6.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，距离爆破点150 m以外(含150 m)为安全区。为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：cm)应满足的不等式为。

$4×\frac{x}{0.5}≥150$ 因为导火索的长度为$x$,所以导火索燃烧的时间为$\frac{x}{0.5}$ s,人在此时间内跑开的路程为$(4×\frac{x}{0.5})$ m.由题意,得$4×\frac{x}{0.5}≥150$.

7.(1)已知$x\in\mathbf{R},x≠2$，试比较$\frac{5}{2-x}$与$x+2$的大小；
(2)已知$a,b,m,n$均为正实数，求证：$\sqrt{(a+b)(m+n)} ≥ \sqrt{am} + \sqrt{bn}$。

7.解:(1)$\dfrac{5}{2-x}-(x+2)=\dfrac{5-(4-x^2)}{2-x}=\dfrac{x^2+1}{2-x}$.(直接观察不易判断,可进行作差比较,结合$x$的取值范围进行分类讨论)
因为$x\in\mathbf{R},x≠2$,且$x^2+1＞0$,
所以若$x＞2$,则$2-x＜0$,此时$\dfrac{5}{2-x}-(x+2)＜0$,即$\dfrac{5}{2-x}＜x+2$;
若$x＜2$,则$2-x＞0$,此时$\dfrac{5}{2-x}-(x+2)＞0$,即$\dfrac{5}{2-x}＞x+2$.
综上,当$x＞2$时,$\dfrac{5}{2-x}＜x+2$;当$x＜2$时,$\dfrac{5}{2-x}＞x+2$.
(2)证明:因为$a,b,m,n$均为正实数,
所以$am,bn,a+b,m+n$均为正实数.
因为$(a+b)(m+n)-(\sqrt{am}+\sqrt{bn})^2=an+bm-2\sqrt{abmn}=(\sqrt{an}-\sqrt{bm})^2≥0$,
当且仅当$an=bm$时,等号成立,
所以$(a+b)(m+n)≥(\sqrt{am}+\sqrt{bn})^2$,
所以$\sqrt{(a+b)(m+n)}≥\sqrt{am}+\sqrt{bn}$.

8.(多选)若$a＞b＞c$，$a+b+c=0$，则下列不等式成立的是（）

A.$a^2 ＜ b^2$
B.$ac ＜ bc$
C.$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$
D.$a^3 + a ＞ a^2b + b$

8.BD 因为$a＞b＞c,a+b+c=0$,所以$a＞0,c＜0$.取$a=2$,$b=-\frac{1}{2},c=-\frac{3}{2}$,则$a^2=4＞b^2=\frac{1}{4}$,$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}＞\frac{1}{b}=-2$,故A,C错误;$ac-bc=c(a-b)＜0$,故B正确;$a^3+a-(a^2b+b)=a(a^2+1)-b(a^2+1)=(a^2+1)(a-b)＞0$,所以$a^3+a＞a^2b+b$,故D正确.

9.(一题多解)已知$2＜x＜3,1＜x-y＜2$,则$M=x+y$的取值范围是.

9.(一题多解)$\{M∣ 2＜M＜5\}$ 方法1(换元法):令$\begin{cases}m=x, \\n=x-y, \end{cases}$则$\begin{cases}x=m, \\y=m-n, \end{cases}$所以$x+y=2m-n$.由题意,得$2＜m＜3,1＜n＜2$,所以$4＜2m＜6,-2＜-n＜-1$,所以$2＜2m-n＜5$,即$2＜x+y＜5$,所以$M=x+y$的取值范围是$\{M∣ 2＜M＜5\}$.
方法2:令$x+y=ax+b(x-y)=(a+b)x-by$,即$\begin{cases}a+b=1, \\-b=1, \end{cases}$解得$\begin{cases}a=2, \\b=-1, \end{cases}$即$x+y=2x-(x-y)$.因为$2＜x＜3,1＜x-y＜2$,所以$4＜2x＜6,-2＜-(x-y)＜-1$,(同向不等式可以相加,但不能相减)所以$2＜2x-(x-y)＜5$,即$2＜x+y＜5$,所以$M=x+y$的取值范围是$\{M∣ 2＜M＜5\}$.

10.已知$x,y\in\mathbf{R}$,若$P=x^4+y^2,Q=x^2y$,则$P,Q$的大小关系是.
(提示:先两式作差,然后根据完全平方公式进行拆项配方)

10.$P≥ Q$ $P-Q=x^4+y^2-x^2y=x^4+\frac{1}{4}y^2-x^2y+\frac{3}{4}y^2=(x^2-\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2$.因为$(x^2-\frac{1}{2}y)^2≥0$,$\frac{3}{4}y^2≥0$,所以$(x^2-\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2≥0$,则$x^4+y^2-x^2y≥0$,故$x^4+y^2≥ x^2y$,即$P≥ Q$.

11.已知$a$克糖水中含有$b$克糖，再添加$m$克糖，其中$a＞b＞0,m＞0$，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.
(1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明；
(2)利用(1)中提炼的不等式证明：若$a,b,c$为三角形的三边长，则$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} ＜ 2$.
答案 P13

11.解:(1)因为加糖后糖水更甜,即糖水的浓度变大,所以提炼出的不等式为$\dfrac{b+m}{a+m}＞\dfrac{b}{a}$.
证明:$\dfrac{b+m}{a+m}-\dfrac{b}{a}=\dfrac{ab+am-ab-bm}{a(a+m)}=\dfrac{m(a-b)}{a(a+m)}$.
因为$a＞b＞0,m＞0$,所以$\dfrac{m(a-b)}{a(a+m)}＞0$,
所以$\dfrac{b+m}{a+m}＞\dfrac{b}{a}$,即不等式成立.
(2)证明:因为$a,b,c$为三角形的三边长,所以$a＜b+c$,$b＜a+c$,$c＜a+b$.
由(1),得$\dfrac{a}{b+c}＜\dfrac{a+a}{b+c+a}=\dfrac{2a}{b+c+a}$,
$\dfrac{b}{a+c}＜\dfrac{b+b}{a+c+b}=\dfrac{2b}{b+c+a}$,
$\dfrac{c}{a+b}＜\dfrac{c+c}{a+b+c}=\dfrac{2c}{b+c+a}$.
将上述三个不等式相加可得,
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}＜\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$.