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21.(7分)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$S_{△ ABC}=\sqrt{18}\ \mathrm{cm}^{2}$, $BC=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$AB=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$CD⊥ AB$于点D.求AC,CD的长.
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{27 - 3}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
因为$CD⊥ AB$，且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
所以$CD=\frac{2S_{△ ABC}}{AB}=\frac{2×\sqrt{18}}{3\sqrt{3}}=\frac{2×3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$
答：$AC$的长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，$CD$的长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{27 - 3}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
因为$CD⊥ AB$，且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
所以$CD=\frac{2S_{△ ABC}}{AB}=\frac{2×\sqrt{18}}{3\sqrt{3}}=\frac{2×3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$
答：$AC$的长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，$CD$的长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$。
22.(8分)先化简,再求值:$\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}÷(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$,其中$a=$ $\sqrt{2}+1$,$b=\sqrt{2}-1$.
答案
解：
原式=$\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} ÷ \frac{b-a}{ab}$
=$\frac{a-b}{a+b} × \frac{ab}{-(a-b)}$
=$-\frac{ab}{a+b}$
当$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{2}-1$时，
$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 -1^2=2-1=1$，
$a+b=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$，
则原式=$-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
原式=$\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} ÷ \frac{b-a}{ab}$
=$\frac{a-b}{a+b} × \frac{ab}{-(a-b)}$
=$-\frac{ab}{a+b}$
当$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{2}-1$时，
$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 -1^2=2-1=1$，
$a+b=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$，
则原式=$-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
