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一、选择题(共10题，每题3分，共30分)
1. 下列式子中，方程的个数是(
① $3×3 + 1 = 5×2$；
② $(y - 2)^2 ≥ 0$；
③ $3x + 1 = 5y$；
④ $7x - 1 = \frac{1}{2}x + 4$；
⑤ $x + y + z$。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
1. 下列式子中，方程的个数是(
A
)。① $3×3 + 1 = 5×2$；
② $(y - 2)^2 ≥ 0$；
③ $3x + 1 = 5y$；
④ $7x - 1 = \frac{1}{2}x + 4$；
⑤ $x + y + z$。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确方程的核心判定规则：一个式子要成为方程，必须同时满足两个条件，第一是含有未知数，第二是属于等式（带有等号，表示左右两边相等），两个条件缺一不可。接下来我们逐个对题目给出的5个式子逐一对照规则排查，统计符合要求的式子数量，就能得到答案。
首先看①：它是没有未知数的恒等式，不满足“含有未知数”的要求，不是方程；
②：带有大于等于号，是不等式，不满足“是等式”的要求，不是方程；
③：既含有未知数x、y，又是等式，符合方程的定义，是方程；
④：含有未知数x，同时是等式，符合方程的定义，是方程；
⑤：只是几个字母和数字的代数和，没有等号，不属于等式，不是方程。
最后统计下来符合要求的只有2个，对应选项A。
【解析】
解：首先明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判定时需要同时满足“含有未知数”和“是等式”两个条件，逐一判断各个式子：
1. 式子①：$3×3 + 1 = 5×2$是不含未知数的恒等式，不满足方程要求，不是方程；
2. 式子②：$(y - 2)^2 ≥ 0$是不等式，不属于等式，不是方程；
3. 式子③：$3x + 1 = 5y$既含有未知数x、y，又是等式，属于方程；
4. 式子④：$7x - 1 = \frac{1}{2}x + 4$既含有未知数x，又是等式，属于方程；
5. 式子⑤：$x + y + z$是普通代数式，没有等号，不属于等式，不是方程。
综上，属于方程的共有2个。
【答案】
A
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考察对方程定义的准确理解，不少同学容易遗漏两个判定条件中的某一个，误将无未知数的恒等式、不等式、普通代数式判定为方程，解题时牢记两个条件同时满足即可避免出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先得明确方程的核心判定规则：一个式子要成为方程，必须同时满足两个条件，第一是含有未知数，第二是属于等式（带有等号，表示左右两边相等），两个条件缺一不可。接下来我们逐个对题目给出的5个式子逐一对照规则排查，统计符合要求的式子数量，就能得到答案。
首先看①：它是没有未知数的恒等式，不满足“含有未知数”的要求，不是方程；
②：带有大于等于号，是不等式，不满足“是等式”的要求，不是方程；
③：既含有未知数x、y，又是等式，符合方程的定义，是方程；
④：含有未知数x，同时是等式，符合方程的定义，是方程；
⑤：只是几个字母和数字的代数和，没有等号，不属于等式，不是方程。
最后统计下来符合要求的只有2个，对应选项A。
【解析】
解：首先明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判定时需要同时满足“含有未知数”和“是等式”两个条件，逐一判断各个式子：
1. 式子①：$3×3 + 1 = 5×2$是不含未知数的恒等式，不满足方程要求，不是方程；
2. 式子②：$(y - 2)^2 ≥ 0$是不等式，不属于等式，不是方程；
3. 式子③：$3x + 1 = 5y$既含有未知数x、y，又是等式，属于方程；
4. 式子④：$7x - 1 = \frac{1}{2}x + 4$既含有未知数x，又是等式，属于方程；
5. 式子⑤：$x + y + z$是普通代数式，没有等号，不属于等式，不是方程。
综上，属于方程的共有2个。
【答案】
A
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考察对方程定义的准确理解，不少同学容易遗漏两个判定条件中的某一个，误将无未知数的恒等式、不等式、普通代数式判定为方程，解题时牢记两个条件同时满足即可避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 下列变形一定正确的是(
A.若 $x = y$，则 $x - 6 = y + 6$
B.若 $x = y$，则 $3x - 2 = 3y - 2$
C.若 $2x = 2y + 1$，则 $x = y + 1$
D.若 $x^2 = y^2$，则 $x = y$
B
)。A.若 $x = y$，则 $x - 6 = y + 6$
B.若 $x = y$，则 $3x - 2 = 3y - 2$
C.若 $2x = 2y + 1$，则 $x = y + 1$
D.若 $x^2 = y^2$，则 $x = y$
答案
2. B
解析
【分析】
这道题是判断等式变形是否正确，核心要依托等式的基本性质逐一验证每个选项。解题思路如下：首先先明确等式的两条核心性质：1. 等式两边同时加/减同一个数或整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘/除以同一个不为0的数，等式仍然成立。之后逐个对四个选项代入规则判断：A选项对比两边运算，左边减6右边加6，不是完全相同的运算，不符合性质；B选项先给等式两边同乘3，再同时减2，完全符合等式性质；C选项两边同时除以2时，右边的常数项1也要同步除以2，不能漏除；D选项平方相等的两个数，除了相等还可能互为相反数，无法直接推出x=y，最终就能筛选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项的变形是否正确：
1. 分析选项A：若$x = y$，根据等式性质1，两边同时减去6，得到的应该是$x-6=y-6$，而非$x - 6 = y + 6$，该变形错误。
2. 分析选项B：若$x = y$，先根据等式性质2，两边同时乘3，得到$3x=3y$，再根据等式性质1，两边同时减去2，可得$3x - 2 = 3y - 2$，该变形正确。
3. 分析选项C：若$2x = 2y + 1$，根据等式性质2，两边同时除以2，得到的是$x=y+0.5$，并非$x = y + 1$，该变形错误。
4. 分析选项D：若$x^2 = y^2$，比如$x=2$、$y=-2$时满足$x^2=y^2$，但此时$x≠y$，两个数也可能互为相反数，无法直接推出$x=y$，该变形错误。
综上只有B选项的变形一定正确。
【答案】B
【知识点】等式的基本性质，平方的性质
【点评】本题属于等式性质的基础巩固题，重点考察学生对等式运算规则的准确掌握，常见误区是做乘除运算时只对部分项操作、忽略等式两边运算的一致性，以及忽略平方相等的两个数可能互为相反数的情况，整体能帮助学生夯实等式变形的基础逻辑。
【难度系数】0.8
这道题是判断等式变形是否正确，核心要依托等式的基本性质逐一验证每个选项。解题思路如下：首先先明确等式的两条核心性质：1. 等式两边同时加/减同一个数或整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘/除以同一个不为0的数，等式仍然成立。之后逐个对四个选项代入规则判断：A选项对比两边运算，左边减6右边加6，不是完全相同的运算，不符合性质；B选项先给等式两边同乘3，再同时减2，完全符合等式性质；C选项两边同时除以2时，右边的常数项1也要同步除以2，不能漏除；D选项平方相等的两个数，除了相等还可能互为相反数，无法直接推出x=y，最终就能筛选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项的变形是否正确：
1. 分析选项A：若$x = y$，根据等式性质1，两边同时减去6，得到的应该是$x-6=y-6$，而非$x - 6 = y + 6$，该变形错误。
2. 分析选项B：若$x = y$，先根据等式性质2，两边同时乘3，得到$3x=3y$，再根据等式性质1，两边同时减去2，可得$3x - 2 = 3y - 2$，该变形正确。
3. 分析选项C：若$2x = 2y + 1$，根据等式性质2，两边同时除以2，得到的是$x=y+0.5$，并非$x = y + 1$，该变形错误。
4. 分析选项D：若$x^2 = y^2$，比如$x=2$、$y=-2$时满足$x^2=y^2$，但此时$x≠y$，两个数也可能互为相反数，无法直接推出$x=y$，该变形错误。
综上只有B选项的变形一定正确。
【答案】B
【知识点】等式的基本性质，平方的性质
【点评】本题属于等式性质的基础巩固题，重点考察学生对等式运算规则的准确掌握，常见误区是做乘除运算时只对部分项操作、忽略等式两边运算的一致性，以及忽略平方相等的两个数可能互为相反数的情况，整体能帮助学生夯实等式变形的基础逻辑。
【难度系数】0.8
3. 若代数式 $x + 7$ 的值为 1，则 $x$ 的值为(
A.6
B.-6
C.8
D.-8
B
)。A.6
B.-6
C.8
D.-8
答案
3. B
解析
由题意得：$x + 7 = 1$
解得：$x = 1 - 7 = -6$
答案：B
解得：$x = 1 - 7 = -6$
答案：B
4. 解方程 $3x + 4 = 4x - 5$ 时，移项正确的是(
A.$3x - 4x = -5 - 4$
B.$3x + 4x = 4 - 5$
C.$3x + 4x = 4 + 5$
D.$3x - 4x = -5 + 4$
A
)。A.$3x - 4x = -5 - 4$
B.$3x + 4x = 4 - 5$
C.$3x + 4x = 4 + 5$
D.$3x - 4x = -5 + 4$
答案
4. A
解析
解：移项，得$3x - 4x = -5 - 4$，故选A。
5. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一。书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数几何。”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：共有几个人？”设共有 $x$ 个人共同出钱买鸡，则下面所列方程正确的是(
A.$9x + 11 = 6x - 16$
B.$9x - 11 = 6x + 16$
C.$6x - 11 = 9x + 16$
D.$6x + 11 = 9x - 16$
B
)。A.$9x + 11 = 6x - 16$
B.$9x - 11 = 6x + 16$
C.$6x - 11 = 9x + 16$
D.$6x + 11 = 9x - 16$
答案
5. B
解析
设鸡的总价为$y$钱。
每人出九钱，盈十一钱，可得$y = 9x - 11$；
每人出六钱，不足十六钱，可得$y = 6x + 16$。
所以$9x - 11 = 6x + 16$。
B
每人出九钱，盈十一钱，可得$y = 9x - 11$；
每人出六钱，不足十六钱，可得$y = 6x + 16$。
所以$9x - 11 = 6x + 16$。
B
6. 将方程 $\frac{0.5 - 0.3x}{0.2} = 1 - \frac{0.3 - 0.5x}{0.3}$ 中的分母化为整数，正确的是(
A.$\frac{5 - 3x}{2} = 10 - \frac{3 - 5x}{3}$
B.$\frac{5 - 3x}{2} = 10 - \frac{0.3 - 0.5x}{0.3}$
C.$\frac{5 - 3x}{2} = 1 - \frac{3 - 5x}{3}$
D.$\frac{50 - 30x}{2} = 10 - \frac{30 - 50x}{3}$
C
)。A.$\frac{5 - 3x}{2} = 10 - \frac{3 - 5x}{3}$
B.$\frac{5 - 3x}{2} = 10 - \frac{0.3 - 0.5x}{0.3}$
C.$\frac{5 - 3x}{2} = 1 - \frac{3 - 5x}{3}$
D.$\frac{50 - 30x}{2} = 10 - \frac{30 - 50x}{3}$
答案
6. C
解析
将方程左边分子分母同乘10：$\frac{(0.5 - 0.3x) × 10}{0.2 × 10} = \frac{5 - 3x}{2}$；
方程右边第二项分子分母同乘10：$\frac{(0.3 - 0.5x) × 10}{0.3 × 10} = \frac{3 - 5x}{3}$；
原方程化为：$\frac{5 - 3x}{2} = 1 - \frac{3 - 5x}{3}$。
C
方程右边第二项分子分母同乘10：$\frac{(0.3 - 0.5x) × 10}{0.3 × 10} = \frac{3 - 5x}{3}$；
原方程化为：$\frac{5 - 3x}{2} = 1 - \frac{3 - 5x}{3}$。
C
7. 若关于 $x$ 的方程 $6x + 3a = 22$ 和方程 $3x + 5 = 11$ 的解相同，则 $a$ 的值为(
A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{3}{10}$
C.10
D.3
A
)。A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{3}{10}$
C.10
D.3
答案
7. A
解析
解：解方程$3x + 5 = 11$，得$3x=6$，$x=2$。
因为方程$6x + 3a = 22$与$3x + 5 = 11$的解相同，将$x=2$代入$6x + 3a = 22$，得$6×2 + 3a = 22$，即$12 + 3a = 22$，$3a=10$，$a=\frac{10}{3}$。
A
因为方程$6x + 3a = 22$与$3x + 5 = 11$的解相同，将$x=2$代入$6x + 3a = 22$，得$6×2 + 3a = 22$，即$12 + 3a = 22$，$3a=10$，$a=\frac{10}{3}$。
A
