1. (广西南宁中考)如图 24.4 - 2，$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆，$ BC = 2 $，$ \angle BAC = 30^{\circ} $，则劣弧 $ \overset{\frown}{BC} $ 的长等于()

A.$ \frac{2}{3}\pi $
B.$ \frac{\pi}{3} $
C.$ \frac{2\sqrt{3}}{3}\pi $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{3}\pi $

1.A

解：连接 $OB$，$OC$。
因为$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，$\angle BAC = 30°$，所以$\angle BOC=2\angle BAC = 60°$。
又因为$OB=OC$，所以$\triangle OBC$是等边三角形，故$OB=OC=BC=2$。
劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{60°}{360°}×2\pi×2=\frac{1}{6}×4\pi=\frac{2}{3}\pi$。
答案：A

2. 在半径为 18 cm 的圆上有一段弧，弧长是 $ 12\pi \, cm $，则该弧所对的圆周角的度数为 .

2.$60^{\circ }$

设该弧所对的圆心角的度数为$n^{\circ}$。
由弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$r$为半径），已知$l = 12\pi\ cm$，$r = 18\ cm$，可得：
$12\pi = \frac{n\pi × 18}{180}$
化简得：
$12\pi = \frac{n\pi}{10}$
两边同时除以$\pi$：
$12 = \frac{n}{10}$
解得$n = 120$。
因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以该弧所对的圆周角的度数为$\frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$。
$60^{\circ}$

【例 2】(山东青岛中考)如图 24.4 - 3，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 $ AB $ 和 $ AC $ 的夹角为 $ 120^{\circ} $，$ AB $ 长为 25 cm，贴纸部分的宽 $ BD $ 为 15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为()

A.$ 175\pi \, cm^2 $
B.$ 350\pi \, cm^2 $
C.$ \frac{800}{3}\pi \, cm^2 $
D.$ 150\pi \, cm^2 $
思考：单面贴纸部分的面积如何计算？

B

贴纸部分的面积等于扇形外侧两竹条 $AB$ 和 $AC$ 形成的扇形面积，减去内侧两竹条 $AD$ 和 $AE$ 形成的扇形面积，再乘以 2（因为纸扇两面贴纸）。
已知夹角为 $1\20°$，即 $\frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ 弧度。
外侧扇形 $AB$ 的长度为 25 cm，内侧扇形 $AD$ 的长度为 $25 - 15 = 10$ cm。
外侧扇形面积为：
$S_{外} = \frac{1}{2} × 25^2 × \frac{2\pi}{3} = \frac{625 × 2\pi}{6} = \frac{1250\pi}{6} = \frac{625\pi}{3} (cm^2)$。
内侧扇形面积为：
$S_{内} = \frac{1}{2} × 10^2 × \frac{2\pi}{3} = \frac{100 × 2\pi}{6} = \frac{200\pi}{6} = \frac{100\pi}{3} (cm^2)$。
贴纸部分的面积为：
$S = 2 × \left( \frac{625\pi}{3} - \frac{100\pi}{3} \right) = 2 × \frac{525\pi}{3} = 2 × 175\pi = 350\pi (cm^2)$。

3. (新疆中考)一个扇形的圆心角是 $ 120^{\circ} $，面积是 $ 3\pi \, cm^2 $，那么这个扇形的半径是()

A.1 cm
B.3 cm
C.6 cm
D.9 cm

3.B

设扇形半径为$r$。
扇形面积公式：$S = \frac{n\pi r^2}{360}$（其中$n = 120°$，$S = 3\pi$）
代入得：$3\pi = \frac{120\pi r^2}{360}$
化简：$3\pi = \frac{1}{3}\pi r^2$
两边同除以$\pi$：$3 = \frac{1}{3}r^2$
解得：$r^2 = 9$，$r = 3$（$r ＞ 0$）
B

4. (湖南邵阳中考)如图 24.4 - 4 所示，在 $ 3 × 3 $ 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点 $ O $，$ A $，$ B $ 均为格点，则扇形 $ OAB $ 的面积是 .

4.$\frac {5\pi }{4}$

解：由题意，每个小方格边长为1，点O，A，B均为格点。
计算OA长度：点A在O左上方，横向距离1，纵向距离2，根据勾股定理，$OA=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
同理，OB长度：点B在O右上方，横向距离2，纵向距离1，$OB=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
计算AB长度：点A（-1,2），点B（2,1）（以O为原点），$AB=\sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - 2)^2}=\sqrt{3^2 + (-1)^2}=\sqrt{10}$。
在△OAB中，$OA^2 + OB^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5 + 5 = 10$，$AB^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$，所以$OA^2 + OB^2 = AB^2$，∠AOB=90°。
扇形OAB面积：$S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{90\pi (\sqrt{5})^2}{360}=\frac{90\pi × 5}{360}=\frac{5\pi}{4}$。
$\frac{5\pi}{4}$

【例 3】(山东济宁中考)如图 24.4 - 5，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC = BC = 1 $. 将 $ Rt \triangle ABC $ 绕 $ A $ 点逆时针旋转 $ 30^{\circ} $ 后得到 $ Rt \triangle ADE $，点 $ B $ 经过的路径为 $ \overset{\frown}{BD} $，则图中阴影部分的面积是()

A.$ \frac{\pi}{6} $
B.$ \frac{\pi}{3} $
C.$ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} $
D.$ \frac{1}{2} $
思考：图中阴影部分的面积如何用规则图形面积的和或差表示？

A

∵△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE，
∴△ADE≌△ABC，∠BAD=30°，S△ADE=S△ABC。
阴影部分面积=S扇形ABD + S△ADE - S△ABC。
∵S△ADE=S△ABC，
∴阴影部分面积=S扇形ABD。
在Rt△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，
∴AB=√(AC²+BC²)=√2。
扇形ABD的圆心角为30°，半径AB=√2，
∴S扇形ABD= (30/360)×π×(√2)²= (1/12)×π×2=π/6。
故阴影部分面积=π/6。