1. 半径为 $ R $ 的圆的周长怎么计算？

1.$2\pi R$.

2. 圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，$ 1^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是多少？$ n^{\circ} $ 的圆心角呢？

2.$360^{\circ }$;$\frac {2\pi R}{360}$,即$\frac {\pi R}{180}$;$\frac {n\pi R}{180}$.

圆的周长可以看作$360^{\circ}$的圆心角所对的弧长。
$1^{\circ}$的圆心角所对的弧长是$\frac{2\pi R}{360}=\frac{\pi R}{180}$。
$n^{\circ}$的圆心角所对的弧长是$\frac{n\pi R}{180}$。

弧长公式：在半径为 $ R $ 的圆中，$ n^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长 $ l = $ .

$\frac {n\pi R}{180}$

1. 半径为 $ R $ 的圆的面积怎么计算？

1.$\pi R^{2}$.

2. 圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？由此出发，$ 1^{\circ} $ 的圆心角所对的扇形面积是多少？$ n^{\circ} $ 的圆心角呢？

2.$360^{\circ }$;$\frac {\pi R^{2}}{360}$;$\frac {n\pi R^{2}}{360}$.

圆面积可以看作$360^{\circ}$的圆心角所对的扇形的面积。由此出发，$1^{\circ}$的圆心角所对的扇形面积是$\frac{\pi R^{2}}{360}$，$n^{\circ}$的圆心角所对的扇形面积是$\frac{n\pi R^{2}}{360}$。

扇形面积公式：
(1) 在半径为 $ R $ 的圆中，$ n^{\circ} $ 的圆心角所对的扇形的面积 $ S_{扇形} = $ ；
(2) 在半径为 $ R $ 的圆中，设 $ n^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是 $ l $，所对的扇形面积是 $ S $，则 $ S = $ $ = \frac{1}{2} \cdot $ $ = $ .

(1)$\frac {n\pi R^{2}}{360}$
(2)$\frac {n\pi R^{2}}{360}$ $\frac {n\pi R}{180}\cdot R$ $\frac {1}{2}lR$

1. 在半径为 6 的圆中，$ 90^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是()

A.$ \pi $
B.$ 2\pi $
C.$ 3\pi $
D.$ 4\pi $

1.C

弧长公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$n = 90^{\circ}$，$r = 6$。
$l=\frac{90\pi×6}{180}=3\pi$
C

2. 在圆心角为 $ 120^{\circ} $ 的扇形 $ AOB $ 中，半径 $ OA = 6 \, cm $，则扇形 $ AOB $ 的面积是()

A.$ 6\pi \, cm^2 $
B.$ 8\pi \, cm^2 $
C.$ 12\pi \, cm^2 $
D.$ 24\pi \, cm^2 $

2.C

扇形面积公式为$S = \frac{n\pi r^2}{360}$，其中$n = 120^{\circ}$，$r = 6\,cm$。
$\begin{aligned}S&=\frac{120\pi×6^2}{360}\\&=\frac{120\pi×36}{360}\\&=12\pi\,cm^2\end{aligned}$
C

3. 若扇形的弧长为 $ 2\pi $，半径为 3，则扇形的面积为 .

3.$3\pi $

扇形面积公式为$S = \frac{1}{2}lr$（其中$l$为弧长，$r$为半径）。已知弧长$l = 2\pi$，半径$r = 3$，则扇形面积$S=\frac{1}{2}× 2\pi× 3 = 3\pi$。
$3\pi$

【例 1】如图 24.4 - 1，四边形 $ ABCD $ 是 $ \odot O $ 的内接四边形，$ \odot O $ 的半径为 2，$ \angle B = 135^{\circ} $，则 $ \overset{\frown}{AC} $ 的长为()

A.$ 2\pi $
B.$ \pi $
C.$ \frac{\pi}{2} $
D.$ \frac{\pi}{3} $
思考 1：要求 $ \overset{\frown}{AC} $ 的长，已知半径的长，需求出 的度数，因此需连接 和 .
思考 2：由已知的 $ \angle B $ 可得 $ \angle D = $ ，则 $ \angle AOC = $ .
【一题多变】
1. 若已知 $ \overset{\frown}{AC} $ 的长为 $ \frac{3}{2}\pi $，$ \angle B = 135^{\circ} $，求 $ \odot O $ 的半径 $ R $.
2. 若已知 $ \overset{\frown}{AC} $ 的长为 $ \frac{3}{2}\pi $，$ \odot O $ 的半径为 2，求 $ \angle B $.

B $\widehat {AC}$所对圆心角 OA OC 45° 90°
1. 解：
因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，所以$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，已知$\angle B = 135^{\circ}$，则$\angle D=180^{\circ}-\angle B = 45^{\circ}$。
根据圆周角定理$\angle AOC = 2\angle D$，所以$\angle AOC = 90^{\circ}$。
由弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（$n$是圆心角弧度数，$R$是半径），已知$l = \frac{3}{2}\pi$，$n = 90^{\circ}$，代入$l=\frac{n\pi R}{180}$得$\frac{3}{2}\pi=\frac{90\pi R}{180}$。
化简方程：
方程两边同时乘以$180$得$270\pi = 90\pi R$。
两边同时除以$90\pi$，解得$R = 3$。
2. 解：
已知弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$，$l=\frac{3}{2}\pi$，$R = 2$，代入可得$\frac{3}{2}\pi=\frac{n\pi×2}{180}$。
化简方程：
方程两边同时乘以$180$得$270\pi=2n\pi$。
两边同时除以$2\pi$，解得$n = 135^{\circ}$，即$\angle AOC = 135^{\circ}$。
根据圆周角定理$\angle D=\frac{1}{2}\angle AOC$，所以$\angle D=\frac{1}{2}×135^{\circ}=67.5^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，所以$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，则$\angle B=180^{\circ}-\angle D=112.5^{\circ}$。
综上，1. $\odot O$的半径$R = 3$；2. $\angle B = 112.5^{\circ}$。