5. (重庆中考)如图 24.4 - 6，矩形 $ ABCD $ 的边 $ AB = 1 $，$ BE $ 平分 $ \angle ABC $，交 $ AD $ 于点 $ E $，若点 $ E $ 是 $ AD $ 的中点，以点 $ B $ 为圆心，$ BE $ 长为半径画弧，交 $ BC $ 于点 $ F $，则图中阴影部分的面积是()

A.$ 2 - \frac{\pi}{4} $
B.$ \frac{3}{2} - \frac{\pi}{4} $
C.$ 2 - \frac{\pi}{8} $
D.$ \frac{3}{2} - \frac{\pi}{8} $

5.B

解：
∵四边形$ABCD$是矩形，$AB=1$，
∴$\angle A=\angle ABC=90°$，$AD// BC$。
∵$BE$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABE=\angle EBC=45°$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle ABE=45°$，
∴$AE=AB=1$，$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵$E$是$AD$中点，
∴$AD=2AE=2$，即$BC=AD=2$。
矩形$ABCD$面积：$AB× BC=1×2=2$。
$\triangle ABE$面积：$\frac{1}{2}× AB× AE=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$。
扇形$BEF$面积：$\frac{45°}{360°}×\pi× BE^2=\frac{1}{8}×\pi×(\sqrt{2})^2=\frac{\pi}{4}$。
阴影部分面积=矩形面积$-\triangle ABE$面积$-$扇形$BEF$面积：
$2-\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{2}-\frac{\pi}{4}$。
$\frac{3}{2}-\frac{\pi}{4}$

1. (内蒙古包头中考)$ 120^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是 $ 6\pi $，则此弧所在圆的半径是()

A.3
B.4
C.9
D.18

1.C

解：设此弧所在圆的半径为$r$。
弧长公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$l$为弧长）。
已知$n = 120^{\circ}$，$l = 6\pi$，代入公式得：
$6\pi = \frac{120\pi r}{180}$
化简得：$6\pi = \frac{2\pi r}{3}$
两边同时除以$\pi$：$6 = \frac{2r}{3}$
解得：$r = 9$
C

2. (吉林长春中考)如图 24.4 - 7，$ PA $，$ PB $ 是 $ \odot O $ 的切线，切点分别为 $ A $，$ B $. 若 $ OA = 2 $，$ \angle P = 60^{\circ} $，则 $ \overset{\frown}{AB} $ 的长为()

A.$ \frac{2}{3}\pi $
B.$ \pi $
C.$ \frac{4}{3}\pi $
D.$ \frac{5}{3}\pi $

2.C

解：
∵PA，PB是$\odot O$的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠P=60°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120°，
∵OA=2，
∴$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120\pi×2}{180}=\frac{4}{3}\pi$。
答案：C

3. (湖南湘潭中考)如图 24.4 - 8，在半径为 4 的 $ \odot O $ 中，$ CD $ 是直径，$ AB $ 是弦，且 $ CD \perp AB $，垂足为点 $ E $，$ \angle AOB = 90^{\circ} $，则阴影部分的面积是()

A.$ 4\pi - 4 $
B.$ 2\pi - 4 $
C.$ 4\pi $
D.$ 2\pi $

3.D

4. (甘肃兰州中考)如图 24.4 - 9，正方形 $ ABCD $ 内接于半径为 2 的 $ \odot O $，则图中阴影部分的面积为()

A.$ \pi + 1 $
B.$ \pi + 2 $
C.$ \pi - 1 $
D.$ \pi - 2 $

4.D

解：连接 $OA$、$OD$。
∵ 正方形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，半径 $OA=OD=2$，
∴ $\angle AOD=90°$。
扇形 $AOD$ 面积：$\frac{90°}{360°} × \pi × 2^2 = \pi$。
$\triangle AOD$ 面积：$\frac{1}{2} × OA × OD = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
阴影部分面积 = 扇形 $AOD$ 面积 - $\triangle AOD$ 面积 = $\pi - 2$。
D

5. 如图 24.4 - 10，$ \triangle ABC $ 是等边三角形，曲线 $ CDEF $ 是该三角形的“渐开线”，其中 $ \overset{\frown}{CD} $，$ \overset{\frown}{DE} $，$ \overset{\frown}{EF} $ 的圆心依次是 $ A $，$ B $，$ C $，如果 $ AB = 1 $，那么曲线 $ CDEF $ 的长是 .

5.$4\pi $

解：
∵△ABC是等边三角形，AB=1，
∴AC=BC=AB=1，∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°．
$\overset{\frown}{CD}$的圆心为A，半径AC=1，圆心角∠CAD=180°-∠CAB=120°，
$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}$．
$\overset{\frown}{DE}$的圆心为B，半径BD=BA+AD=AB+AC=2，圆心角∠DBE=180°-∠ABC=120°，
$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{120\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$．
$\overset{\frown}{EF}$的圆心为C，半径CE=CB+BE=CB+BD=3，圆心角∠ECF=180°-∠BCA=120°，
$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{120\pi×3}{180}=2\pi$．
曲线CDEF的长为$\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+2\pi=4\pi$．
故答案为$4\pi$．

1. (四川成都中考)如图 24.4 - 11，$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径，点 $ C $ 在 $ \odot O $ 上，若 $ \angle OCA = 50^{\circ} $，$ AB = 4 $，则 $ \overset{\frown}{BC} $ 的长为()

A.$ \frac{10\pi}{3} $
B.$ \frac{10\pi}{9} $
C.$ \frac{5\pi}{9} $
D.$ \frac{5\pi}{18} $

1.B

解：
∵ $OA = OC$（半径相等），
$\angle OCA = 50°$，
∴ $\angle OAC = \angle OCA = 50°$（等边对等角）。
在$\triangle AOC$中，
$\angle AOC = 180° - \angle OAC - \angle OCA = 180° - 50° - 50° = 80°$。
∵ $AB$为直径，$\angle AOB = 180°$，
∴ $\angle BOC = \angle AOB - \angle AOC = 180° - 80° = 100°$。
∵ $AB = 4$，半径$r = \frac{AB}{2} = 2$，
$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{n\pi r}{180°} = \frac{100° × \pi × 2}{180°} = \frac{10\pi}{9}$。
答案：B