【学以致用1】下列命题正确的是 （）

A.若$x＞1$，则$x+\frac{1}{x}$的最小值为2
B.若$x＜0$，则$x+\frac{1}{x}$的最大值为$-2$
C.若$xy=2$，则$x+y$的最小值为$2\sqrt{2}$
D.若$x\in\mathbb{R}$，则$x^2+2+\frac{1}{x^2+2}$的最小值为2
【学以致用2】若$0＜x＜8$，求$\sqrt{x(8-x)}$的最大值。

学以致用1：因为$x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x·\frac{1}{x}}=2$,当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即$x=1$时,取得最小值2,与$x＞1$相矛盾,故A错误.当$x＜0$时,$x+\frac{1}{x}=-[(-x)+(-\frac{1}{x})]≤-2\sqrt{(-x)·(-\frac{1}{x})}=-2$,当且仅当$-x=-\frac{1}{x}$,即$x=-1$时,取得最大值$-2$,故B正确.由$xy=2$无法确定$x,y$是否为正数.令$x=-1$,则$y=-2$,此时$x+y=-3＜2\sqrt{2}$,故C错误.因为$x^2+2＞0$,所以$x^2+2+\frac{1}{x^2+2}≥2\sqrt{(x^2+2)·\frac{1}{x^2+2}}=2$,当且仅当$x^2+2=\frac{1}{x^2+2}$时,等号成立,此时$x^2=-1$或$x^2=-3$,$x$不存在,所以原式取不到2,故D错误.
学以致用2：由$0＜x＜8$,得$8-x＞0$,则$\sqrt{x(8-x)}≤\frac{x+(8-x)}{2}=4$,当且仅当$x=8-x$,即$x=4$时,等号成立,所以$\sqrt{x(8-x)}$的最大值为4.