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15. (★★)如图 24.1 - 7,$AB$为半圆的直径,$O$为圆心,$OC\perp AB交半圆于点C$,$D$是半圆上的动点(不与点$A$,$B$,$C$重合),点$D从点A出发向点B$运动. 过点$D作DE\perp AB$,$DF\perp OC$,垂足分别为$E$,$F$,分别取$DE和DF的中点M$,$N$,连接$MN$. 若$AB = 10$,则下列关于$MN$的说法正确的是【
A.先变大后变小
B.先变小后变大
C.等于$5$
D.等于$2.5$
D
】A.先变大后变小
B.先变小后变大
C.等于$5$
D.等于$2.5$
答案
D
解析
以O为原点，AB为x轴，OC为y轴建立坐标系。则A(-5,0)，B(5,0)，C(0,5)，半圆方程x²+y²=25。设D(x,y)，则E(x,0)，F(0,y)。M为DE中点，坐标(x,y/2)；N为DF中点，坐标(x/2,y)。MN距离为√[(x - x/2)² + (y/2 - y)²]=√[(x² + y²)/4]=√25/4=2.5。
16. (★★)(2020·常州)如图 24.1 - 8,$AB是\odot O$的弦,$C是优弧ACB$上的动点($C不与A$,$B$重合),$CH\perp AB$,垂足为$H$,点$M是BC$的中点. 若$\odot O的半径是3$,则$MH$长的最大值是【
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
A
】A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
A
解析
在$Rt\triangle CHB$中，$M$是$BC$中点，由直角三角形斜边中线性质得$MH=\frac{1}{2}BC$。$BC$为$\odot O$的弦，当$BC$为直径时最长，此时$BC=2×3=6$，故$MH$最大值为$\frac{1}{2}×6=3$。
1. (★) 圆是轴对称图形,
经过圆心的每一条直线
都是圆的对称轴.答案
经过圆心的每一条直线
解析
根据圆的轴对称性，圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
2. (★) 垂直于弦的直径
平分
弦,并且平分弦所对的两条弧
；平分弦(不是直径)的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧
.答案
平分；平分弦所对的两条弧；垂直于；平分弦所对的两条弧
解析
根据垂直于弦的直径的性质定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. (★) 如图 24.1 - 9,在⊙O 中,弦 AB 的长为 6 cm,圆心 O 到 AB 的距离为 4 cm,则⊙O 的半径长为 【
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
C
】A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
C
解析
设弦 $ AB $ 的中点为 $ M $，连接 $ OM $ 和 $ OA $。
由于 $ OM $ 垂直于 $ AB $，并且 $ OM $ 的长度为圆心 $ O $ 到 $ AB $ 的距离，即 $ OM = 4 $ cm。
弦 $ AB $ 的长度为 6 cm，因此 $ AM = \frac{AB}{2} = 3 $ cm。
在直角三角形 $ OMA $ 中，应用勾股定理：
$OA = \sqrt{OM^2 + AM^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 cm$。
因此，圆 $ O $ 的半径为 5 cm。
由于 $ OM $ 垂直于 $ AB $，并且 $ OM $ 的长度为圆心 $ O $ 到 $ AB $ 的距离，即 $ OM = 4 $ cm。
弦 $ AB $ 的长度为 6 cm，因此 $ AM = \frac{AB}{2} = 3 $ cm。
在直角三角形 $ OMA $ 中，应用勾股定理：
$OA = \sqrt{OM^2 + AM^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 cm$。
因此，圆 $ O $ 的半径为 5 cm。
4. (★) 如图 24.1 - 10,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,CD⊥AB 于点 E,则下列结论不成立的是 【
A.∠COE = ∠DOE
B.CE = DE
C.OE = BE
D.$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{BC}$
C
】A.∠COE = ∠DOE
B.CE = DE
C.OE = BE
D.$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{BC}$
答案
C
解析
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
∴CE=DE（垂径定理），B成立；
∵OC=OD，OE=OE，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠COE=∠DOE，A成立；
∵∠COE=∠DOE，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$（等圆心角对等弧），D成立；
OE与BE不一定相等，C不成立。
∴CE=DE（垂径定理），B成立；
∵OC=OD，OE=OE，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠COE=∠DOE，A成立；
∵∠COE=∠DOE，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$（等圆心角对等弧），D成立；
OE与BE不一定相等，C不成立。
