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11. 如图 24.3 - 10，已知边长为$2cm$的正六边形$ABCDEF$，$A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$，$D_{1}$，$E_{1}$，$F_{1}$分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积。
答案
解：连接正六边形中心 $ O $，易知阴影部分由6个全等的小三角形组成。
正六边形边长为 $ 2\ cm $，中心角为 $ 60° $，每个小三角形为顶角 $ 60° $ 的等腰三角形，腰长为中点连线长。
计算得每个小三角形面积为 $ \frac{\sqrt{3}}{8}\ cm^2 $，
阴影总面积为 $ 6 × \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\ cm^2 $。
$\frac{3\sqrt{3}}{4}\ cm^2$
正六边形边长为 $ 2\ cm $，中心角为 $ 60° $，每个小三角形为顶角 $ 60° $ 的等腰三角形，腰长为中点连线长。
计算得每个小三角形面积为 $ \frac{\sqrt{3}}{8}\ cm^2 $，
阴影总面积为 $ 6 × \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\ cm^2 $。
$\frac{3\sqrt{3}}{4}\ cm^2$
解析
解：连接正六边形中心 $ O $，易知阴影部分由6个全等的小三角形组成。
正六边形边长为 $ 2\ cm $，中心角为 $ 60° $，每个小三角形为顶角 $ 60° $ 的等腰三角形，腰长为中点连线长。
计算得每个小三角形面积为 $ \frac{\sqrt{3}}{8}\ cm^2 $，
阴影总面积为 $ 6 × \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\ cm^2 $。
$\frac{3\sqrt{3}}{4}\ cm^2$
正六边形边长为 $ 2\ cm $，中心角为 $ 60° $，每个小三角形为顶角 $ 60° $ 的等腰三角形，腰长为中点连线长。
计算得每个小三角形面积为 $ \frac{\sqrt{3}}{8}\ cm^2 $，
阴影总面积为 $ 6 × \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\ cm^2 $。
$\frac{3\sqrt{3}}{4}\ cm^2$
12. 如图 24.3 - 11，已知$\odot O$和$\odot O$上的一点$A$。
(1) 作$\odot O$的内接正方形$ABCD$和内接正六边形$AEFCGH$；
(2) 在(1)题的作图中，如果点$E$在$\overset{\frown}{AD}$上，求证：$DE$是$\odot O$的内接正十二边形的一边。
(1) 作$\odot O$的内接正方形$ABCD$和内接正六边形$AEFCGH$；
(2) 在(1)题的作图中，如果点$E$在$\overset{\frown}{AD}$上，求证：$DE$是$\odot O$的内接正十二边形的一边。
答案
12.
(1)解:作法:如答图24.3 - 4.①作直径AC;②作直径$BD\perp AC$;③依次连接A,B,C,D四点,四边形ABCD即为$\odot O$的内接正方形;④分别以A,C为圆心,以OA长为半径作弧,交$\odot O$于E,H,F,G;⑤顺次连接点A,E,F,C,G,H,六边形AEFCGH即为$\odot O$的内接正六边形.
(2)证明:如答图24.3 - 4,连接OE,DE.因为$\angle AOD = \frac{360°}{4} = 90°$,$\angle AOE = \frac{360°}{6} = 60°$,所以$\angle DOE = \angle AOD - \angle AOE = 90° - 60° = 30°$.因为$\frac{360}{30} = 12$,所以DE是$\odot O$的内接正十二边形的一边.
