理由；
(2)如图③所示抛物线$y=x^2+1$,试直接写出抛物线$y=x^2+1$关于原点位似,按照位似关系放大3倍后开口向上的抛物线表达式；
(3)如图④,已知抛物线$C_1:y=mx^2+nx$和$C_2:y=ax^2+bx+c(a≠0,m≠0)$为位似抛物线,点$M$,$N$为它们的顶点,试仅用无刻度直尺和圆规作图,找出它们的位似中心$Q$的位置(保留必要的作图痕迹,不需要说明理由).

9. (1)$y=x^2$和$y=4x^2$是位似抛物线,理由如下:连接CD,
∵ A(4,16),B(-4,16),
∴ 设直线OA的表达式为y=kx,则4k=16,解得k=4,
∴ y=4x,联立$\begin{cases} y=4x, \\ y=4x^2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=0, \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1, \\ y=4, \end{cases}$
∴ C(1,4).同理可得D(-1,4).
∵ OA=√(4²+16²)=4√17,OB=√(4²+16²)=4√17,OC=√(1²+4²)=√17,OD=√(1²+4²)=√17,
∴ $\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{4}$.又
∵ O,C,A三点共线,O,D,B三点共线,点O是两条抛物线的共用顶点,
∴ △COD和△AOB关于点O位似,且在点O的同侧,
∴ 抛物线$y=x^2$和$y=4x^2$是位似抛物线.
(2)$y=\frac{1}{3}x^2+3$ 解析:设$y=x^2+1$的顶点为P,则P(0,1).
∵ 两条抛物线关于点O为位似抛物线,且按照位似关系放大3倍,
∴ 另一条抛物线的顶点坐标为(0,3),
∴ 设另一条抛物线的表达式为$y=ax^2+3$,设抛物线$y=x^2+1$上任意一点的坐标为$(m,m^2+1)$,则其关于原点位似的对应点的坐标为$(3m,3m^2+3)$,该点在抛物线$y=ax^2+3$上,
∴ $3m^2+3=9am^2+3$,
∴ $a=\frac{1}{3}$,
∴ 抛物线$y=x^2+1$关于原点位似,放大3倍后开口向上的抛物线表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+3$.
(3)如图,点Q即为所求.
解析:连接OM,以点O为圆心,MN为半径画弧,以点N为圆心,MO为半径画弧,两弧交于点G,则四边形OMNG为平行四边形,连接NG交右侧抛物线于点H,则NH//OM,则$\frac{QH}{QO}=\frac{QN}{QM}$,△QHN和△QOM位似,位似中心为点Q.