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1. 下列运算中正确的是（）
A.$a^7 · a^2 = a^{14}$
B.$(-2a^3)^2 = 8a^5$
C.$(3a^2 - a^3) · a = 3a^3 - a^4$
D.$(a + 1)^2 = a^2 + 1$
A.$a^7 · a^2 = a^{14}$
B.$(-2a^3)^2 = 8a^5$
C.$(3a^2 - a^3) · a = 3a^3 - a^4$
D.$(a + 1)^2 = a^2 + 1$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查整式的各类基础运算，解题时需逐一分析每个选项，结合对应的运算法则计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。思考时先明确每个选项对应的运算规则：同底数幂乘法、积的乘方与幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式的运算要求，再代入计算对比选项结果是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则：$a^7 · a^2 = a^{7+2}=a^9≠a^{14}$，因此A错误；
B. 根据积的乘方等于各因式分别乘方的积、幂的乘方底数不变指数相乘的法则：$(-2a^3)^2=(-2)^2×(a^3)^2=4a^6≠8a^5$，因此B错误；
C. 根据单项式乘多项式，用单项式分别乘多项式的每一项再合并结果的法则：$(3a^2 - a^3) · a = 3a^2·a - a^3·a = 3a^3 - a^4$，计算结果与选项一致，因此C正确；
D. 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：$(a + 1)^2 = a^2 + 2a +1≠a^2 + 1$，漏了中间的一次项，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法，整式的乘法运算，完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考察整式运算的基础法则，易错点为混淆指数运算规则、漏乘多项式项或者遗漏完全平方公式的中间项，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的各类基础运算，解题时需逐一分析每个选项，结合对应的运算法则计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。思考时先明确每个选项对应的运算规则：同底数幂乘法、积的乘方与幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式的运算要求，再代入计算对比选项结果是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则：$a^7 · a^2 = a^{7+2}=a^9≠a^{14}$，因此A错误；
B. 根据积的乘方等于各因式分别乘方的积、幂的乘方底数不变指数相乘的法则：$(-2a^3)^2=(-2)^2×(a^3)^2=4a^6≠8a^5$，因此B错误；
C. 根据单项式乘多项式，用单项式分别乘多项式的每一项再合并结果的法则：$(3a^2 - a^3) · a = 3a^2·a - a^3·a = 3a^3 - a^4$，计算结果与选项一致，因此C正确；
D. 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：$(a + 1)^2 = a^2 + 2a +1≠a^2 + 1$，漏了中间的一次项，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法，整式的乘法运算，完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考察整式运算的基础法则，易错点为混淆指数运算规则、漏乘多项式项或者遗漏完全平方公式的中间项，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.若$∠β=60°$,则$∠β$的余角的补角度数是 （）
A.$30°$
B.$40°$
C.$120°$
D.$150°$
A.$30°$
B.$40°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要明确余角和补角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。解题思路分两步走：第一步先求出∠β的余角度数，第二步再求出这个余角的补角度数即可得到答案。
【解析】
第一步，计算∠β的余角：
根据余角定义，∠β的余角 = 90° - ∠β = 90° - 60° = 30°
第二步，计算上述余角的补角：
根据补角定义，30°角的补角 = 180° - 30° = 150°
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要准确掌握余角、补角的定义，按照步骤计算即可得出正确结果，计算时注意不要混淆余角和补角的数值标准。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确余角和补角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。解题思路分两步走：第一步先求出∠β的余角度数，第二步再求出这个余角的补角度数即可得到答案。
【解析】
第一步，计算∠β的余角：
根据余角定义，∠β的余角 = 90° - ∠β = 90° - 60° = 30°
第二步，计算上述余角的补角：
根据补角定义，30°角的补角 = 180° - 30° = 150°
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要准确掌握余角、补角的定义，按照步骤计算即可得出正确结果，计算时注意不要混淆余角和补角的数值标准。
【难度系数】
0.9
3.有五条线段,长度分别是2,4,6,8,10,从中任取三条能构成三角形的概率是 ()
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{10}$
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{10}$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决本题，需先明确概率的计算方法：概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数。解题思路分为三步：第一步，有序列举出从5条线段中任取3条的所有组合，避免重复或遗漏；第二步，根据三角形三边关系判断每个组合是否能构成三角形，判断时可简化为“较短两条线段的和大于最长线段”（若该条件满足，其余两边之和必然大于第三边）；第三步，用能构成三角形的组合数除以总组合数，得到最终概率。
【解析】
首先列举从长度为2,4,6,8,10的线段中任取3条的所有等可能情况，共10种：
①2,4,6：2+4=6，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
②2,4,8：2+4=6＜8，不能构成三角形；
③2,4,10：2+4=6＜10，不能构成三角形；
④2,6,8：2+6=8，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
⑤2,6,10：2+6=8＜10，不能构成三角形；
⑥2,8,10：2+8=10，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
⑦4,6,8：4+6=10＞8，满足三边关系，能构成三角形；
⑧4,6,10：4+6=10，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
⑨4,8,10：4+8=12＞10，满足三边关系，能构成三角形；
⑩6,8,10：6+8=14＞10，满足三边关系，能构成三角形。
综上，能构成三角形的情况共3种，总情况共10种，故概率为$\frac{3}{10}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；列举法求概率
【点评】
本题是几何与概率的综合基础题，解题核心是有序列举所有组合，同时利用简化的三边判断方法提高效率，需注意两边之和等于第三边时也不能构成三角形，避免判断失误。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先明确概率的计算方法：概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数。解题思路分为三步：第一步，有序列举出从5条线段中任取3条的所有组合，避免重复或遗漏；第二步，根据三角形三边关系判断每个组合是否能构成三角形，判断时可简化为“较短两条线段的和大于最长线段”（若该条件满足，其余两边之和必然大于第三边）；第三步，用能构成三角形的组合数除以总组合数，得到最终概率。
【解析】
首先列举从长度为2,4,6,8,10的线段中任取3条的所有等可能情况，共10种：
①2,4,6：2+4=6，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
②2,4,8：2+4=6＜8，不能构成三角形；
③2,4,10：2+4=6＜10，不能构成三角形；
④2,6,8：2+6=8，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
⑤2,6,10：2+6=8＜10，不能构成三角形；
⑥2,8,10：2+8=10，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
⑦4,6,8：4+6=10＞8，满足三边关系，能构成三角形；
⑧4,6,10：4+6=10，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
⑨4,8,10：4+8=12＞10，满足三边关系，能构成三角形；
⑩6,8,10：6+8=14＞10，满足三边关系，能构成三角形。
综上，能构成三角形的情况共3种，总情况共10种，故概率为$\frac{3}{10}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；列举法求概率
【点评】
本题是几何与概率的综合基础题，解题核心是有序列举所有组合，同时利用简化的三边判断方法提高效率，需注意两边之和等于第三边时也不能构成三角形，避免判断失误。
【难度系数】
0.6
4. 计算$(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (\frac{1}{2}xy)$的结果为 （）
A.$-6x + 2y - 1$
B.$-6x + 2y$
C.$6x - 2y + 1$
D.$6x - 2y$
A.$-6x + 2y - 1$
B.$-6x + 2y$
C.$6x - 2y + 1$
D.$6x - 2y$
答案
4.C
解析
【分析】
这道题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。计算时要注意两点：一是每一项的符号要跟着一起参与运算，二是不要漏除多项式的任意一项，计算单项式除以单项式时，系数相除得到商的系数，同底数幂分别相除作为商的因式。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，拆分计算每一项的商：
1. 计算第一项的商：$3x^2y ÷ (\frac{1}{2}xy) = (3÷\frac{1}{2}) · (x^2÷x) · (y÷y) = 6x$
2. 计算第二项的商：$-xy^2 ÷ (\frac{1}{2}xy) = (-1÷\frac{1}{2}) · (x÷x) · (y^2÷y) = -2y$
3. 计算第三项的商：$\frac{1}{2}xy ÷ (\frac{1}{2}xy) = 1$
将三个商相加，可得结果为$6x - 2y + 1$。
【答案】
C
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；整式运算
【点评】
本题属于整式除法的基础题型，重点考查对多项式除以单项式法则的掌握，计算时需注意各项的符号，不要漏除多项式的最后一项，避免出现漏写常数项的错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。计算时要注意两点：一是每一项的符号要跟着一起参与运算，二是不要漏除多项式的任意一项，计算单项式除以单项式时，系数相除得到商的系数，同底数幂分别相除作为商的因式。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，拆分计算每一项的商：
1. 计算第一项的商：$3x^2y ÷ (\frac{1}{2}xy) = (3÷\frac{1}{2}) · (x^2÷x) · (y÷y) = 6x$
2. 计算第二项的商：$-xy^2 ÷ (\frac{1}{2}xy) = (-1÷\frac{1}{2}) · (x÷x) · (y^2÷y) = -2y$
3. 计算第三项的商：$\frac{1}{2}xy ÷ (\frac{1}{2}xy) = 1$
将三个商相加，可得结果为$6x - 2y + 1$。
【答案】
C
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；整式运算
【点评】
本题属于整式除法的基础题型，重点考查对多项式除以单项式法则的掌握，计算时需注意各项的符号，不要漏除多项式的最后一项，避免出现漏写常数项的错误。
【难度系数】
0.8
5. 下列说法中正确的是 （）
A.用图象表示变量之间的关系时,用水平方向上的点表示自变量
B.用图象表示变量之间的关系时,用纵轴上的点表示因变量
C.用图象表示变量之间的关系时,用竖直方向上的点表示自变量
D.用图象表示变量之间的关系时,用横轴上的点表示因变量
A.用图象表示变量之间的关系时,用水平方向上的点表示自变量
B.用图象表示变量之间的关系时,用纵轴上的点表示因变量
C.用图象表示变量之间的关系时,用竖直方向上的点表示自变量
D.用图象表示变量之间的关系时,用横轴上的点表示因变量
答案
5.B
解析
【分析】
解答这道题首先要回忆用图象表示变量之间关系的基本规则：通常水平方向的数轴（横轴）对应自变量，竖直方向的数轴（纵轴）对应因变量，再结合这个规则逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
用图象表示变量之间的关系时，有明确的约定：
1. 水平方向的数轴（横轴）用来表示自变量，竖直方向的数轴（纵轴）用来表示因变量；
2. 坐标系中的点同时包含横坐标（自变量取值）和纵坐标（因变量取值），单条轴上的点对应该轴代表的变量的取值。
据此分析各选项：
A. 水平方向的点同时含有横、纵坐标，不能直接表示自变量，该选项错误；
B. 纵轴对应因变量，纵轴上的点表示因变量的取值，该选项正确；
C. 竖直方向的数轴对应因变量，不是自变量，该选项错误；
D. 横轴对应自变量，不是因变量，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 图象法表示变量关系
2. 自变量与因变量
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对图象表示变量关系的基本约定的识记，只要熟记横轴、纵轴对应的变量类型即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解答这道题首先要回忆用图象表示变量之间关系的基本规则：通常水平方向的数轴（横轴）对应自变量，竖直方向的数轴（纵轴）对应因变量，再结合这个规则逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
用图象表示变量之间的关系时，有明确的约定：
1. 水平方向的数轴（横轴）用来表示自变量，竖直方向的数轴（纵轴）用来表示因变量；
2. 坐标系中的点同时包含横坐标（自变量取值）和纵坐标（因变量取值），单条轴上的点对应该轴代表的变量的取值。
据此分析各选项：
A. 水平方向的点同时含有横、纵坐标，不能直接表示自变量，该选项错误；
B. 纵轴对应因变量，纵轴上的点表示因变量的取值，该选项正确；
C. 竖直方向的数轴对应因变量，不是自变量，该选项错误；
D. 横轴对应自变量，不是因变量，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 图象法表示变量关系
2. 自变量与因变量
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对图象表示变量关系的基本约定的识记，只要熟记横轴、纵轴对应的变量类型即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
6. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长是 （）
A.12
B.13
C.14
D.15
A.12
B.13
C.14
D.15
答案
6.B
解析
【分析】
要计算△BEC的周长，首先明确周长为BE、EC、BC三条边的和，已知BC=5、AC=8，EC是AC的一部分，因此只需要将BE转化为和AC相关的线段即可求解。看到条件“DE是AB的垂直平分线”，应立刻联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得BE=AE，将BE替换为AE后，BE+EC就可以转化为AE+EC=AC，即可直接代入已知数值计算周长。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=BE。
△BEC的周长 = BE + EC + BC，
把BE替换为AE，可得周长 = AE + EC + BC，
又
∵AE + EC = AC，
∴△BEC的周长 = AC + BC。
将AC=8，BC=5代入，得周长=8+5=13。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知的周长转化为已知线段的和，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
要计算△BEC的周长，首先明确周长为BE、EC、BC三条边的和，已知BC=5、AC=8，EC是AC的一部分，因此只需要将BE转化为和AC相关的线段即可求解。看到条件“DE是AB的垂直平分线”，应立刻联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得BE=AE，将BE替换为AE后，BE+EC就可以转化为AE+EC=AC，即可直接代入已知数值计算周长。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=BE。
△BEC的周长 = BE + EC + BC，
把BE替换为AE，可得周长 = AE + EC + BC，
又
∵AE + EC = AC，
∴△BEC的周长 = AC + BC。
将AC=8，BC=5代入，得周长=8+5=13。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知的周长转化为已知线段的和，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
7. 如图,不能得到$AB// CD$的是 （）
A.$∠ B + ∠ BCD = 180°$
B.$∠ B = ∠ DCE$
C.$∠ D + ∠ BCD = 180°$
D.$∠ BAC = ∠ ACD$
A.$∠ B + ∠ BCD = 180°$
B.$∠ B = ∠ DCE$
C.$∠ D + ∠ BCD = 180°$
D.$∠ BAC = ∠ ACD$
答案
7.C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。解题时逐个分析每个选项中的角，先确定角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的，再对应判定定理判断是否能推出$AB// CD$，找出无法推出的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$∠ B$与$∠ BCD$是直线$AB$、$CD$被直线$BC$所截形成的同旁内角，若$∠ B + ∠ BCD = 180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得到$AB// CD$，不符合题意。
B选项：$∠ B$与$∠ DCE$是直线$AB$、$CD$被直线$BE$所截形成的同位角，若$∠ B = ∠ DCE$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得到$AB// CD$，不符合题意。
C选项：$∠ D$与$∠ BCD$是直线$AD$、$BC$被直线$CD$所截形成的同旁内角，若$∠ D + ∠ BCD = 180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得到的是$AD// BC$，无法推出$AB// CD$，符合题意。
D选项：$∠ BAC$与$∠ ACD$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截形成的内错角，若$∠ BAC = ∠ ACD$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得到$AB// CD$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定、三线八角的识别
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查平行线的判定规则，解题的关键是准确识别不同位置的角对应的被截直线，避免混淆两组被截直线导致判断错误，熟练掌握平行线的三个判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。解题时逐个分析每个选项中的角，先确定角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的，再对应判定定理判断是否能推出$AB// CD$，找出无法推出的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$∠ B$与$∠ BCD$是直线$AB$、$CD$被直线$BC$所截形成的同旁内角，若$∠ B + ∠ BCD = 180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得到$AB// CD$，不符合题意。
B选项：$∠ B$与$∠ DCE$是直线$AB$、$CD$被直线$BE$所截形成的同位角，若$∠ B = ∠ DCE$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得到$AB// CD$，不符合题意。
C选项：$∠ D$与$∠ BCD$是直线$AD$、$BC$被直线$CD$所截形成的同旁内角，若$∠ D + ∠ BCD = 180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得到的是$AD// BC$，无法推出$AB// CD$，符合题意。
D选项：$∠ BAC$与$∠ ACD$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截形成的内错角，若$∠ BAC = ∠ ACD$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得到$AB// CD$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定、三线八角的识别
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查平行线的判定规则，解题的关键是准确识别不同位置的角对应的被截直线，避免混淆两组被截直线导致判断错误，熟练掌握平行线的三个判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
