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例1 求下列各数的算术平方根：
(1) $225$； (2) $1\frac{9}{16}$； (3) $(-5)^{2}$； (4) $\frac{1}{10^{4}}$。
[解答] (1) 因为$15^{2}= 225$,所以$225的算术平方根是15$,即$\sqrt{225}= 15$。
(2) 因为$1\frac{9}{16}= \frac{25}{16}$,$(\frac{5}{4})^{2}= \frac{25}{16}$,所以$\frac{25}{16}的算术平方根是\frac{5}{4}$,即$\sqrt{\frac{25}{16}}= \frac{5}{4}$。
(3) 因为$(-5)^{2}= 25$,$5^{2}= 25$,所以$25的算术平方根是5$,即$\sqrt{25}= 5$。
(4) 因为$\frac{1}{10^{4}}= \frac{1}{10000}$,$(\frac{1}{100})^{2}= \frac{1}{10000}$,所以$\frac{1}{10^{4}}的算术平方根是\frac{1}{100}$,即$\sqrt{\frac{1}{10^{4}}}= \frac{1}{100}$。
(1) $225$； (2) $1\frac{9}{16}$； (3) $(-5)^{2}$； (4) $\frac{1}{10^{4}}$。
[解答] (1) 因为$15^{2}= 225$,所以$225的算术平方根是15$,即$\sqrt{225}= 15$。
(2) 因为$1\frac{9}{16}= \frac{25}{16}$,$(\frac{5}{4})^{2}= \frac{25}{16}$,所以$\frac{25}{16}的算术平方根是\frac{5}{4}$,即$\sqrt{\frac{25}{16}}= \frac{5}{4}$。
(3) 因为$(-5)^{2}= 25$,$5^{2}= 25$,所以$25的算术平方根是5$,即$\sqrt{25}= 5$。
(4) 因为$\frac{1}{10^{4}}= \frac{1}{10000}$,$(\frac{1}{100})^{2}= \frac{1}{10000}$,所以$\frac{1}{10^{4}}的算术平方根是\frac{1}{100}$,即$\sqrt{\frac{1}{10^{4}}}= \frac{1}{100}$。
答案
(1)
因为 $15^{2} = 225$，所以 $225$ 的算术平方根是 $15$，即 $\sqrt{225} = 15$。
(2)
因为 $1\frac{9}{16} = \frac{25}{16}$，$(\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$，所以 $\frac{25}{16}$ 的算术平方根是 $\frac{5}{4}$，即 $\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$。
(3)
因为 $(-5)^{2} = 25$，$5^{2} = 25$，所以 $25$（即$(-5)^{2}$ ）的算术平方根是 $5$，即 $\sqrt{(-5)^{2}} =\sqrt{25}= 5$。
(4)
因为 $\frac{1}{10^{4}} = \frac{1}{10000}$，$(\frac{1}{100})^{2} = \frac{1}{10000}$，所以 $\frac{1}{10^{4}}$ 的算术平方根是 $\frac{1}{100}$，即 $\sqrt{\frac{1}{10^{4}}} = \frac{1}{100}$。
因为 $15^{2} = 225$，所以 $225$ 的算术平方根是 $15$，即 $\sqrt{225} = 15$。
(2)
因为 $1\frac{9}{16} = \frac{25}{16}$，$(\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$，所以 $\frac{25}{16}$ 的算术平方根是 $\frac{5}{4}$，即 $\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$。
(3)
因为 $(-5)^{2} = 25$，$5^{2} = 25$，所以 $25$（即$(-5)^{2}$ ）的算术平方根是 $5$，即 $\sqrt{(-5)^{2}} =\sqrt{25}= 5$。
(4)
因为 $\frac{1}{10^{4}} = \frac{1}{10000}$，$(\frac{1}{100})^{2} = \frac{1}{10000}$，所以 $\frac{1}{10^{4}}$ 的算术平方根是 $\frac{1}{100}$，即 $\sqrt{\frac{1}{10^{4}}} = \frac{1}{100}$。
例2 若$\vert a + 1\vert+\sqrt{b - 2026}+(c - 2)^{2}= 0$,求$a^{b}+c$的值。
[解答] 因为$\vert a + 1\vert+\sqrt{b - 2026}+(c - 2)^{2}= 0$,所以$\vert a + 1\vert=0$,$\sqrt{b - 2026}= 0$,$(c - 2)^{2}= 0$,所以$a + 1 = 0$,$b - 2026 = 0$,$c - 2 = 0$,所以$a= -1$,$b = 2026$,$c = 2$。所以$a^{b}+c= (-1)^{2026}+2= 1 + 2 = 3$。
归纳：初中阶段的三类非负数：绝对值、偶次方和算术平方根。
[解答] 因为$\vert a + 1\vert+\sqrt{b - 2026}+(c - 2)^{2}= 0$,所以$\vert a + 1\vert=0$,$\sqrt{b - 2026}= 0$,$(c - 2)^{2}= 0$,所以$a + 1 = 0$,$b - 2026 = 0$,$c - 2 = 0$,所以$a= -1$,$b = 2026$,$c = 2$。所以$a^{b}+c= (-1)^{2026}+2= 1 + 2 = 3$。
归纳：初中阶段的三类非负数：绝对值、偶次方和算术平方根。
答案
答题卡：
由题意，$\vert a + 1 \vert +\sqrt{b - 2026} + (c - 2)^{2} = 0$。
因为绝对值，算术平方根和偶次方均为非负数，三个非负数之和为0，则各自必须为0。
$\therefore \quad \vert a + 1\vert = 0, \quad \sqrt{b - 2026} = 0, \quad (c - 2)^{2} = 0$，
$\therefore \quad a + 1 = 0, \quad b - 2026 = 0, \quad c - 2 = 0$，
$\therefore \quad a = -1, \quad b = 2026, \quad c = 2$。
$\therefore \quad a^{b} + c = (-1)^{2026} + 2 = 1 + 2 = 3$。
最终结论：$a^{b} + c = 3$。
由题意，$\vert a + 1 \vert +\sqrt{b - 2026} + (c - 2)^{2} = 0$。
因为绝对值，算术平方根和偶次方均为非负数，三个非负数之和为0，则各自必须为0。
$\therefore \quad \vert a + 1\vert = 0, \quad \sqrt{b - 2026} = 0, \quad (c - 2)^{2} = 0$，
$\therefore \quad a + 1 = 0, \quad b - 2026 = 0, \quad c - 2 = 0$，
$\therefore \quad a = -1, \quad b = 2026, \quad c = 2$。
$\therefore \quad a^{b} + c = (-1)^{2026} + 2 = 1 + 2 = 3$。
最终结论：$a^{b} + c = 3$。
例3 求下列各式的值：
(1) $(\sqrt{1.5})^{2}$；(2) $\sqrt{(-7)^{2}}$；(3) $(\sqrt{16})^{2}$；(4) $\sqrt{(2 - x)^{2}}(x＞2)$。
[解答] (1) $(\sqrt{1.5})^{2}= 1.5$。
(2) $\sqrt{(-7)^{2}}= \vert - 7\vert=7$。
(3) $(\sqrt{16})^{2}= 16$。
(4) 因为$x＞2$,所以$2 - x＜0$,
所以$\sqrt{(2 - x)^{2}}= \vert 2 - x\vert=-(2 - x)= x - 2$。
(1) $(\sqrt{1.5})^{2}$；(2) $\sqrt{(-7)^{2}}$；(3) $(\sqrt{16})^{2}$；(4) $\sqrt{(2 - x)^{2}}(x＞2)$。
[解答] (1) $(\sqrt{1.5})^{2}= 1.5$。
(2) $\sqrt{(-7)^{2}}= \vert - 7\vert=7$。
(3) $(\sqrt{16})^{2}= 16$。
(4) 因为$x＞2$,所以$2 - x＜0$,
所以$\sqrt{(2 - x)^{2}}= \vert 2 - x\vert=-(2 - x)= x - 2$。
答案
(1) $(\sqrt{1.5})^{2} = 1.5$。
(2) $\sqrt{(-7)^{2}} = \vert -7 \vert = 7$。
(3) $(\sqrt{16})^{2} = 16$。
(4) 因为 $x ＞ 2$，所以 $2 - x ＜ 0$，
所以$\sqrt{(2 - x)^{2}} = \vert 2 - x \vert = -(2 - x) = x - 2$。
(2) $\sqrt{(-7)^{2}} = \vert -7 \vert = 7$。
(3) $(\sqrt{16})^{2} = 16$。
(4) 因为 $x ＞ 2$，所以 $2 - x ＜ 0$，
所以$\sqrt{(2 - x)^{2}} = \vert 2 - x \vert = -(2 - x) = x - 2$。
