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5. (★) 如图 24.1 - 11,CD 为⊙O 的直径,AB⊥CD 于点 E,DE = 8 cm,CE = 2 cm,则 AB =
8
cm.答案
8
解析
连接OA，∵CD为直径，DE=8cm，CE=2cm，∴CD=10cm，半径OA=5cm，OE=OC-CE=5-2=3cm。∵AB⊥CD，∴AE=BE，在Rt△AOE中，AE=√(OA²-OE²)=√(5²-3²)=4cm，∴AB=2AE=8cm。
6. (★) 已知⊙O 的半径为 10,弦 AB = 12,M 是弦 AB 上任意一点,则线段 OM 的长可能是 【
A.5
B.7
C.9
D.11
C
】A.5
B.7
C.9
D.11
答案
C
解析
过圆心$O$作$OC\perp AB$于点$C$，根据垂径定理，$C$为$AB$中点，已知$AB = 12$，则$AC=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6$。
又因为$OA = 10$（圆$O$半径为$10$），在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理$a^2+b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a,b$为两直角边）可得：
$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
因为$M$是弦$AB$上任意一点，所以$OC\leqslant OM\leqslant OA$，即$8\leqslant OM\leqslant10$，在给出的选项中只有$9$满足条件。
又因为$OA = 10$（圆$O$半径为$10$），在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理$a^2+b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a,b$为两直角边）可得：
$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
因为$M$是弦$AB$上任意一点，所以$OC\leqslant OM\leqslant OA$，即$8\leqslant OM\leqslant10$，在给出的选项中只有$9$满足条件。
7. (★) 如图 24.1 - 12,⊙O 的半径 OC 为 6 cm,弦 AB 垂直平分 OC,则 AB =
6√3
cm,∠AOB = 120°
.答案
6√3，120°
解析
设AB与OC交于点D，
∵AB垂直平分OC，OC=6cm，
∴OD=OC/2=3cm，OD⊥AB。连接OA，OA=6cm。在Rt△OAD中，AD=√(OA²-OD²)=√(6²-3²)=√27=3√3 cm，由垂径定理得AB=2AD=6√3 cm。在Rt△OAD中，cos∠AOD=OD/OA=3/6=1/2，
∴∠AOD=60°，同理∠BOD=60°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=120°。
∵AB垂直平分OC，OC=6cm，
∴OD=OC/2=3cm，OD⊥AB。连接OA，OA=6cm。在Rt△OAD中，AD=√(OA²-OD²)=√(6²-3²)=√27=3√3 cm，由垂径定理得AB=2AD=6√3 cm。在Rt△OAD中，cos∠AOD=OD/OA=3/6=1/2，
∴∠AOD=60°，同理∠BOD=60°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=120°。
8. (★) 如图 24.1 - 13,⊙O 的弦 AB 垂直于 AC,AB = 6 cm,AC = 4 cm,则⊙O 的半径等于
√13
cm.答案
√13
解析
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，A(0,0)，B(6,0)，C(0,4)。设圆心O(x,y)，则OA=OB=OC=r。由OA=OB得√(x²+y²)=√[(x-6)²+y²]，解得x=3；由OA=OC得√(x²+y²)=√[x²+(y-4)²]，解得y=2。则r=√(3²+2²)=√13。
9. 下列命题正确的是 【
A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直线垂直于这条弦
C.过弦的中点的直线必经过圆心
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心
D
】A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直线垂直于这条弦
C.过弦的中点的直线必经过圆心
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心
答案
D
解析
A选项：根据圆的性质，只有当弦的垂线是直径时，才能平分弦所对的弧，题目中没有指明垂线是直径，所以A错误。
B选项：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，题目中没有说明平分的是非直径的弦且平分弦的直线不一定是直径，所以B错误。
C选项：过弦的中点的直线不一定是直径所在的直线，只有垂直于弦且过弦中点的直线才经过圆心，所以C错误。
D选项：根据圆的性质，弦所对的两条弧的中点连线是直径，且直径垂直于弦并平分弦，同时直径必然经过圆心，所以D正确。
B选项：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，题目中没有说明平分的是非直径的弦且平分弦的直线不一定是直径，所以B错误。
C选项：过弦的中点的直线不一定是直径所在的直线，只有垂直于弦且过弦中点的直线才经过圆心，所以C错误。
D选项：根据圆的性质，弦所对的两条弧的中点连线是直径，且直径垂直于弦并平分弦，同时直径必然经过圆心，所以D正确。
10. (★★) 如图 24.1 - 14,在半径为 5 的⊙O 中,若弦 AB = 8,则△AOB 的面积为【
A.24
B.16
C.12
D.8
C
】A.24
B.16
C.12
D.8
答案
C
解析
作 $OC \perp AB$ 于点 $C$，由垂径定理，$AC = \frac{AB}{2} = 4$。
在直角三角形 $AOC$ 中，利用勾股定理，$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
三角形 $AOB$ 的面积 $S = \frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$。
在直角三角形 $AOC$ 中，利用勾股定理，$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
三角形 $AOB$ 的面积 $S = \frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$。
11. (★★) 如图 24.1 - 15,半径为 5 的⊙A 与 y 轴交于点 B(0,2),C(0,10),则点 A 的横坐标为 【
A.- 3
B.3
C.4
D.6
B
】A.- 3
B.3
C.4
D.6
答案
B
解析
过点A作AD⊥BC于D，连接AB。
∵B(0,2)，C(0,10)，
∴BC=8，OD=OB+BD=2+4=6，D(0,6)。
设A(x,6)，AB=5，AD=|x|，BD=4。
在Rt△ABD中，x²+4²=5²，解得x=±3。
由图知点A在y轴右侧，x=3。
∵B(0,2)，C(0,10)，
∴BC=8，OD=OB+BD=2+4=6，D(0,6)。
设A(x,6)，AB=5，AD=|x|，BD=4。
在Rt△ABD中，x²+4²=5²，解得x=±3。
由图知点A在y轴右侧，x=3。
12. (★★) 已知⊙O 的直径 CD = 10 cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为 M,且 AB = 8 cm,则 AC 的长为 【
A.$2\sqrt{5}$ cm
B.$4\sqrt{5}$ cm
C.$2\sqrt{5}$ cm 或 $4\sqrt{5}$ cm
D.$2\sqrt{3}$ cm 或 $4\sqrt{3}$ cm
C
】A.$2\sqrt{5}$ cm
B.$4\sqrt{5}$ cm
C.$2\sqrt{5}$ cm 或 $4\sqrt{5}$ cm
D.$2\sqrt{3}$ cm 或 $4\sqrt{3}$ cm
答案
C
解析
连接OA，∵CD是直径，CD=10cm，∴OA=OC=5cm。∵AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB/2=4cm。在Rt△OAM中，由勾股定理得OM=√(OA²-AM²)=√(5²-4²)=3cm。
情况1：当M在OC上时，CM=OC-OM=5-3=2cm。在Rt△ACM中，AC=√(AM²+CM²)=√(4²+2²)=2√5cm。
情况2：当M在OD上时，CM=OC+OM=5+3=8cm。在Rt△ACM中，AC=√(AM²+CM²)=√(4²+8²)=4√5cm。
综上，AC的长为2√5cm或4√5cm。
情况1：当M在OC上时，CM=OC-OM=5-3=2cm。在Rt△ACM中，AC=√(AM²+CM²)=√(4²+2²)=2√5cm。
情况2：当M在OD上时，CM=OC+OM=5+3=8cm。在Rt△ACM中，AC=√(AM²+CM²)=√(4²+8²)=4√5cm。
综上，AC的长为2√5cm或4√5cm。
13. (★★) 如图 24.1 - 16,AB 是半圆 O 的直径,AB = 12,AC 为弦,OD⊥AC 于点 D,OE//AC 交半圆 O 于点 E,EF⊥AB 于点 F,若 BF = 3,则线段 AC 的长度为
6
.答案
6
解析
∵AB是半圆O的直径，AB=12，∴半径OA=OB=OE=6。
∵EF⊥AB，BF=3，∴OF=OB-BF=6-3=3。
在Rt△OEF中，OE=6，OF=3，由勾股定理得：EF²=OE²-OF²=36-9=27，∠EOF=60°（cos∠EOF=OF/OE=3/6=1/2）。
∵OE//AC，OD⊥AC，∴OD⊥OE（两平行线中一条垂直于第三条直线，另一条也垂直），即∠DOE=90°。
∵∠AOB=180°，∴∠AOD=180°-∠DOE-∠EOF=180°-90°-60°=30°。
在Rt△AOD中，OA=6，∠AOD=30°，∴AD=OA·sin30°=6×1/2=3。
∵OD⊥AC，由垂径定理得AC=2AD=6。
