9. 如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形A'B'C'D'与正方形ABCD是以AC的中点O'为位似中心的位似图形,已知$AC=3\sqrt{2}$,若点A'的坐标为$(1,2)$,则正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是 ()


A.$1:6$
B.$1:3$
C.$1:2$
D.$2:3$

9. B 解析:如图,延长A'B'交BC于点E.$\because$ 在正方形ABCD中,$AC=3\sqrt{2}$,$\therefore BC=AB=3$,$\because$ 点A'的坐标为$(1,2)$,$\therefore OE=1$,$EC=A'E=3-1=2$,$\therefore CE:BC=2:3$,$\because A'E// AB$,$\therefore CA':AC=CE:BC=2:3$,$\because$ 正方形A'B'C'D'与正方形ABCD是以AC的中点O'为位似中心的位似图形,$\therefore AA'=CC'$,$\therefore AA'=CC'=A'C'$,$\therefore A'C':AC=1:3$,$\therefore$ 正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是1:3.故选B.

10. (2026·石家庄期中)如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠,使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为.

(第10题) (第11题)

10. $\sqrt{2}+1$ 解析:设$HG=x$,$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠ A=∠ ADH=90°$,$AD=BC=1$.由折叠得$∠ A=∠ DHE=90°$,$AD=DH=1$,$BC=CG=1$,$\therefore$ 四边形ADHE是正方形,$\therefore AD=HE=1$.$\because$ 矩形HEFG与原矩形ABCD相似,$\therefore \frac{GH}{AD}=\frac{HE}{DC}$,$\therefore \frac{x}{1}=\frac{1}{1+x+1}$,解得$x=\sqrt{2}-1$或$x=-\sqrt{2}-1$.经检验,$x=\sqrt{2}-1$或$x=-\sqrt{2}-1$都是原方程的根.$\because GH＞0$,$\therefore GH=\sqrt{2}-1$,$\therefore DC=2+x=\sqrt{2}+1.$

11. 新题型 新定义（齐齐哈尔中考）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，线段CD是$△ ABC$的“和谐分割线”，$△ ACD$为等腰三角形，$△ CBD$和$△ ABC$相似，$∠ A=46°$，则$∠ ACB$的度数为.

11. $113°$或$92°$ 解析:$\because △ BCD$和$△ BAC$相似,$\therefore ∠ BCD=∠ A=46°.\because ∠ ADC＞∠ BCD$,$\therefore ∠ ADC＞∠ A$,即$AC≠CD.$
①当$AC=AD$时,$∠ ACD=∠ ADC=\frac{1}{2}×(180°-46°)=67°$,$\therefore ∠ ACB=67°+46°=113°$;②当$DA=DC$时,$∠ ACD=∠ A=46°$,$\therefore ∠ ACB=46°+46°=92°$.故答案为$113°$或$92°.$

12. (南通中考)如图,点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点,以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG,且菱形 AEFG 与菱形 ABCD 相似,连接 EB,GD.
(1)求证:EB=GD;
(2)若 ∠DAB = 60°, AB = 2, AG = $\sqrt{3}$, 求 GD 的长.

(1)$\because$ 菱形AEFG和菱形ABCD相似,$\therefore ∠ EAG=∠ BAD$,$\therefore ∠ EAG+∠ GAB=∠ BAD+∠ GAB$,$\therefore ∠ EAB=∠ GAD.$
$\because AE=AG,AB=AD$,$\therefore △ AEB≌ △ AGD$,$\therefore EB=GD.$
(2)如图,连接BD交AC于点P,则$BP⊥AC.$$\because ∠ DAB=60°$,$\therefore ∠ PAB=30°$,$\therefore BP=\frac{1}{2}AB=1$,$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{3}.$
$\because AE=AG=\sqrt{3}$,$\therefore EP=2\sqrt{3}$,$\therefore EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}$,$\therefore GD=EB=\sqrt{13}.$

13. 如图,二次函数$y=\frac{1}{4}x^2+bx+3$的图象经过点$A(8,3)$,交$x$轴于点$B,C$(点$B$在点$C$的左侧),与$y$轴交于点$D$.
(1)填空:$b=$;
(2)在$x$轴的正半轴上找一点$E$,过点$E$作$AE$的垂线$EF$交$y$轴于点$F$,若$△ AEF$与$△ EFO$相似,求$OE$的长.

13. (1) -2 解析:$\because$ 二次函数$y=\frac{1}{4}x^2+bx+3$的图象经过点$A(8,3)$,$\therefore \frac{1}{4}×8^2+8b+3=3$,解得$b=-2.$
(2)过点A作$AH⊥x$轴,垂足为H.分三种情形:
①如图①,若$△ AEF∽ △ EOF$,则$∠ AFE=∠ EFO$.延长AE交y轴于点G.$\because AE⊥EF$,$\therefore AE=EG$,$\therefore △ AEH≌ △ GEO$,$\therefore OE=EH=4.$

②如图②,若$△ AEF∽ △ FOE$,则$∠ AFE=∠ OEF$,$\therefore AF// OE$,此时点D与点F重合,$\therefore OF=AH=3$.设$OE=x$,则$EH=8-x$.由条件知$△ AEH∽ △ EFO$,$\therefore \frac{AH}{EH}=\frac{OE}{OF}$,$\therefore \frac{3}{8-x}=\frac{x}{3}$,解得$x=4±\sqrt{7}$,$\therefore OE=4±\sqrt{7}.$
③如图③,若$△ AEF∽ △ FOE$,则$∠ AFE=∠ OEF$,设AF交x轴于点G,则$FG=EG.$$\because AE⊥EF$,$\therefore FG=AG$,$\therefore △ AGH≌ △ FGO$,$\therefore OF=AH=3$.设$HE=x$,则$EO=8+x$.由条件知$△ AEH∽ △ EFO$,$\therefore \frac{AH}{EH}=\frac{OE}{OF}$,$\therefore \frac{3}{x}=\frac{8+x}{3}$,解得$x_1=-9$(舍去),$x_2=1$,$\therefore EO=8+x=8+1=9$.综上可得,OE的长是4或$4±\sqrt{7}$或9.