13. 求当 $ x $ 为何值时，式子$\frac{x - 1}{5}$的值不大于式子$\frac{2x + 4}{3}$的值，并求出 $ x $ 的最小负整数值.

$x ≥ -\frac{23}{7}$，x的最小负整数值为$-3$

根据题意，可列不等式：$\frac{x - 1}{5} ≤ \frac{2x + 4}{3}$。
去分母，两边同乘15得：$3(x - 1) ≤ 5(2x + 4)$，
去括号得：$3x - 3 ≤ 10x + 20$，
移项得：$3x - 10x ≤ 20 + 3$，
合并同类项得：$-7x ≤ 23$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≥ -\frac{23}{7}$，即$x ≥ -3\frac{2}{7}$。
满足该不等式的最小负整数为$-3$。

14. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} x - y = 2, \\ 2x + y = 5a \end{cases} $ 的解满足不等式 $ 3 - x ＜ 2y $，求实数 $ a $ 的取值范围.

$a＞1$

先解方程组$\begin{cases}x - y = 2 \\2x + y =5a\end{cases}$，将两式相加消去$y$：$3x=2+5a$，解得$x=\frac{2+5a}{3}$；把$x=\frac{2+5a}{3}$代入$x - y=2$，得$y=x -2=\frac{5a -4}{3}$。将$x$、$y$代入不等式$3 -x ＜2y$，得$3 - \frac{2+5a}{3} ＜ 2×\frac{5a -4}{3}$，两边同乘3去分母：$9 - (2+5a) ＜ 2(5a -4)$，化简得$7 -5a ＜10a -8$，移项合并同类项：$15 ＜15a$，解得$a＞1$。

15. 若关于 $ x $ 的方程 $ 3m(x+1)+5=m(3x-1)-5x $ 的解是负数，则 $ m $ 的取值范围是（）

A.$ m＞-\dfrac{5}{4} $
B.$ m＜-\dfrac{5}{4} $
C.$ m＞\dfrac{5}{4} $
D.$ m＜\dfrac{5}{4} $

A

先化简方程：3m(x+1)+5=m(3x-1)-5x，展开得3mx+3m+5=3mx -m -5x，移项合并同类项得5x=-4m-5，解得x=(-4m-5)/5。因为方程的解是负数，所以(-4m-5)/5 ＜0，解得m＞ -5/4。

16. 已知关于$ x $的不等式$\frac{4x + a}{3} ＞ 1$的解都是不等式$\frac{2x + 1}{3} ＞ 0$的解，则$ a $的取值范围是________.

$a≤5$

1. 解不等式$\frac{4x + a}{3}＞1$：
两边同乘3得：$4x + a＞3$，
移项得：$4x＞3 - a$，
系数化为1得：$x＞\frac{3 - a}{4}$。
2. 解不等式$\frac{2x + 1}{3}＞0$：
两边同乘3得：$2x + 1＞0$，
移项得：$2x＞ -1$，
系数化为1得：$x＞-\frac{1}{2}$。
3. 根据题意，第一个不等式的解都是第二个不等式的解，即$\frac{3 - a}{4}≥-\frac{1}{2}$，
两边同乘4得：$3 - a≥ -2$，
移项得：$-a≥ -5$，
两边同乘$-1$（不等号方向改变）得：$a≤5$。

17. 在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：$a \oplus b = 2a - \frac{3}{2}(a + b)$，如
$1 \oplus 5 = 2 × 1 - \frac{3}{2} × (1 + 5) = -7.$
（1）若$x \oplus 4 = 0$，则$x = \_\_\_\_\_\_$；
（2）解不等式$x \oplus 6 ＞ 3$；
（3）求不等式$x \oplus 2 ＞ (-2) \oplus (x + 4)$的负整数解。

（1）$12$；（2）$x＞24$；（3）$x=-1$

（1）根据新运算规则，将$a=x$，$b=4$代入$a \oplus b = 2a - \frac{3}{2}(a + b)$，得方程：$2x - \frac{3}{2}(x + 4)=0$，去括号得$2x - \frac{3}{2}x - 6=0$，合并同类项得$\frac{1}{2}x=6$，解得$x=12$；（2）将$a=x$，$b=6$代入规则得不等式：$2x - \frac{3}{2}(x + 6)＞3$，去括号得$2x - \frac{3}{2}x - 9＞3$，合并得$\frac{1}{2}x＞12$，解得$x＞24$；（3）先计算左右两边的新运算：左边$x \oplus 2=2x - \frac{3}{2}(x + 2)$，右边$(-2) \oplus (x + 4)=2×(-2) - \frac{3}{2}[(-2)+(x + 4)]=-4 - \frac{3}{2}(x + 2)$，不等式为$2x - \frac{3}{2}(x + 2)＞-4 - \frac{3}{2}(x + 2)$，两边同时加$\frac{3}{2}(x + 2)$得$2x＞-4$，解得$x＞-2$，其负整数解为$x=-1$。

18. 已知关于 $ x, y $ 的二元一次方程组
$\begin{cases}2x - 3y = -2, \\x - 2y = k\end{cases}$
的解满足 $ x - y ＜ 0 $。
（1）求 $ k $ 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式 $ (2k + 1)x - 2k ＜ 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $，求整数 $ k $ 的值。

（1）$k ＞ -2$；（2）整数k的值为$-1$

（1）解二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = -2 \\x - 2y = k\end{cases}$，用第一个方程减去第二个方程得：$(2x - 3y)-(x - 2y) = -2 -k$，化简得$x - y = -2 -k$。因为方程组的解满足$x - y ＜0$，所以$-2 -k ＜0$，解得$k ＞ -2$。
（2）对不等式$(2k +1)x -2k ＜1$移项得$(2k +1)x ＜ 2k +1$。已知该不等式的解集为$x＞1$，根据不等式的性质，不等号方向改变，说明系数$2k +1 ＜0$，解得$k ＜ -\frac{1}{2}$。结合（1）中$k ＞ -2$，可得$-2 ＜k ＜ -\frac{1}{2}$，在此范围内的整数k为$-1$。