12. 如图，在矩形ABCD中，AB=8 cm，BC=10 cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长。

解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10 cm，CD=AB=8 cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE=90°，AF=10 cm，EF=DE，设CE=x cm，则DE=EF=CD-CE=8-x（cm），在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即8²+BF²=10²，
∴BF=6 cm，CF=BC-BF=10-6=4（cm），在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF²=CE²+CF²，即(8-x)²=x²+4²，64-16x+x²=x²+16，
∴x=3，即CE=3 cm.

【分析】
本题是矩形背景下的折叠计算问题，解题思路可按以下步骤展开：首先利用矩形对边相等、四个角为直角的性质，得到已知边长；再根据折叠的性质，折叠前后的三角形全等，得到对应边、对应角相等的等量关系；接着先在Rt△ABF中运用勾股定理求出BF的长度，进而得到CF的长；最后设CE的长度为未知数，在Rt△ECF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10 cm，CD=AB=8 cm，∠B=∠C=90°。
根据折叠的性质可得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE=90°，AF=AD=10 cm，EF=DE。
设CE=x cm，则DE=CD-CE=(8-x)cm，即EF=(8-x)cm。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入数值：$8^2+BF^2=10^2$，解得BF=6 cm，
∴CF=BC-BF=10-6=4(cm)。
在Rt△ECF中，由勾股定理得：$EF^2=CE^2+CF^2$，
代入数值：$(8-x)^2=x^2+4^2$，
展开得：$64-16x+x^2=x^2+16$，
化简解得：x=3。
【答案】
CE的长为3 cm。
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何中典型的折叠类计算问题，解题关键是抓住折叠前后图形全等得到对应边相等的关系，结合勾股定理建立方程求解，很好地考查了数形结合思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7

13. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$点在$BC$上，$∠ BAD=30°$，且$∠ ADC=60°$。求证：$AD=BD$，$CD=2BD$。

证明：如图，
∵∠4=60°，∠1=30°，根据三角形外角定理可得：
∠ABD=∠4-∠1=60°-30°=30°=∠1，
∴BD=AD.
∵∠ABD=30°，又
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD=30°，
∴∠2=180°-∠4-∠C=180°-60°-30°=90°，
∴△ACD是直角三角形. 又∠C=30°，
∴CD=2AD=2BD.

【分析】
要证明AD=BD，只需证明这两条边对应的底角∠ABD和∠BAD相等即可，已知∠ADC是△ABD的外角，结合给出的∠BAD、∠ADC的度数，利用三角形外角定理就能求出∠ABD的度数，完成第一部分证明；要证明CD=2BD，结合第一部分得到的AD=BD，只需证明CD=2AD即可，先利用等腰三角形AB=AC的性质得到∠C=∠ABD，再在△ADC中计算出∠DAC的度数，判断△ADC是含30°角的直角三角形，利用特殊直角三角形的性质就能得到CD和AD的数量关系，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=60°，∠BAD=30°，
根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得：
∠B = ∠ADC - ∠BAD = 60° - 30° = 30°，
∴ ∠B = ∠BAD，
∴ AD = BD。
∵ AB=AC，
∴ ∠C = ∠B = 30°，
在△ADC中，∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠C = 180° - 60° - 30° = 90°，
即△ADC是直角三角形，且∠C=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
CD = 2AD，
又
∵ AD=BD，
∴ CD=2BD。
【答案】
证明：如图，
∵∠4=60°，∠1=30°，根据三角形外角定理可得：
∠ABD=∠4-∠1=60°-30°=30°=∠1，
∴BD=AD.
∵∠ABD=30°，又
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD=30°，
∴∠2=180°-∠4-∠C=180°-60°-30°=90°，
∴△ACD是直角三角形. 又∠C=30°，
∴CD=2AD=2BD.

【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题逻辑层层递进，先通过角的等量关系证明边相等，再结合特殊三角形的性质推导边的倍数关系，能够有效巩固三角形相关的性质定理。
【难度系数】
0.7

14. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，$AP$平分$∠ BAC$交$BD$于点$P$。
(1)$∠ APD$的度数为；
(2)若$∠ BDC=58°$，求$∠ BAP$的度数。

（1）45° （2）13°

【分析】
(1) 先根据直角三角形两锐角互余得到$∠ BAC+∠ ABC=90°$，再结合角平分线的性质求出$∠ BAP+∠ ABP$的度数，最后利用三角形外角的性质，即可得出$∠ APD$的度数。
(2) 先在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ DBC$的度数，再由角平分线的性质得到$∠ ABC$的度数，接着在$\mathrm{Rt}△ ABC$中求出$∠ BAC$的度数，最后根据$AP$是$∠ BAC$的角平分线，即可求出$∠ BAP$的度数。
【解析】
(1) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ C=90°$，
$\because BD$平分$∠ ABC$，$AP$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAP=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABP=\frac{1}{2}∠ ABC$，
$\therefore ∠ BAP+∠ ABP=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$\because ∠ APD$是$△ ABP$的外角，
$\therefore ∠ APD=∠ BAP+∠ ABP=45°$。
(2) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ C=90°$，$∠ BDC=58°$，
$\therefore ∠ DBC=90°-∠ BDC=90°-58°=32°$，
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABC=2∠ DBC=2×32°=64°$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-64°=26°$，
$\because AP$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAP=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×26°=13°$。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$；(2) $\boxed{13°}$
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题围绕角度计算展开，核心是结合图形梳理角度之间的数量关系，熟练掌握直角三角形、角平分线、三角形外角的相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$△ ABC$的一条高线，$∠ B=28°$. 求$∠ ACD$的度数.

28°

【分析】
解题时先梳理已知条件：已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠B=28°，CD是AB边上的高线即CD⊥AB。要求∠ACD的度数，可先观察∠ACD所在的△ADC也是直角三角形，它和△ABC共享锐角∠A。根据直角三角形两锐角互余的性质，可知∠B和∠ACD都是∠A的余角，根据同角的余角相等，即可直接得出∠ACD的度数，也可先计算∠A的度数，再结合△ADC的直角性质计算∠ACD，前者计算更简便。
【解析】
解：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵ CD是△ABC的高线，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴ ∠ACD = ∠B = 28°（同角的余角相等）。
【答案】
28°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查直角三角形的内角性质和余角的性质，解题关键是找到两个直角三角形的公共锐角，利用余角性质可快速得出答案，无需额外计算中间角的度数，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8