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8. 由 50 个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，则这四个数的和有可能是(
A.98
B.210
C.314
D.386
C
)。A.98
B.210
C.314
D.386
答案
8. C
解析
【分析】
我们首先观察数阵的排列特征和框内四个数的关系：数阵每行有5个连续偶数，同行相邻数差2，上下同列的数差10。解题时先设框中最小的数为x，根据排列规律写出另外三个数的表达式，得到四个数总和的代数式，再将选项代入，先验证代数关系是否成立，再结合数阵的位置限制（三个连续数必须在同一行、所有数不能超出2~100的范围）逐一排除错误选项，就能得到正确结果。
【解析】
1. 推导数的关系：
观察数阵可知，每行排列5个连续偶数，同一行相邻两数差为2，上下相邻同列的两数差为10。设框内左上角的数为x，那么同一行它右侧的两个数依次是x+2、x+4；根据框的形状，第四个框住的数是中间数x+2正下方的数，因此该数为(x+2)+10 = x+12。
2. 得到总和公式：
四个数的总和S = x + (x+2) + (x+4) + (x+12) = 4x + 18，变形可得x=(S-18)/4，x必须是正偶数，同时满足三个限制条件：① 2≤x≤98；② x所在行中x后面至少还有2个数，不能是每行的第4、5列的末尾数；③ 第四个数x+12≤100。
3. 逐一验证选项：
选项A：S=98，代入得x=(98-18)/4=20，20是每行的第5列末尾数，右侧没有数字，无法框出符合要求的四个数，排除；
选项B：S=210，代入得x=(210-18)/4=48，48是每行的第4列的数，x+4=52不在同一行，无法得到同一行的三个连续数，排除；
选项C：S=314，代入得x=(314-18)/4=74，74在数阵的第2列，同行三个数为74、76、78，第四个数为74+12=86，86≤100，四个数的位置完全符合框的形状，满足所有条件；
选项D：S=386，代入得x=(386-18)/4=92，第四个数为92+12=104，超出数阵最大数100，不存在，排除。
【答案】C
【知识点】数阵规律探究，一元一次方程应用
【点评】本题的易错点是仅满足代数关系就直接选答案，忽略数阵的行列位置限制，解题时既要推导四个数的数量关系，也要结合数阵的排列规则验证位置合理性，才能得到正确结果。
【难度系数】0.6
我们首先观察数阵的排列特征和框内四个数的关系：数阵每行有5个连续偶数，同行相邻数差2，上下同列的数差10。解题时先设框中最小的数为x，根据排列规律写出另外三个数的表达式，得到四个数总和的代数式，再将选项代入，先验证代数关系是否成立，再结合数阵的位置限制（三个连续数必须在同一行、所有数不能超出2~100的范围）逐一排除错误选项，就能得到正确结果。
【解析】
1. 推导数的关系：
观察数阵可知，每行排列5个连续偶数，同一行相邻两数差为2，上下相邻同列的两数差为10。设框内左上角的数为x，那么同一行它右侧的两个数依次是x+2、x+4；根据框的形状，第四个框住的数是中间数x+2正下方的数，因此该数为(x+2)+10 = x+12。
2. 得到总和公式：
四个数的总和S = x + (x+2) + (x+4) + (x+12) = 4x + 18，变形可得x=(S-18)/4，x必须是正偶数，同时满足三个限制条件：① 2≤x≤98；② x所在行中x后面至少还有2个数，不能是每行的第4、5列的末尾数；③ 第四个数x+12≤100。
3. 逐一验证选项：
选项A：S=98，代入得x=(98-18)/4=20，20是每行的第5列末尾数，右侧没有数字，无法框出符合要求的四个数，排除；
选项B：S=210，代入得x=(210-18)/4=48，48是每行的第4列的数，x+4=52不在同一行，无法得到同一行的三个连续数，排除；
选项C：S=314，代入得x=(314-18)/4=74，74在数阵的第2列，同行三个数为74、76、78，第四个数为74+12=86，86≤100，四个数的位置完全符合框的形状，满足所有条件；
选项D：S=386，代入得x=(386-18)/4=92，第四个数为92+12=104，超出数阵最大数100，不存在，排除。
【答案】C
【知识点】数阵规律探究，一元一次方程应用
【点评】本题的易错点是仅满足代数关系就直接选答案，忽略数阵的行列位置限制，解题时既要推导四个数的数量关系，也要结合数阵的排列规则验证位置合理性，才能得到正确结果。
【难度系数】0.6
9. 下列解方程的变形过程正确的是(
A.由 $3x = 2x - 1$ 移项，得 $3x + 2x = -1$
B.由 $4 + 3x = 2x - 1$ 移项，得 $3x - 2x = 1 - 4$
C.由 $\frac{3x - 1}{2} = 1 + \frac{2x + 1}{3}$ 去分母，得 $3(3x - 1) = 1 + 2(2x + 1)$
D.由 $4 - 2(3x - 1) = 1$ 去括号，得 $4 - 6x + 2 = 1$
D
)。A.由 $3x = 2x - 1$ 移项，得 $3x + 2x = -1$
B.由 $4 + 3x = 2x - 1$ 移项，得 $3x - 2x = 1 - 4$
C.由 $\frac{3x - 1}{2} = 1 + \frac{2x + 1}{3}$ 去分母，得 $3(3x - 1) = 1 + 2(2x + 1)$
D.由 $4 - 2(3x - 1) = 1$ 去括号，得 $4 - 6x + 2 = 1$
答案
9. D
解析
【分析】
这道题考查一元一次方程求解各步骤的变形正误，我们可以按照移项、去分母、去括号的运算规则，逐个验证每个选项的变形是否符合要求：首先明确移项的核心规则是“移项要变号”，从等式一侧移到另一侧的项符号必须反转；去分母要给等式两边所有项同时乘分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的常数项；去括号时要将括号外的系数乘括号内每一项，括号前是负号时括号内所有项都要变号，逐一排查后就能选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：对$3x=2x-1$移项时，右侧的$2x$移到左侧需要变号为$-2x$，正确变形应为$3x-2x=-1$，该选项变形错误。
选项B：对$4+3x=2x-1$移项时，右侧的$-1$留在等号右侧不需要移项，左侧的4移到右侧要变号为$-4$，正确变形应为$3x-2x=-1-4$，该选项变形错误。
选项C：对$\frac{3x - 1}{2} = 1 + \frac{2x + 1}{3}$去分母时，等式两边需要同时乘分母的最小公倍数6，右侧的常数项1也需要乘6，正确变形应为$3(3x-1)=6+2(2x+1)$，该选项漏乘常数项，变形错误。
选项D：对$4 - 2(3x - 1) = 1$去括号时，$-2$分别乘括号内的$3x$和$-1$，得到$4-6x+2=1$，变形完全正确。
【答案】
D
【知识点】
移项法则，去分母，去括号
【点评】
本题聚焦一元一次方程求解过程中的高频易错点，考察学生对基础变形规则的掌握程度，提醒学生在做方程变形时，要严格遵循运算规则，避免出现移项忘变号、去分母漏乘常数项、去括号漏乘项等常见错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元一次方程求解各步骤的变形正误，我们可以按照移项、去分母、去括号的运算规则，逐个验证每个选项的变形是否符合要求：首先明确移项的核心规则是“移项要变号”，从等式一侧移到另一侧的项符号必须反转；去分母要给等式两边所有项同时乘分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的常数项；去括号时要将括号外的系数乘括号内每一项，括号前是负号时括号内所有项都要变号，逐一排查后就能选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：对$3x=2x-1$移项时，右侧的$2x$移到左侧需要变号为$-2x$，正确变形应为$3x-2x=-1$，该选项变形错误。
选项B：对$4+3x=2x-1$移项时，右侧的$-1$留在等号右侧不需要移项，左侧的4移到右侧要变号为$-4$，正确变形应为$3x-2x=-1-4$，该选项变形错误。
选项C：对$\frac{3x - 1}{2} = 1 + \frac{2x + 1}{3}$去分母时，等式两边需要同时乘分母的最小公倍数6，右侧的常数项1也需要乘6，正确变形应为$3(3x-1)=6+2(2x+1)$，该选项漏乘常数项，变形错误。
选项D：对$4 - 2(3x - 1) = 1$去括号时，$-2$分别乘括号内的$3x$和$-1$，得到$4-6x+2=1$，变形完全正确。
【答案】
D
【知识点】
移项法则，去分母，去括号
【点评】
本题聚焦一元一次方程求解过程中的高频易错点，考察学生对基础变形规则的掌握程度，提醒学生在做方程变形时，要严格遵循运算规则，避免出现移项忘变号、去分母漏乘常数项、去括号漏乘项等常见错误。
【难度系数】
0.8
10. 小文同学晚上写数学作业，在解方程“$-5x + 1 = 2x - a$”时，将“$-5x$”中的负号抄漏了，解出 $x = 2$，则方程正确的解为(
A.$x = \frac{8}{7}$
B.$x = \frac{7}{8}$
C.$x = -\frac{7}{6}$
D.$x = -\frac{6}{7}$
D
)。A.$x = \frac{8}{7}$
B.$x = \frac{7}{8}$
C.$x = -\frac{7}{6}$
D.$x = -\frac{6}{7}$
答案
10. D
解析
小文抄漏负号后的方程为：$5x + 1 = 2x - a$。
将$x = 2$代入该方程：$5×2 + 1 = 2×2 - a$，即$10 + 1 = 4 - a$，$11 = 4 - a$，解得$a = 4 - 11 = -7$。
原方程为：$-5x + 1 = 2x - (-7)$，即$-5x + 1 = 2x + 7$。
移项得：$-5x - 2x = 7 - 1$，$-7x = 6$，解得$x = -\frac{6}{7}$。
D
将$x = 2$代入该方程：$5×2 + 1 = 2×2 - a$，即$10 + 1 = 4 - a$，$11 = 4 - a$，解得$a = 4 - 11 = -7$。
原方程为：$-5x + 1 = 2x - (-7)$，即$-5x + 1 = 2x + 7$。
移项得：$-5x - 2x = 7 - 1$，$-7x = 6$，解得$x = -\frac{6}{7}$。
D
二、填空题(共8题，每题3分，共24分)
11. 若关于 $x$ 的方程 $(a - 1)x^{|a|} + 1 = 0$ 是一元一次方程，则 $a =$
11. 若关于 $x$ 的方程 $(a - 1)x^{|a|} + 1 = 0$ 是一元一次方程，则 $a =$
-1
。答案
11. -1
解析
因为方程$(a - 1)x^{|a|} + 1 = 0$是一元一次方程，所以$|a| = 1$且$a - 1 ≠ 0$。
由$|a| = 1$可得$a = 1$或$a = -1$。
又因为$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$，所以$a = -1$。
-1
由$|a| = 1$可得$a = 1$或$a = -1$。
又因为$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$，所以$a = -1$。
-1
12. 已知 $2x - 1$ 与 $4 - x$ 的值互为相反数，则 $x$ 的值是
-3
。答案
12. -3
解析
因为$2x - 1$与$4 - x$互为相反数，所以$2x - 1 + 4 - x = 0$，解得$x = -3$。
13. 如图，把一块长方体钢坯铸造成一根底面直径为 10 dm 的圆柱形钢材，设圆柱形钢材长为 $x$ dm，则 $x$ 的值为
12.8
($π$ 取 3.14)。答案
13. 12.8
解析
长方体体积：$25.12×5×8 = 1004.8\ \mathrm{dm}^3$
圆柱底面半径：$10÷2 = 5\ \mathrm{dm}$
圆柱底面积：$3.14×5^2 = 78.5\ \mathrm{dm}^2$
由体积相等得：$78.5x = 1004.8$
解得：$x = 12.8$
圆柱底面半径：$10÷2 = 5\ \mathrm{dm}$
圆柱底面积：$3.14×5^2 = 78.5\ \mathrm{dm}^2$
由体积相等得：$78.5x = 1004.8$
解得：$x = 12.8$
14. 父子二人今年年龄之和为 40 岁，已知两年前父亲年龄是儿子的 8 倍，那么两年前父亲为
32
岁。答案
14. 32
解析
设两年前儿子年龄为$x$岁，则两年前父亲年龄为$8x$岁。
今年儿子年龄为$(x + 2)$岁，父亲年龄为$(8x + 2)$岁。
根据题意，$(x + 2) + (8x + 2) = 40$，
$9x + 4 = 40$，
$9x = 36$，
$x = 4$。
两年前父亲年龄为$8x = 8×4 = 32$岁。
32
今年儿子年龄为$(x + 2)$岁，父亲年龄为$(8x + 2)$岁。
根据题意，$(x + 2) + (8x + 2) = 40$，
$9x + 4 = 40$，
$9x = 36$，
$x = 4$。
两年前父亲年龄为$8x = 8×4 = 32$岁。
32
15. 一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利 $20\%$，若该货物进价为每件 18 元，则每件的标价为
24
元。答案
15. 24
解析
设每件的标价为$x$元。
货物按标价的九折出售，售价为$0.9x$元。
已知进价为$18$元，获利$20\%$，则利润为$18×20\% = 3.6$元，售价为$18 + 3.6 = 21.6$元。
可列方程：$0.9x = 21.6$，解得$x = 24$。
24
货物按标价的九折出售，售价为$0.9x$元。
已知进价为$18$元，获利$20\%$，则利润为$18×20\% = 3.6$元，售价为$18 + 3.6 = 21.6$元。
可列方程：$0.9x = 21.6$，解得$x = 24$。
24
16. 现规定一种运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$。例如，$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix} = 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2$。若 $\begin{vmatrix}x&-2\\3&4\end{vmatrix} = 22$，则 $x$ 的值为 ______ 。
答案
16. 4
解析
根据题中规定的运算，$\begin{vmatrix}x&-2\\3&4\end{vmatrix}=x×4 - (-2)×3$。
已知该式等于$22$，则可列出方程：
$4x + 6 = 22$
移项可得：
$4x = 22 - 6$
$4x = 16$
两边同时除以$4$：
$x = 4$
$4$
已知该式等于$22$，则可列出方程：
$4x + 6 = 22$
移项可得：
$4x = 22 - 6$
$4x = 16$
两边同时除以$4$：
$x = 4$
$4$
17. 已知 $x = 2$ 是方程 $3x - m = x + 2n$ 的解，则式子 $m + 2n + 2023$ 的值为
2027
。答案
17. 2027
解析
解：将$x = 2$代入方程$3x - m = x + 2n$，得$3×2 - m = 2 + 2n$，即$6 - m = 2 + 2n$，移项可得$-m - 2n = 2 - 6$，$-(m + 2n) = -4$，所以$m + 2n = 4$，则$m + 2n + 2023 = 4 + 2023 = 2027$。
18. 一列火车通过 600 米长的大桥要 30 秒(从车头上桥到车尾离桥)，通过 400 米的隧道要 25 秒(从车头进隧道到车尾离开隧道)。那么该列火车的速度是
40
米/秒。答案
18. 40
解析
设火车的速度为$v$米/秒，火车的长度为$l$米。
根据火车通过大桥和隧道的过程，可列方程组：
$\begin{cases}30v = 600 + l \\25v = 400 + l\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$30v - 25v = (600 + l) - (400 + l)$
$5v = 200$
$v = 40$
40
根据火车通过大桥和隧道的过程，可列方程组：
$\begin{cases}30v = 600 + l \\25v = 400 + l\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$30v - 25v = (600 + l) - (400 + l)$
$5v = 200$
$v = 40$
40
三、解答题（共5题，共46分）
19. （12分）解方程：
（1）$-2x + 3 = 4x - 9$；
（2）$(x + 1) - 2(x - 1) = 1 - 3x$；
（3）$\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$；
（4）$\frac{3x}{0.5} - \frac{1.4x}{0.4} = \frac{5x - 7}{6}$。
19. （12分）解方程：
（1）$-2x + 3 = 4x - 9$；
（2）$(x + 1) - 2(x - 1) = 1 - 3x$；
（3）$\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$；
（4）$\frac{3x}{0.5} - \frac{1.4x}{0.4} = \frac{5x - 7}{6}$。
答案
19. (1) $ x = 2 $。 (2) $ x = -1 $。 (3) $ x = 30 $。
(4) $ x = -0.7 $。
(4) $ x = -0.7 $。
解析
【分析】
本题是4道不同形式的一元一次方程求解题目，解题的核心思路是遵循一元一次方程的标准求解步骤，根据每道方程的特征选择对应操作：第（1）题无括号、无分母，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解；第（2）题带有括号，先利用去括号法则去掉括号，再后续计算；第（3）题带有整数分母，先找分母的最小公倍数去分母，转化为整数系数方程再计算；第（4）题分母为小数，先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数，再走常规的去分母、移项合并步骤即可得到结果，全程要注意移项变号、去分母不漏乘无分母的项这些易错点。
【解析】
（1）解方程$-2x + 3 = 4x - 9$
移项，将含未知数的项移到左侧，常数项移到右侧，得：
$-2x - 4x = -9 - 3$
合并同类项，得：
$-6x = -12$
系数化为1，两边同时除以$-6$，得：
$x=2$
（2）解方程$(x + 1) - 2(x - 1) = 1 - 3x$
去括号，得：
$x + 1 - 2x + 2 = 1 - 3x$
合并左侧同类项，得：
$-x + 3 = 1 - 3x$
移项，得：
$-x + 3x = 1 - 3$
合并同类项，得：
$2x = -2$
系数化为1，得：
$x=-1$
（3）解方程$\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$
去分母，两边同时乘以分母6和4的最小公倍数12，得：
$2x - 3(30 - x) = 60$
去括号，得：
$2x - 90 + 3x = 60$
移项、合并同类项，得：
$5x = 150$
系数化为1，得：
$x=30$
（4）解方程$\frac{3x}{0.5} - \frac{1.4x}{0.4} = \frac{5x - 7}{6}$
先利用分数的基本性质将小数分母化为整数：$\frac{3x}{0.5}=6x$，$\frac{1.4x}{0.4}=\frac{7x}{2}$，原方程变形为：
$6x - \frac{7x}{2} = \frac{5x - 7}{6}$
去分母，两边同时乘以6，得：
$36x - 21x = 5x -7$
合并同类项，得：
$15x = 5x -7$
移项合并，得：
$10x = -7$
系数化为1，得：
$x=-0.7$
【答案】
(1) $ x = 2 $；(2) $ x = -1 $；(3) $ x = 30 $；(4) $ x = -0.7 $
【知识点】
一元一次方程求解，等式的性质，去分母去括号法则
【点评】
本题梯度设置合理，覆盖了一元一次方程所有基础题型，从最简形式逐步过渡到含小数分母的复杂形式，全面考察学生对一元一次方程求解全流程的掌握情况，解题时要重点注意移项要变号、去分母时所有项都要乘最小公倍数、去括号时负因数要乘括号内所有项，避免常见计算失误。
【难度系数】
0.8
本题是4道不同形式的一元一次方程求解题目，解题的核心思路是遵循一元一次方程的标准求解步骤，根据每道方程的特征选择对应操作：第（1）题无括号、无分母，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解；第（2）题带有括号，先利用去括号法则去掉括号，再后续计算；第（3）题带有整数分母，先找分母的最小公倍数去分母，转化为整数系数方程再计算；第（4）题分母为小数，先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数，再走常规的去分母、移项合并步骤即可得到结果，全程要注意移项变号、去分母不漏乘无分母的项这些易错点。
【解析】
（1）解方程$-2x + 3 = 4x - 9$
移项，将含未知数的项移到左侧，常数项移到右侧，得：
$-2x - 4x = -9 - 3$
合并同类项，得：
$-6x = -12$
系数化为1，两边同时除以$-6$，得：
$x=2$
（2）解方程$(x + 1) - 2(x - 1) = 1 - 3x$
去括号，得：
$x + 1 - 2x + 2 = 1 - 3x$
合并左侧同类项，得：
$-x + 3 = 1 - 3x$
移项，得：
$-x + 3x = 1 - 3$
合并同类项，得：
$2x = -2$
系数化为1，得：
$x=-1$
（3）解方程$\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$
去分母，两边同时乘以分母6和4的最小公倍数12，得：
$2x - 3(30 - x) = 60$
去括号，得：
$2x - 90 + 3x = 60$
移项、合并同类项，得：
$5x = 150$
系数化为1，得：
$x=30$
（4）解方程$\frac{3x}{0.5} - \frac{1.4x}{0.4} = \frac{5x - 7}{6}$
先利用分数的基本性质将小数分母化为整数：$\frac{3x}{0.5}=6x$，$\frac{1.4x}{0.4}=\frac{7x}{2}$，原方程变形为：
$6x - \frac{7x}{2} = \frac{5x - 7}{6}$
去分母，两边同时乘以6，得：
$36x - 21x = 5x -7$
合并同类项，得：
$15x = 5x -7$
移项合并，得：
$10x = -7$
系数化为1，得：
$x=-0.7$
【答案】
(1) $ x = 2 $；(2) $ x = -1 $；(3) $ x = 30 $；(4) $ x = -0.7 $
【知识点】
一元一次方程求解，等式的性质，去分母去括号法则
【点评】
本题梯度设置合理，覆盖了一元一次方程所有基础题型，从最简形式逐步过渡到含小数分母的复杂形式，全面考察学生对一元一次方程求解全流程的掌握情况，解题时要重点注意移项要变号、去分母时所有项都要乘最小公倍数、去括号时负因数要乘括号内所有项，避免常见计算失误。
【难度系数】
0.8
