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7. (★)有下列命题：①半径是弦；②过圆心的直线是直径；③弧是半圆；④半圆是弧；⑤半径相等的两个半圆是等弧；⑥长度相等的两条弧是等弧；⑦直径相等的圆是等圆. 其中正确的命题有【
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
D
】A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
答案
D
解析
①半径的一个端点在圆心，另一个端点在圆上，不是弦，错误；②过圆心的直线是直线，直径是线段，错误；③弧分为优弧、劣弧和半圆，错误；④半圆是弧的一种，正确；⑤半径相等的两个半圆能完全重合，是等弧，正确；⑥长度相等的弧不一定能完全重合，错误；⑦直径相等则半径相等，是等圆，正确。正确的命题有④⑤⑦，共3个。
8. (★★)已知$\odot O内一点M到圆上的点的最长距离是4cm$,最短距离是$2cm$,则$OM$的长等于【
A.$2cm$
B.$1cm$
C.$3cm$
D.$6cm$
B
】A.$2cm$
B.$1cm$
C.$3cm$
D.$6cm$
答案
B
解析
设圆心为$O$，点$M$在圆内。
点$M$到圆上的点的最长距离是点$M$到圆上某一点的连线且该连线经过圆心$O$，即该距离为半径$r + OM$（$r$为圆的半径）。
点$M$到圆上的点的最短距离是点$M$到圆上另一点的连线且该连线与$OM$共线但方向相反（仍经过圆心方向），即该距离为半径$r - OM$。
根据题意，最长距离为$4cm$，最短距离为$2cm$，因此可以列出方程组：
$\begin{cases}r + OM = 4 ,\\r - OM = 2.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2r = 6 \implies r = 3$，
将$r = 3$代入第一个方程，得到：
$OM = 4 - 3 = 1$。
所以$OM$的长度为$1cm$。
点$M$到圆上的点的最长距离是点$M$到圆上某一点的连线且该连线经过圆心$O$，即该距离为半径$r + OM$（$r$为圆的半径）。
点$M$到圆上的点的最短距离是点$M$到圆上另一点的连线且该连线与$OM$共线但方向相反（仍经过圆心方向），即该距离为半径$r - OM$。
根据题意，最长距离为$4cm$，最短距离为$2cm$，因此可以列出方程组：
$\begin{cases}r + OM = 4 ,\\r - OM = 2.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2r = 6 \implies r = 3$，
将$r = 3$代入第一个方程，得到：
$OM = 4 - 3 = 1$。
所以$OM$的长度为$1cm$。
9. (★)确定一个圆的条件为【
A.圆心
B.半径
C.圆心和半径
D.以上都不对
C
】A.圆心
B.半径
C.圆心和半径
D.以上都不对
答案
C
解析
根据圆的定义，平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。因此，确定一个圆需要明确圆心的位置和半径的大小，二者缺一不可。
10. (★★)如图 24.1 - 3,$BC是\odot O$的直径,点$A$在圆上,连接$AO$,$AC$,$\angle AOB = 64^{\circ}$,则$\angle ACB$的度数为
$32°$
.答案
$32°$
解析
由于$BC$是圆$\odot O$的直径，点$A$在圆上，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，因此$\angle ACB$为直角，即$\angle ACB = 90°$中的组成部分（该定理在题目给定阶段可能不要求掌握，可通过同弧所对圆周角等于圆心角的一半求得）。
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2} × 64° = 32°$。
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2} × 64° = 32°$。
11. (★)如图 24.1 - 4,$\odot O的周长为4\pi$,$B是弦CD$上任意一点(与$C$,$D$不重合),过点$B作OC的平行线交OD于点E$,则$EO + EB$的长度为
2
.答案
2
解析
∵⊙O的周长为4π，∴半径r=4π/(2π)=2，即OC=OD=2。
∵BE//OC，∴∠OCD=∠EBD（同位角相等）。
∵OC=OD，∴△OCD为等腰三角形，∠OCD=∠ODC（等边对等角）。
∴∠EBD=∠ODC，即∠EBD=∠EDB，∴△EBD为等腰三角形，EB=ED（等角对等边）。
∴EO+EB=EO+ED=OD=2。
∵BE//OC，∴∠OCD=∠EBD（同位角相等）。
∵OC=OD，∴△OCD为等腰三角形，∠OCD=∠ODC（等边对等角）。
∴∠EBD=∠ODC，即∠EBD=∠EDB，∴△EBD为等腰三角形，EB=ED（等角对等边）。
∴EO+EB=EO+ED=OD=2。
12. (★★)在半径是$5$的圆中,$AB$是一条弦,则$AB$的长度的范围是【
A.$AB = 5$
B.$AB = 10$
C.$0 ＜ AB\leqslant10$
D.$0 ＜ AB\leqslant5$
C
】A.$AB = 5$
B.$AB = 10$
C.$0 ＜ AB\leqslant10$
D.$0 ＜ AB\leqslant5$
答案
C
解析
在半径为$5$的圆中，弦$AB$的最长长度为圆的直径，即$2 × 5 = 10$，此时弦为直径；而弦的最短长度趋近于$0$（但不等于$0$），因此弦$AB$的长度范围为$0 ＜ AB \leqslant 10$。
13. (★★)如图 24.1 - 5,在$\odot O$中,$AB$为直径,$CD\perp AB于点C$,四边形$CDEF$是正方形,连接$BD$,若$CO = 3$,$OF = 1$,则$BD$的长为【
A.$3\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.$13$
D.$2\sqrt{10}$
B
】A.$3\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.$13$
D.$2\sqrt{10}$
答案
B
解析
设圆心$O$为原点，$AB$为$x$轴，$O(0,0)$，半径为$r$。$CD \perp AB$于$C$，$CDEF$为正方形，故$C$、$F$在$AB$上，$CD=CF=EF=DE$，$CD \perp CF$。
已知$CO=3$，$OF=1$，则$C$、$F$在$O$两侧（同侧时边长不符合选项），$CF=CO+OF=4$，即正方形边长$CD=4$。
在$Rt\triangle OCD$中，$OC=3$，$CD=4$，由勾股定理得半径$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故$OB=5$。
$BC=OB+OC=5+3=8$，在$Rt\triangle BCD$中，$BC=8$，$CD=4$，则$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
已知$CO=3$，$OF=1$，则$C$、$F$在$O$两侧（同侧时边长不符合选项），$CF=CO+OF=4$，即正方形边长$CD=4$。
在$Rt\triangle OCD$中，$OC=3$，$CD=4$，由勾股定理得半径$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故$OB=5$。
$BC=OB+OC=5+3=8$，在$Rt\triangle BCD$中，$BC=8$，$CD=4$，则$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
14. (★★)木杆$AB$斜靠在墙壁上,当木杆的上端$A沿墙壁NO$竖直下滑时,木杆的底端$B也随之沿着射线OM$方向滑动. 图 24.1 - 6 中用虚线画出木杆中点$P$随之下落的路线,其中正确的是【
D
】答案
D
解析
设墙壁为$NO$，地面为$OM$，木杆为$AB$，中点为$P$。
由题意，木杆$AB$在下滑过程中，始终与墙壁和地面构成直角三角形，且$P$为斜边$AB$的中点。
根据直角三角形斜边上的中线性质，中线$OP$（$O$为直角顶点）等于斜边$AB$的一半，即$OP = \frac{1}{2}AB$。
由于木杆长度不变，$OP$也保持不变。
因此，点$P$的轨迹是以$O$为圆心，$OP$为半径的圆弧。
对比四个选项，只有选项C中的路线符合这一条件。
由题意，木杆$AB$在下滑过程中，始终与墙壁和地面构成直角三角形，且$P$为斜边$AB$的中点。
根据直角三角形斜边上的中线性质，中线$OP$（$O$为直角顶点）等于斜边$AB$的一半，即$OP = \frac{1}{2}AB$。
由于木杆长度不变，$OP$也保持不变。
因此，点$P$的轨迹是以$O$为圆心，$OP$为半径的圆弧。
对比四个选项，只有选项C中的路线符合这一条件。
