【变式5】已知$-1≤ a+b≤ 1,1≤ a-2b≤ 3$,求$a+3b$的取值范围.

解:设$a+3b=m(a+b)+n(a-2b)=(m+n)a+(m-2n)b$,
则$\begin{cases}m+n=1, \\m-2n=3, \end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{5}{3}, \\n=-\dfrac{2}{3}, \end{cases}$所以$a+3b=\dfrac{5}{3}(a+b)-\dfrac{2}{3}(a-2b)$.因为$-1≤ a+b≤1,1≤ a-2b≤3$,所以$-\dfrac{5}{3}≤\dfrac{5}{3}(a+b)≤\dfrac{5}{3}$,$-2≤-\dfrac{2}{3}(a-2b)≤-\dfrac{2}{3}$.由不等式的基本性质,得$-\dfrac{11}{3}≤\dfrac{5}{3}(a+b)-\dfrac{2}{3}(a-2b)≤1$,即$-\dfrac{11}{3}≤ a+3b≤1$.

1.中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车每件携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm.设某件符合上述规定的携带品的外部尺寸长、宽、高分别为 a,b,c（单位:cm）,若体积不超过73 500 cm³,则用数学关系式可表示为 （）

A.$a+b+c＜130$ 且 $abc＜73\ 500$
B.$a+b+c＞130$ 且 $abc＞73\ 500$
C.$a+b+c≤130$ 且 $abc≤73\ 500$
D.$a+b+c≥130$ 且 $abc≥73\ 500$

1.C 由外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm,得$a+b+c≤130$；由体积不超过73 500 cm³,得$abc≤73500$.故选项C符合题意.

2.设$a=x^2+y^2$，$b=2(x+y-1)$，则$a$，$b$的大小关系为（）

A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a≥ b$
D.$a≤ b$

2.C 由$a=x^2+y^2,b=2(x+y-1)$,得$a-b=x^2+y^2-2(x+y-1)=(x-1)^2+(y-1)^2≥0$,所以$a≥ b$.

3.已知$a,b,c\in\mathbb{R}$,使$a＞b$成立的一个充分不必要条件是（）

A.$a+c＞b+c$
B.$ac＞bc$
C.$|a|＞|b|$
D.$ac^2＞bc^2$

3.D 由$a+c＞b+c⇔ a＞b$,得为充要条件,故A不符合题意；若$ac＞bc$,当$c＜0$时,则$a＜b$,故此时无法得到$a＞b$,充分性不成立,故B不符合题意；当$a=-2,b=1$时,满足$|a|＞|b|$,但此时$a＜b$,充分性不成立,故C不符合题意；$ac^2＞bc^2⇒ a＞b$,充分性成立,但当$a＞b,c=0$时,无法得到$ac^2＞bc^2$,必要性不成立,故D符合题意.

4.已知$-1 ＜ a ＜ 2$，$-2 ＜ b ＜ 3$，则下列不等式错误的是（）

A.$-3 ＜ a + b ＜ 5$
B.$-4 ＜ a - b ＜ 4$
C.$2 ＜ ab ＜ 6$
D.$0 ≤ a^2 + b^2 ＜ 13$

4.C 因为$-1＜a＜2,-2＜b＜3$,所以$-3＜a+b＜5$,故A不符合题意.由$-2＜b＜3$,得$-3＜-b＜2$.因为$-1＜a＜2$,所以$-4＜a-b＜4$,故B不符合题意.因为$-1＜a＜2$,$-2＜b＜3$,当$a=0,b=0$时,$ab=0$,不满足$2＜ab＜6$,故C符合题意.因为$-1＜a＜2$,所以$0≤ a^2＜4$.因为$-2＜b＜3$,所以$0≤ b^2＜9$,所以$0≤ a^2+b^2＜13$,故D不符合题意.

5.(教材改编题)(多选)对于实数$a,b,c$,下列命题正确的是（）

A.若$a＜b$,则$ac＜bc$
B.若$a＞b,c≠0$,则$ac^2＞bc^2$
C.若$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b},a,b$同号,则$a＜b$
D.若$a＜b＜0$,则$a^2＞ab＞b^2$

5.BCD 若$a＜b$,当$c≤0$时,得$ac≥ bc$,故A错误.若$a＞b,c≠0$,则$c^2＞0,ac^2＞bc^2$,故B正确.若$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$,则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}＞0$.因为$a,b$同号,所以$ab＞0$,所以$b-a＞0$,所以$a＜b$,故C正确.若$a＜b＜0$,则$a^2-ab=a(a-b)＞0$,$ab-b^2=b(a-b)＞0$,即$a^2＞ab＞b^2$,故D正确.