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7. 如图所示，现有一把直尺和一块三角尺，其中$∠ ABC=90°$，$∠ CAB=60°$，$AB=8$，点A对应直尺的刻度为14.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得$△ ABC$移动到$△ A'B'C'$，点$A'$对应直尺的刻度为0，则四边形$ACC'A'$的面积是（
A.$112\sqrt{3}$
B.$112\sqrt{5}$
C.$96\sqrt{3}$
D.$96\sqrt{5}$
A
）A.$112\sqrt{3}$
B.$112\sqrt{5}$
C.$96\sqrt{3}$
D.$96\sqrt{5}$
答案
7.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合平移的性质判断四边形$ACC'A'$的形状，再计算它的面积：①平移后对应点连线平行且相等、对应边平行且相等，可推出四边形$ACC'A'$是平行四边形，平行四边形面积=底×高；②底就是平移的距离$AA'$，可通过两个点对应的直尺刻度差计算；③高是$Rt△ ABC$中$BC$的长度，因为$BC$垂直于直尺边缘（$AB$和$AA'$共线，$BC⊥ AB$），正好是平行四边形底边$AA'$对应的高，利用直角三角形的三角函数即可求出$BC$，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
1. 由平移的性质可得：$AA'// CC'$且$AA'=CC'$，$AC// A'C'$且$AC=A'C'$，因此四边形$ACC'A'$是平行四边形。
2. 计算平移距离$AA'$：点A对应直尺刻度为14，点$A'$对应刻度为0，因此$AA'=14-0=14$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ CAB=60°$，$AB=8$，因此：
$BC=AB·\tan60°=8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
4. 由于三角尺沿直尺边缘平移，$AB$与$AA'$共线，且$BC⊥ AB$，因此$BC$就是平行四边形$ACC'A'$底边$AA'$上的高。
5. 平行四边形面积：$S_{ACC'A'}=AA'× BC=14×8\sqrt{3}=112\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质；平行四边形的面积计算；解直角三角形
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握平移的性质，准确判断四边形的形状并找到对应底和高，结合直角三角形的相关计算即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先结合平移的性质判断四边形$ACC'A'$的形状，再计算它的面积：①平移后对应点连线平行且相等、对应边平行且相等，可推出四边形$ACC'A'$是平行四边形，平行四边形面积=底×高；②底就是平移的距离$AA'$，可通过两个点对应的直尺刻度差计算；③高是$Rt△ ABC$中$BC$的长度，因为$BC$垂直于直尺边缘（$AB$和$AA'$共线，$BC⊥ AB$），正好是平行四边形底边$AA'$对应的高，利用直角三角形的三角函数即可求出$BC$，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
1. 由平移的性质可得：$AA'// CC'$且$AA'=CC'$，$AC// A'C'$且$AC=A'C'$，因此四边形$ACC'A'$是平行四边形。
2. 计算平移距离$AA'$：点A对应直尺刻度为14，点$A'$对应刻度为0，因此$AA'=14-0=14$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ CAB=60°$，$AB=8$，因此：
$BC=AB·\tan60°=8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
4. 由于三角尺沿直尺边缘平移，$AB$与$AA'$共线，且$BC⊥ AB$，因此$BC$就是平行四边形$ACC'A'$底边$AA'$上的高。
5. 平行四边形面积：$S_{ACC'A'}=AA'× BC=14×8\sqrt{3}=112\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质；平行四边形的面积计算；解直角三角形
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握平移的性质，准确判断四边形的形状并找到对应底和高，结合直角三角形的相关计算即可求解。
【难度系数】
0.7
8.计算：$\sqrt{(-5)^2}=$
5
.答案
8.5
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查二次根式的化简，我们可以按两步思考：第一步先计算根号内的乘方运算，求出$(-5)^2$的结果；第二步再根据算术平方根的定义，求所得结果的非负平方根即可。也可以直接利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为求$-5$的绝对值，快速得到结果。
【解析】
方法一：先计算根号内的乘方：$(-5)^2=25$，再求25的算术平方根，算术平方根为非负的平方根，因此$\sqrt{25}=5$。
方法二：利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$。
【答案】
5
【知识点】
有理数乘方；算术平方根；二次根式性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简，解题时需注意算术平方根的结果具有非负性，避免误算为$-5$。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确本题考查二次根式的化简，我们可以按两步思考：第一步先计算根号内的乘方运算，求出$(-5)^2$的结果；第二步再根据算术平方根的定义，求所得结果的非负平方根即可。也可以直接利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为求$-5$的绝对值，快速得到结果。
【解析】
方法一：先计算根号内的乘方：$(-5)^2=25$，再求25的算术平方根，算术平方根为非负的平方根，因此$\sqrt{25}=5$。
方法二：利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$。
【答案】
5
【知识点】
有理数乘方；算术平方根；二次根式性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简，解题时需注意算术平方根的结果具有非负性，避免误算为$-5$。
【难度系数】
0.9
9.如图所示，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AC$，$BC$的中点，若$AB=6$，则$DE=$
3
。答案
9.3
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的条件：D、E分别是AC、BC的中点，由此可判断DE是△ABC的中位线，再回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，已知第三边AB的长度，代入计算即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$，
又
∵$AB=6$，
∴$DE=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是基础题，重点考查三角形中位线定理的直接应用，解题关键是根据中点的条件识别出三角形的中位线，牢记中位线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题目给出的条件：D、E分别是AC、BC的中点，由此可判断DE是△ABC的中位线，再回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，已知第三边AB的长度，代入计算即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$，
又
∵$AB=6$，
∴$DE=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是基础题，重点考查三角形中位线定理的直接应用，解题关键是根据中点的条件识别出三角形的中位线，牢记中位线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10.如图所示，函数$y=ax$和$y=bx+c$的图象相交于点$A(1,2)$，则不等式$ax＞bx+c$的解集为
$x＞1$
。答案
10.$x＞1$
解析
【分析】
解决本题的核心是将不等式的求解转化为函数图象的位置关系分析：首先，不等式$ax＞bx+c$的含义是，取相同的x值时，函数$y=ax$的函数值大于$y=bx+c$的函数值，对应图象上就是$y=ax$的图象位于$y=bx+c$图象上方的区域。接下来找到两个函数的交点$A(1,2)$，交点处两个函数值相等，最后观察图象判断交点哪一侧符合“$y=ax$在上方”的条件，即可得到解集。
【解析】
不等式$ax＞bx+c$的几何意义为：当x取何值时，正比例函数$y=ax$的图象在一次函数$y=bx+c$的图象上方。
已知两个函数图象交于点$A(1,2)$，观察图象可知：
当$x＞1$时，$y=ax$的图象位于$y=bx+c$的图象上方，即此时$ax＞bx+c$。
因此不等式$ax＞bx+c$的解集为$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式、正比例函数的图象与性质、数形结合思想
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题关键是理解函数值的大小关系对应函数图象的上下位置关系，结合交点坐标即可快速确定不等式解集，不需要复杂计算，侧重对图象分析能力的考查。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是将不等式的求解转化为函数图象的位置关系分析：首先，不等式$ax＞bx+c$的含义是，取相同的x值时，函数$y=ax$的函数值大于$y=bx+c$的函数值，对应图象上就是$y=ax$的图象位于$y=bx+c$图象上方的区域。接下来找到两个函数的交点$A(1,2)$，交点处两个函数值相等，最后观察图象判断交点哪一侧符合“$y=ax$在上方”的条件，即可得到解集。
【解析】
不等式$ax＞bx+c$的几何意义为：当x取何值时，正比例函数$y=ax$的图象在一次函数$y=bx+c$的图象上方。
已知两个函数图象交于点$A(1,2)$，观察图象可知：
当$x＞1$时，$y=ax$的图象位于$y=bx+c$的图象上方，即此时$ax＞bx+c$。
因此不等式$ax＞bx+c$的解集为$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式、正比例函数的图象与性质、数形结合思想
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题关键是理解函数值的大小关系对应函数图象的上下位置关系，结合交点坐标即可快速确定不等式解集，不需要复杂计算，侧重对图象分析能力的考查。
【难度系数】
0.8
11.计算：
(1)$\sqrt{18} - \sqrt{50} + 3\sqrt{\frac{1}{2}}$；
(2)$(\sqrt{5} + 1)(3 - \sqrt{5}) - \sqrt{20}$。
(1)$\sqrt{18} - \sqrt{50} + 3\sqrt{\frac{1}{2}}$；
(2)$(\sqrt{5} + 1)(3 - \sqrt{5}) - \sqrt{20}$。
答案
11.解:(1)$\sqrt{18}-\sqrt{50}+3\sqrt{\frac{1}{2}}=3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)$(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})-\sqrt{20}=3\sqrt{5}-5+3-\sqrt{5}-2\sqrt{5}=-2$.
(2)$(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})-\sqrt{20}=3\sqrt{5}-5+3-\sqrt{5}-2\sqrt{5}=-2$.
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的运算类题目，解题思路清晰可遵循：
(1) 二次根式加减运算遵循“先化简，再合并”的规则：首先将所有二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变即可。
(2) 含乘法的二次根式混合运算遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：首先用多项式乘法法则计算乘积项，再将所有二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 先分别化简每个二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{1}{2}}=3×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
代入原式合并同类二次根式：
$\sqrt{18} - \sqrt{50} + 3\sqrt{\frac{1}{2}}=3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=(3-5+\frac{3}{2})\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 先计算多项式乘积，再化简$\sqrt{20}$：
根据多项式乘法法则，$(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}×3 - \sqrt{5}×\sqrt{5} + 1×3 -1×\sqrt{5}=3\sqrt{5}-5+3-\sqrt{5}$
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$
代入原式合并同类项：
$(\sqrt{5} + 1)(3 - \sqrt{5}) - \sqrt{20}=3\sqrt{5}-5+3-\sqrt{5}-2\sqrt{5}=(3\sqrt{5}-\sqrt{5}-2\sqrt{5})+(-5+3)=-2$
【答案】
(1) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $-2$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式混合运算；同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考察二次根式的化简能力和四则运算规则的应用，计算时需注意多项式乘法不要漏乘、二次根式要化到最简，细心运算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于二次根式的运算类题目，解题思路清晰可遵循：
(1) 二次根式加减运算遵循“先化简，再合并”的规则：首先将所有二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变即可。
(2) 含乘法的二次根式混合运算遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：首先用多项式乘法法则计算乘积项，再将所有二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 先分别化简每个二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{1}{2}}=3×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
代入原式合并同类二次根式：
$\sqrt{18} - \sqrt{50} + 3\sqrt{\frac{1}{2}}=3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=(3-5+\frac{3}{2})\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 先计算多项式乘积，再化简$\sqrt{20}$：
根据多项式乘法法则，$(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}×3 - \sqrt{5}×\sqrt{5} + 1×3 -1×\sqrt{5}=3\sqrt{5}-5+3-\sqrt{5}$
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$
代入原式合并同类项：
$(\sqrt{5} + 1)(3 - \sqrt{5}) - \sqrt{20}=3\sqrt{5}-5+3-\sqrt{5}-2\sqrt{5}=(3\sqrt{5}-\sqrt{5}-2\sqrt{5})+(-5+3)=-2$
【答案】
(1) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $-2$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式混合运算；同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考察二次根式的化简能力和四则运算规则的应用，计算时需注意多项式乘法不要漏乘、二次根式要化到最简，细心运算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
12.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD边上的点,且AE=CF,求证:四边形EBFD是平行四边形.
答案
12.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,CD//AB,即DF//BE.
又AE=CF,
∴AB−AE=CD−CF,即BE=DF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,CD//AB,即DF//BE.
又AE=CF,
∴AB−AE=CD−CF,即BE=DF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形EBFD是平行四边形，可优先使用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。首先根据已知的平行四边形ABCD，可得到对边AB与CD平行且相等，由此可得DF//BE；再结合已知条件AE=CF，通过线段的和差运算就能推出BE=DF，此时四边形EBFD的一组对边BE、DF既平行又相等，即可判定它是平行四边形。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，即DF//BE，
又
∵AE=CF，
∴AB - AE = CD - CF，即BE=DF，
∵BE与DF平行且相等，
∴四边形EBFD是平行四边形。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,CD//AB,即DF//BE.
又AE=CF,
∴AB−AE=CD−CF,即BE=DF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础应用题型，解题核心是熟练掌握平行四边形的相关定理，准确梳理出待证四边形对边的位置关系和数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要证明四边形EBFD是平行四边形，可优先使用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。首先根据已知的平行四边形ABCD，可得到对边AB与CD平行且相等，由此可得DF//BE；再结合已知条件AE=CF，通过线段的和差运算就能推出BE=DF，此时四边形EBFD的一组对边BE、DF既平行又相等，即可判定它是平行四边形。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，即DF//BE，
又
∵AE=CF，
∴AB - AE = CD - CF，即BE=DF，
∵BE与DF平行且相等，
∴四边形EBFD是平行四边形。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,CD//AB,即DF//BE.
又AE=CF,
∴AB−AE=CD−CF,即BE=DF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础应用题型，解题核心是熟练掌握平行四边形的相关定理，准确梳理出待证四边形对边的位置关系和数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
