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14. (★★) 如图 24.1 - 17,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E,BE = 1,AE = 5,∠AEC = 30°,则 CD 的长是
$4\sqrt{2}$
.答案
$4\sqrt{2}$
解析
过$ O $点作$ OF \perp CD $于点$ F $，则$ CF = DF $。
已知$ BE = 1$，$AE = 5 $，
所以，直径$ AB = BE + AE = 1 + 5 = 6$，
则半径$ OA = OB = OC = 3$。
$ OE = OA - BE = 3 - 1 = 2 $。
在直角三角形$ \triangle OEF $中，
$\angle OEF = 30° $，
所以，$ OF = \frac{1}{2} OE = 1 $（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半）。
在直角三角形$ \triangle OCF $中，根据勾股定理，得：
$ CF = \sqrt{OC^2 - OF^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $。
因此，$ CD = 2 × CF = 2 × 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $。
已知$ BE = 1$，$AE = 5 $，
所以，直径$ AB = BE + AE = 1 + 5 = 6$，
则半径$ OA = OB = OC = 3$。
$ OE = OA - BE = 3 - 1 = 2 $。
在直角三角形$ \triangle OEF $中，
$\angle OEF = 30° $，
所以，$ OF = \frac{1}{2} OE = 1 $（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半）。
在直角三角形$ \triangle OCF $中，根据勾股定理，得：
$ CF = \sqrt{OC^2 - OF^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $。
因此，$ CD = 2 × CF = 2 × 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $。
15. (★★★) “圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的应用,例如,古典园林中的门洞. 如图 24.1 - 18,某地园林中的一个圆弧形门洞的高为 2.5 m,地面入口宽为 1 m,求该门洞的半径.
答案
设该圆弧形门洞所在圆的半径为 $ r $ 米。
由题意，地面入口宽为弦长 $ AB = 1 \, m $，门洞高（拱高）$ CD = 2.5 \, m $，其中 $ C $ 为 $ AB $ 中点，$ CD \perp AB $ 且 $ D $ 为圆弧最高点。
根据垂径定理，圆心 $ O $ 在直线 $ CD $ 上。设圆心 $ O $ 到弦 $ AB $ 的距离为 $ d $，则 $ d = r - CD = r - 2.5 $（圆心在 $ CD $ 延长线上，$ d $ 为圆心到 $ AB $ 的距离）。
在 $ Rt\triangle OAC $ 中，$ OA = r $，$ AC = \frac{AB}{2} = 0.5 \, m $，$ OC = d = r - 2.5 $。
由勾股定理：$ OA^2 = OC^2 + AC^2 $，即
$ r^2 = (r - 2.5)^2 + 0.5^2 $。
展开并化简：
$ r^2 = r^2 - 5r + 6.25 + 0.25 $
$ 0 = -5r + 6.5 $
解得 $ r = 1.3 $。
答：该门洞的半径为 $ 1.3 \, m $。
由题意，地面入口宽为弦长 $ AB = 1 \, m $，门洞高（拱高）$ CD = 2.5 \, m $，其中 $ C $ 为 $ AB $ 中点，$ CD \perp AB $ 且 $ D $ 为圆弧最高点。
根据垂径定理，圆心 $ O $ 在直线 $ CD $ 上。设圆心 $ O $ 到弦 $ AB $ 的距离为 $ d $，则 $ d = r - CD = r - 2.5 $（圆心在 $ CD $ 延长线上，$ d $ 为圆心到 $ AB $ 的距离）。
在 $ Rt\triangle OAC $ 中，$ OA = r $，$ AC = \frac{AB}{2} = 0.5 \, m $，$ OC = d = r - 2.5 $。
由勾股定理：$ OA^2 = OC^2 + AC^2 $，即
$ r^2 = (r - 2.5)^2 + 0.5^2 $。
展开并化简：
$ r^2 = r^2 - 5r + 6.25 + 0.25 $
$ 0 = -5r + 6.5 $
解得 $ r = 1.3 $。
答：该门洞的半径为 $ 1.3 \, m $。
16. (★★) 如图 24.1 - 19,⊙O 的弦 AB = 8,M 是 AB 的中点,且 OM = 3,则⊙O 的半径等于
5
.答案
1. $5$
解析
设圆的半径为 $r$，已知 $AB = 8$，$M$ 是 $AB$ 的中点，则 $AM = BM = 4$，且 $OM = 3$。
连接 $OA$，在直角三角形 $AOM$ 中，根据勾股定理有：
$OA^{2}=OM^{2}+AM^{2}$，即 $r^{2}=3^{2}+4^{2}$，
$r^{2}=9 + 16=25$，
解得 $r = 5$。
中考链接
17. (★★) (2023·临江模拟) 如图 24.1 - 20,一条公路的转弯处是一段圆弧$\overset{\frown}{AB}$,点 O 是这段弧所在圆的圆心,AB = 40 m,点 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,点 D 是 AB 的中点,且 CD = 10 m,则这段弯路所在圆的半径为 【 】
A.25 m
B.24 m
C.30 m
D.60 m
17. (★★) (2023·临江模拟) 如图 24.1 - 20,一条公路的转弯处是一段圆弧$\overset{\frown}{AB}$,点 O 是这段弧所在圆的圆心,AB = 40 m,点 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,点 D 是 AB 的中点,且 CD = 10 m,则这段弯路所在圆的半径为 【 】
A.25 m
B.24 m
C.30 m
D.60 m
答案
2. A
解析
连接 $OD$，$OA$，因为点 $C$ 是$\overset{\frown}{AB}$的中点，点 $D$ 是 $AB$ 的中点，所以 $OD\perp AB$，$AB = 40$，则 $AD=\frac{1}{2}AB = 20$。
设圆的半径为 $R$，则 $OA = R$，$OD=R - 10$。
在直角三角形 $AOD$ 中，根据勾股定理 $OA^{2}=OD^{2}+AD^{2}$，即 $R^{2}=(R - 10)^{2}+20^{2}$，
$R^{2}=R^{2}-20R + 100+400$，
$20R=500$，
解得 $R = 25$。
18. (★★) (2023·高邮) 综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图 24.1 - 21①所示的茶碗的碗口直径. 李靓同学所在的学习小组的方法如下：如图 24.1 - 21②,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于 A,B,C,D 四点,若该纸条宽为 8 cm,用刻度尺量得 AB = 6 cm,CD = 10 cm,则茶碗碗口的半径为
√34
.(结果保留根号)答案
√34
解析
设碗口所在圆的圆心为O，半径为r，圆心O到弦AB的距离为d，到弦CD的距离为h。纸条宽8cm，即两平行弦AB、CD间距离为8cm，因CD＞AB，故圆心在两弦之间，有d+h=8。由垂径定理，AB=6cm得半弦长3cm，CD=10cm得半弦长5cm。根据勾股定理：r²=d²+3²且r²=h²+5²，故d²-h²=16。联立d+h=8与d-h=2（由(d-h)(d+h)=16得），解得d=5，h=3。则r²=5²+3²=34，r=√34。
