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14.已知$x^2 - 2x =5$,求代数式$(x-1)(1+x)-x(x-4)+2(x-2)^2$的值.
答案
14.17
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路为先利用整式乘法法则、乘法公式将所求代数式展开，再合并同类项化简，最后观察化简结果与已知条件的关联，将已知的$x^2-2x=5$整体代入计算即可，无需单独求解$x$的值，能简化计算过程。
【解析】
解：先化简代数式：
$\begin{aligned}&(x-1)(1+x)-x(x-4)+2(x-2)^2\\=&x^2 -1 - (x^2 -4x) + 2(x^2 -4x +4)\\=&x^2 -1 -x^2 +4x +2x^2 -8x +8\\=&(x^2 -x^2 +2x^2) + (4x -8x) + (-1 +8)\\=&2x^2 -4x +7\\=&2(x^2 -2x) +7\end{aligned}$
已知$x^2 -2x=5$，将其代入上式得：
原式$=2×5 +7=10+7=17$
【答案】
17
【知识点】
整式化简求值，乘法公式，整体代入
【点评】
本题考查整式的运算与代数式求值，核心是熟练掌握整式乘法的相关法则和公式，通过整体代入已知条件的方式可以避免求解未知数的繁琐，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题思路为先利用整式乘法法则、乘法公式将所求代数式展开，再合并同类项化简，最后观察化简结果与已知条件的关联，将已知的$x^2-2x=5$整体代入计算即可，无需单独求解$x$的值，能简化计算过程。
【解析】
解：先化简代数式：
$\begin{aligned}&(x-1)(1+x)-x(x-4)+2(x-2)^2\\=&x^2 -1 - (x^2 -4x) + 2(x^2 -4x +4)\\=&x^2 -1 -x^2 +4x +2x^2 -8x +8\\=&(x^2 -x^2 +2x^2) + (4x -8x) + (-1 +8)\\=&2x^2 -4x +7\\=&2(x^2 -2x) +7\end{aligned}$
已知$x^2 -2x=5$，将其代入上式得：
原式$=2×5 +7=10+7=17$
【答案】
17
【知识点】
整式化简求值，乘法公式，整体代入
【点评】
本题考查整式的运算与代数式求值，核心是熟练掌握整式乘法的相关法则和公式，通过整体代入已知条件的方式可以避免求解未知数的繁琐，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
15.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A,C,D三点在同一直线上，连接BD,AE,并延长AE交BD于点F.
(1)请说明:△ACE≌△BCD；
(2)AF与BD互相垂直吗？请说明你的结论.
(1)请说明:△ACE≌△BCD；
(2)AF与BD互相垂直吗？请说明你的结论.
答案
解:(1) 因为$△ ACB$与$△ ECD$都是等腰直角三角形,所以$∠ ACE = ∠ BCD = 90°, AC = BC, EC = DC$,
在$△ ACE$与$△ BCD$中,$\begin{cases} AC = BC, \\ ∠ ACE = ∠ BCD, \\ EC = DC, \end{cases}$
所以$△ ACE ≌ △ BCD (\mathrm{SAS})$.
(2)垂直. 由(1)知$△ ACE ≌ △ BCD$,所以$∠ CAE = ∠ CBD$,因为$∠ BCD = 90°$,所以$∠ CBD + ∠ BDC = 90°$,所以$∠ CAE + ∠ BDC = 90°$,所以$∠ AFD = 90°$,所以$AF ⊥ BD$.
在$△ ACE$与$△ BCD$中,$\begin{cases} AC = BC, \\ ∠ ACE = ∠ BCD, \\ EC = DC, \end{cases}$
所以$△ ACE ≌ △ BCD (\mathrm{SAS})$.
(2)垂直. 由(1)知$△ ACE ≌ △ BCD$,所以$∠ CAE = ∠ CBD$,因为$∠ BCD = 90°$,所以$∠ CBD + ∠ BDC = 90°$,所以$∠ CAE + ∠ BDC = 90°$,所以$∠ AFD = 90°$,所以$AF ⊥ BD$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ACE≌△BCD，首先结合已知的两个等腰直角三角形的性质找对应边和对应角的关系：等腰直角三角形的两条直角边相等，可得AC=BC、EC=DC，且两个三角形的直角均为90°，即∠ACE=∠BCD，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要判断AF与BD是否垂直，只需证明两条直线的夹角为90°即可。可借助第一问的全等结论，得到对应角∠CAE=∠CBD，再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过等量代换推出∠CAE+∠BDC=90°，进而得到AF与BD的夹角为90°，即可得出垂直的结论。
【解析】
(1)
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴∠ACE=∠BCD=90°，AC=BC，EC=DC
在△ACE和△BCD中：
$\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ ACE=∠ BCD\\ EC=DC\end{array} $
∴△ACE≌△BCD（SAS）
(2) AF与BD互相垂直，理由如下：
由(1)得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD
∵∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠BDC=90°
等量代换得：∠CAE+∠BDC=90°
在△AFD中，∠AFD=180°-(∠CAE+∠BDC)=180°-90°=90°
∴AF⊥BD
【答案】
(1) △ACE≌△BCD；(2) AF与BD互相垂直
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、垂直的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问直接考查SAS判定三角形全等，属于基础考点；第二问需要结合全等的性质转化角的关系，利用三角形内角和推导直角，是全等性质的典型应用，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明△ACE≌△BCD，首先结合已知的两个等腰直角三角形的性质找对应边和对应角的关系：等腰直角三角形的两条直角边相等，可得AC=BC、EC=DC，且两个三角形的直角均为90°，即∠ACE=∠BCD，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要判断AF与BD是否垂直，只需证明两条直线的夹角为90°即可。可借助第一问的全等结论，得到对应角∠CAE=∠CBD，再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过等量代换推出∠CAE+∠BDC=90°，进而得到AF与BD的夹角为90°，即可得出垂直的结论。
【解析】
(1)
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴∠ACE=∠BCD=90°，AC=BC，EC=DC
在△ACE和△BCD中：
$\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ ACE=∠ BCD\\ EC=DC\end{array} $
∴△ACE≌△BCD（SAS）
(2) AF与BD互相垂直，理由如下：
由(1)得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD
∵∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠BDC=90°
等量代换得：∠CAE+∠BDC=90°
在△AFD中，∠AFD=180°-(∠CAE+∠BDC)=180°-90°=90°
∴AF⊥BD
【答案】
(1) △ACE≌△BCD；(2) AF与BD互相垂直
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、垂直的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问直接考查SAS判定三角形全等，属于基础考点；第二问需要结合全等的性质转化角的关系，利用三角形内角和推导直角，是全等性质的典型应用，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
16.某软件推出了抢红包游戏,它有多种玩法,其中一种为“拼手气红包”:用户设定好总金额以及红包个数后,可以生成不等金额的红包.现有一用户发了三个“拼手气红包”,随机被甲、乙、丙三人抢到.
(1)以下说法中正确的是
A.甲、乙两人抢到的红包金额之和一定比丙抢到的红包金额多
B.甲一定抢到金额最多的红包
C.乙一定抢到金额居中的红包
D.丙不一定抢到金额最少的红包
(2)记金额最多、居中、最少的红包分别为$A,B,C$,试求出甲抢到红包$A$的概率$P(A)$.
(1)以下说法中正确的是
D
.A.甲、乙两人抢到的红包金额之和一定比丙抢到的红包金额多
B.甲一定抢到金额最多的红包
C.乙一定抢到金额居中的红包
D.丙不一定抢到金额最少的红包
(2)记金额最多、居中、最少的红包分别为$A,B,C$,试求出甲抢到红包$A$的概率$P(A)$.
答案
16.解:(1)D(甲、乙两人抢到的红包金额之和不一定比丙抢到的红包金额多,A错误;甲不一定抢到金额最多的红包,B错误;乙不一定抢到金额居中的红包,C错误;丙不一定抢到金额最少的红包,D正确)
(2)$P(A) = \frac{1}{3}$.
(2)$P(A) = \frac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 拼手气红包的金额是随机分配的，三人抢到的红包金额大小均属于随机事件，不存在必然性，因此可以逐个分析选项：A选项甲乙的金额和不一定大于丙的金额，举反例即可判断错误；B、C选项中甲、乙抢到的红包排名都是随机的，不存在“一定”的情况，判断错误；D选项丙抢到的红包可能是最多、居中、最少，因此“不一定抢到最少”的说法正确。
(2) 三个不同红包A、B、C被甲抢到的可能性均等，总共有3种等可能的结果，其中抢到A的结果只有1种，用等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
(1) 对各选项逐一判断：
A. 红包金额随机分配，例如总金额10元，丙抢到6元，甲乙各抢到2元，此时甲乙金额和小于丙的金额，因此“甲乙金额之和一定比丙多”的说法错误；
B. 甲可能抢到金额最多、居中、最少的任意一种红包，不是一定抢到最多的红包，说法错误；
C. 乙也可能抢到金额最多、居中、最少的任意一种红包，不是一定抢到居中的红包，说法错误；
D. 丙抢到的红包可能是最少、也可能是最多或居中，因此“丙不一定抢到金额最少的红包”说法正确。
故选D。
(2) 甲抢红包时，共有抢到A、抢到B、抢到C3种等可能的情况，其中抢到红包A的情况只有1种，根据等可能事件概率的计算方法：
$P(A)=\frac{\mathrm{抢到A的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1)$D$；(2)$\frac{1}{3}$
【知识点】
随机事件的判断，等可能事件的概率计算
【点评】
本题结合生活中抢红包的热门场景，考查了随机事件的性质和基础概率计算，解题时要注意随机事件不存在必然发生的结论，简单等可能事件的概率等于所求情况数与总情况数的比值。
【难度系数】
0.85
(1) 拼手气红包的金额是随机分配的，三人抢到的红包金额大小均属于随机事件，不存在必然性，因此可以逐个分析选项：A选项甲乙的金额和不一定大于丙的金额，举反例即可判断错误；B、C选项中甲、乙抢到的红包排名都是随机的，不存在“一定”的情况，判断错误；D选项丙抢到的红包可能是最多、居中、最少，因此“不一定抢到最少”的说法正确。
(2) 三个不同红包A、B、C被甲抢到的可能性均等，总共有3种等可能的结果，其中抢到A的结果只有1种，用等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
(1) 对各选项逐一判断：
A. 红包金额随机分配，例如总金额10元，丙抢到6元，甲乙各抢到2元，此时甲乙金额和小于丙的金额，因此“甲乙金额之和一定比丙多”的说法错误；
B. 甲可能抢到金额最多、居中、最少的任意一种红包，不是一定抢到最多的红包，说法错误；
C. 乙也可能抢到金额最多、居中、最少的任意一种红包，不是一定抢到居中的红包，说法错误；
D. 丙抢到的红包可能是最少、也可能是最多或居中，因此“丙不一定抢到金额最少的红包”说法正确。
故选D。
(2) 甲抢红包时，共有抢到A、抢到B、抢到C3种等可能的情况，其中抢到红包A的情况只有1种，根据等可能事件概率的计算方法：
$P(A)=\frac{\mathrm{抢到A的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1)$D$；(2)$\frac{1}{3}$
【知识点】
随机事件的判断，等可能事件的概率计算
【点评】
本题结合生活中抢红包的热门场景，考查了随机事件的性质和基础概率计算，解题时要注意随机事件不存在必然发生的结论，简单等可能事件的概率等于所求情况数与总情况数的比值。
【难度系数】
0.85
