登录
1. 如图,有一个水池,水面是边长为8尺的正方形,在水池中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,那么这根芦苇的长度是 (
A.7.5尺
B.8尺
C.8.5尺
D.9尺
C
)A.7.5尺
B.8尺
C.8.5尺
D.9尺
答案
C 解析:设芦苇的长度为x尺,则AB的长度为(x−1)尺. 根据题意,得(x−1)²+(8/2)²=x²,解得x=8.5,即芦苇的长度为8.5尺.
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，解题时首先要从场景中抽象出直角三角形模型：将芦苇拉到池边时，芦苇长度作为直角三角形的斜边，水深、水池中央到池边的水平距离分别为两条直角边。我们可以通过设芦苇长度为未知数，用未知数表示出水深，再结合勾股定理列方程求解。首先明确已知量：水池是边长为8尺的正方形，所以中央到任意一边的水平距离为8÷2=4尺；芦苇高出水面1尺，若设芦苇长x尺，则水深为(x-1)尺，最后代入勾股定理公式即可建立方程求解。
【解析】
设这根芦苇的长度为x尺，则水池的水深为(x-1)尺。
由水面是边长为8尺的正方形，可得水池中央到池边的水平距离为：$8÷2=4$（尺）
把芦苇拉到池边时，芦苇、水深、水平距离构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$(x-1)^2 + 4^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 - 2x + 1 + 16 = x^2$
消去$x^2$后得：$-2x + 17 = 0$
解得：$x=8.5$
即芦苇的长度为8.5尺。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型题型，解题的核心是将实际场景转化为几何中的直角三角形模型，准确找到各边对应的数量关系，考查学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
这是一道勾股定理的实际应用题，解题时首先要从场景中抽象出直角三角形模型：将芦苇拉到池边时，芦苇长度作为直角三角形的斜边，水深、水池中央到池边的水平距离分别为两条直角边。我们可以通过设芦苇长度为未知数，用未知数表示出水深，再结合勾股定理列方程求解。首先明确已知量：水池是边长为8尺的正方形，所以中央到任意一边的水平距离为8÷2=4尺；芦苇高出水面1尺，若设芦苇长x尺，则水深为(x-1)尺，最后代入勾股定理公式即可建立方程求解。
【解析】
设这根芦苇的长度为x尺，则水池的水深为(x-1)尺。
由水面是边长为8尺的正方形，可得水池中央到池边的水平距离为：$8÷2=4$（尺）
把芦苇拉到池边时，芦苇、水深、水平距离构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$(x-1)^2 + 4^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 - 2x + 1 + 16 = x^2$
消去$x^2$后得：$-2x + 17 = 0$
解得：$x=8.5$
即芦苇的长度为8.5尺。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型题型，解题的核心是将实际场景转化为几何中的直角三角形模型，准确找到各边对应的数量关系，考查学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
2. 在我国古代数学著作《九章算术》中有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开两扇门AD、BC，门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸)，两扇门间的缝隙CD为2寸，那么两扇门宽度的和AB为
101
寸.答案
101 解析:如图
,过点D作DE⊥AB于点E,设OA=OB=AD=BC=r寸,则AB=2r寸,DE=10寸,OE=1/2 CD=1寸,AE=(r−1)寸. 在Rt△ADE中,AE²+DE²=AD²,即(r−1)²+10²=r²,∴2r=101,
∴两扇门宽度的和AB为101寸.
解析
【分析】
这是一道结合古代数学背景的几何应用问题，解题时先将实际场景转化为几何模型：两扇门宽度相等，整体图形关于AB的垂直平分线轴对称。我们可以先设单扇门的宽度为r寸，则AB总长度为2r寸，过D作DE⊥AB构造直角三角形，利用轴对称性质可推出OE为缝隙CD的一半，进而表示出Rt△ADE的三条边长，最后借助勾股定理列方程求解即可得到AB的长度。
【解析】
如图，过点D作DE⊥AB于点E，设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r寸。
由题意得DE=1尺=10寸，CD=2寸，根据轴对称性质可知$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸，因此$AE=OA-OE=(r-1)$寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理有$AE^2+DE^2=AD^2$，代入边长可得：
$(r-1)^2 + 10^2 = r^2$
展开整理得：$r^2 - 2r + 1 + 100 = r^2$
消去$r^2$后解得$2r=101$，即AB=101寸。
【答案】
101寸
【知识点】
勾股定理的应用，轴对称的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题以《九章算术》中的经典问题为载体，考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题核心是利用轴对称找到边的数量关系，结合勾股定理建立方程求解，能让学生体会数学在实际生活中的应用价值，感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合古代数学背景的几何应用问题，解题时先将实际场景转化为几何模型：两扇门宽度相等，整体图形关于AB的垂直平分线轴对称。我们可以先设单扇门的宽度为r寸，则AB总长度为2r寸，过D作DE⊥AB构造直角三角形，利用轴对称性质可推出OE为缝隙CD的一半，进而表示出Rt△ADE的三条边长，最后借助勾股定理列方程求解即可得到AB的长度。
【解析】
如图
，过点D作DE⊥AB于点E，设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r寸。由题意得DE=1尺=10寸，CD=2寸，根据轴对称性质可知$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸，因此$AE=OA-OE=(r-1)$寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理有$AE^2+DE^2=AD^2$，代入边长可得：
$(r-1)^2 + 10^2 = r^2$
展开整理得：$r^2 - 2r + 1 + 100 = r^2$
消去$r^2$后解得$2r=101$，即AB=101寸。
【答案】
101寸
【知识点】
勾股定理的应用，轴对称的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题以《九章算术》中的经典问题为载体，考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题核心是利用轴对称找到边的数量关系，结合勾股定理建立方程求解，能让学生体会数学在实际生活中的应用价值，感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,小明家(A)在小亮家(B)的正北方.某日,小明与小亮约好去图书馆(D),小明行走的路线是$A→C→D$,小亮行走的路线是$B→C→D$.已知$AB=3\ \mathrm{km}$,$BC=4\ \mathrm{km}$,$CD=5\ \mathrm{km}$,$∠ABC=90°$,小明骑自行车的速度为$a\ \mathrm{km/min}$,小亮走路的速度为$0.1\ \mathrm{km/min}$.小亮出发30 min后小明再出发,若小明在路上遇到小亮,则带上小亮一起去图书馆.为了使小亮能坐上小明的顺风车,则$a$的取值范围是________.
答案
$\frac{1}{6}＜a≤\frac{1}{2}$ 解析:在Rt△ABC中,AC=√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5(km). 根据题意可知,小亮走路到达点C的时间为4÷0.1=40(min),走路到达点D的时间为(4+5)÷0.1=90(min). 小明和小亮同时到达点C时,a=5/(40−30)=1/2(km/min);两人同时到达点D时,a=(5+5)/(90−30)=1/6(km/min). 综上所述,为了使小亮能坐上小明的顺风车,则a的取值范围是1/6 ＜ a ≤ 1/2.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用勾股定理算出小明从A到C的路程AC的长度。两人的路线仅在C到D段重合，所以小亮能坐上顺风车的情况是两人在C点或CD段相遇，我们需要找到两个临界状态：①小明和小亮刚好同时到达C点，此时a为最大值；②小明和小亮刚好同时到达D点，此时a为最小值。分别计算两种临界状态下的a值，就能得到a的取值范围。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在Rt△ABC中，$∠ ABC=90°$，$AB=3\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{km}$
2. 计算小亮到达关键节点的时间：
小亮走路速度为$0.1\ \mathrm{km/min}$，
小亮到达C点的时间：$t_1=BC÷0.1=4÷0.1=40\ \mathrm{min}$
小亮到达D点的总时间：$t_2=(BC+CD)÷0.1=(4+5)÷0.1=90\ \mathrm{min}$
3. 计算两种临界情况的a值：
（1）两人同时到达C点：小明比小亮晚出发30min，所以小明走AC的时间为$40-30=10\ \mathrm{min}$，此时速度$a=AC÷10=5÷10=\frac{1}{2}\ \mathrm{km/min}$，若a大于该值，小明会比小亮先到C，无法相遇，故a最大为$\frac{1}{2}$。
（2）两人同时到达D点：小明走的总路程为$AC+CD=5+5=10\ \mathrm{km}$，小明的行驶时间为$90-30=60\ \mathrm{min}$，此时速度$a=10÷60=\frac{1}{6}\ \mathrm{km/min}$，若a小于等于该值，小明会比小亮晚到D，无法相遇，故a需大于$\frac{1}{6}$。
综上，a的取值范围是$\frac{1}{6}＜a≤\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{6} ＜ a ≤ \frac{1}{2}$
【知识点】
勾股定理的应用、行程问题计算、不等式取值范围确定
【点评】
本题是几何与行程结合的实际应用题，解题核心是准确找到两人相遇的两个临界位置，分别计算对应的速度边界，需要注意出发时间差对行驶时间的影响，避免因忽略时间差导致计算错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先利用勾股定理算出小明从A到C的路程AC的长度。两人的路线仅在C到D段重合，所以小亮能坐上顺风车的情况是两人在C点或CD段相遇，我们需要找到两个临界状态：①小明和小亮刚好同时到达C点，此时a为最大值；②小明和小亮刚好同时到达D点，此时a为最小值。分别计算两种临界状态下的a值，就能得到a的取值范围。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在Rt△ABC中，$∠ ABC=90°$，$AB=3\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{km}$
2. 计算小亮到达关键节点的时间：
小亮走路速度为$0.1\ \mathrm{km/min}$，
小亮到达C点的时间：$t_1=BC÷0.1=4÷0.1=40\ \mathrm{min}$
小亮到达D点的总时间：$t_2=(BC+CD)÷0.1=(4+5)÷0.1=90\ \mathrm{min}$
3. 计算两种临界情况的a值：
（1）两人同时到达C点：小明比小亮晚出发30min，所以小明走AC的时间为$40-30=10\ \mathrm{min}$，此时速度$a=AC÷10=5÷10=\frac{1}{2}\ \mathrm{km/min}$，若a大于该值，小明会比小亮先到C，无法相遇，故a最大为$\frac{1}{2}$。
（2）两人同时到达D点：小明走的总路程为$AC+CD=5+5=10\ \mathrm{km}$，小明的行驶时间为$90-30=60\ \mathrm{min}$，此时速度$a=10÷60=\frac{1}{6}\ \mathrm{km/min}$，若a小于等于该值，小明会比小亮晚到D，无法相遇，故a需大于$\frac{1}{6}$。
综上，a的取值范围是$\frac{1}{6}＜a≤\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{6} ＜ a ≤ \frac{1}{2}$
【知识点】
勾股定理的应用、行程问题计算、不等式取值范围确定
【点评】
本题是几何与行程结合的实际应用题，解题核心是准确找到两人相遇的两个临界位置，分别计算对应的速度边界，需要注意出发时间差对行驶时间的影响，避免因忽略时间差导致计算错误。
【难度系数】
0.6
4. 如图,有一圆柱罐头,它的高为5 cm,底面直径为8 cm.在圆柱下底面的点C处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点B相对的点A开口处的食物,需要爬行的最短路程约为
(π取3)
13
cm.(π取3)
答案
13 解析:展开圆柱的半个侧面,得到一个长方形,长方形的长是圆柱底面周长的一半,即4π≈12(cm),长方形的宽是圆柱的高,即5 cm. 根据题意得,蚂蚁爬行的最短路程即长方形的对角线长,即√(12²+5²)=13(cm).
解析
【分析】
遇到圆柱侧面上两点的最短爬行路径问题时，首先根据“两点之间，线段最短”的原理，需要将圆柱的曲面侧面展开为平面图形，把立体路径问题转化为平面上两点的距离问题。本题中蚂蚁从下底面C到上底面相对的A点，只需展开圆柱的半个侧面得到长方形，再确定长方形的长（底面周长的一半）和宽（圆柱的高），最后利用勾股定理计算长方形的对角线长度，就是蚂蚁爬行的最短路程。
【解析】
解：将圆柱的半个侧面展开，得到一个长方形：
1. 计算长方形的长：圆柱底面直径为8cm，底面周长为$π d=8π$cm，因此半个底面周长（即长方形的长）为$\frac{1}{2}×8π=4π$，代入$π=3$得长约为$4×3=12$cm；
2. 长方形的宽等于圆柱的高，为5cm；
3. 蚂蚁爬行的最短路程为长方形的对角线长，根据勾股定理计算：
$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$（cm）。
【答案】
13
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 勾股定理的应用
3. 圆柱侧面展开图
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型习题，解题核心是“化曲为直”，将立体问题转化为平面问题求解，解题时需注意正确对应展开后各线段的长度，避免误将整个底面周长作为长方形的长。
【难度系数】
0.7
遇到圆柱侧面上两点的最短爬行路径问题时，首先根据“两点之间，线段最短”的原理，需要将圆柱的曲面侧面展开为平面图形，把立体路径问题转化为平面上两点的距离问题。本题中蚂蚁从下底面C到上底面相对的A点，只需展开圆柱的半个侧面得到长方形，再确定长方形的长（底面周长的一半）和宽（圆柱的高），最后利用勾股定理计算长方形的对角线长度，就是蚂蚁爬行的最短路程。
【解析】
解：将圆柱的半个侧面展开，得到一个长方形：
1. 计算长方形的长：圆柱底面直径为8cm，底面周长为$π d=8π$cm，因此半个底面周长（即长方形的长）为$\frac{1}{2}×8π=4π$，代入$π=3$得长约为$4×3=12$cm；
2. 长方形的宽等于圆柱的高，为5cm；
3. 蚂蚁爬行的最短路程为长方形的对角线长，根据勾股定理计算：
$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$（cm）。
【答案】
13
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 勾股定理的应用
3. 圆柱侧面展开图
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型习题，解题核心是“化曲为直”，将立体问题转化为平面问题求解，解题时需注意正确对应展开后各线段的长度，避免误将整个底面周长作为长方形的长。
【难度系数】
0.7
5. 如图,有一台环卫车沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶,已知点 C 为一所学校,且点 C 与直线 AB 上两点 A、B 的距离分别为 150 m 和 200 m,AB=250 m,环卫车周围 130 m 以内为受噪声影响区域.
(1)学校 C 会受噪声影响吗?为什么?
(2)若环卫车的行驶速度为 50 m/min,则环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟?
(1)学校 C 会受噪声影响吗?为什么?
(2)若环卫车的行驶速度为 50 m/min,则环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟?
答案
(1)学校C会受噪声影响. 理由如下:如图
,过点C作CD⊥AB于点D.∵AC=150 m,BC=200 m,AB=250 m,
∴AC²+BC²=AB²,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
∵S△ACB=1/2 AC·BC=1/2 CD·AB,
∴CD=(AC·BC)/AB=(150×200)/250=120(m)＜130 m,
∴学校C会受噪声影响.
(2)如图,当EC=130 m,FC=130 m时,正好影响学校C. 在Rt△EDC中,ED=√(EC²−CD²)=√(130²−120²)=50(m),
∴EF=2ED=100 m.
∵环卫车的行驶速度为50 m/min,
∴100÷50=2(min). 答:环卫车噪声影响该学校持续的时间有2 min.
解析
【分析】
要解决第一问，首先明确判断学校是否受噪声影响的依据：学校C到公路AB的距离如果小于等于130m，就会受影响，反之不受。首先观察△ABC的三边长，150m、200m、250m，满足勾股定理逆定理的条件，可先判定△ABC是直角三角形，再利用直角三角形的等积法（两种方式计算面积相等）求出C到AB的垂线段CD的长度，和130m比较即可得出结论。
第二问要算影响时间，首先需要确定环卫车在AB上行驶时的影响路段：当行驶到点E、F时，EC=FC=130m，路段EF就是受影响的路段。在Rt△CDE中用勾股定理求出ED的长度，根据对称性可知EF=2ED，得到EF的长度后，再根据“时间=路程÷速度”即可算出影响的持续时间。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D。
已知AC=150m，BC=200m，AB=250m，
∵ $ AC^2 + BC^2 = 150^2 + 200^2 = 62500 $，$ AB^2 = 250^2 = 62500 $，
∴ $ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
根据三角形面积计算公式，$ S_{△ ACB} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} CD · AB $，
代入数值可得：$ CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{150 × 200}{250} = 120(m) $，
∵ 120m ＜ 130m，
∴ 学校C会受噪声影响。
(2) 当环卫车行驶到点E时EC=130m，此时开始影响学校；行驶到点F时FC=130m，此时结束影响。
在Rt△EDC中，由勾股定理得：
$ ED = \sqrt{EC^2 - CD^2} = \sqrt{130^2 - 120^2} = 50(m) $，
由CD⊥AB、EC=FC可知D是EF中点，故EF=2ED=2×50=100m。
已知环卫车行驶速度为50m/min，
则影响时间 $ t = \frac{100}{50} = 2(min) $。
【答案】
(1)学校C会受噪声影响. 理由如下:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC=150 m,BC=200 m,AB=250 m,
∴AC²+BC²=AB²,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
∵S△ACB=1/2 AC·BC=1/2 CD·AB,
∴CD=(AC·BC)/AB=(150×200)/250=120(m)＜130 m,
∴学校C会受噪声影响.
(2)如图,当EC=130 m,FC=130 m时,正好影响学校C. 在Rt△EDC中,ED=√(EC²−CD²)=√(130²−120²)=50(m),
∴EF=2ED=100 m.
∵环卫车的行驶速度为50 m/min,
∴100÷50=2(min). 答:环卫车噪声影响该学校持续的时间有2 min.
【知识点】
1.勾股定理及逆定理
2.等积法求高
3.行程问题计算
【点评】
这道题结合生活实际场景命题，将几何知识和实际应用相结合，解题的关键是先利用勾股定理逆定理判断三角形形状，再通过等积法求出点到直线的距离，最后结合勾股定理确定受影响的路段长度，能有效考查学生对勾股定理相关知识的掌握程度和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决第一问，首先明确判断学校是否受噪声影响的依据：学校C到公路AB的距离如果小于等于130m，就会受影响，反之不受。首先观察△ABC的三边长，150m、200m、250m，满足勾股定理逆定理的条件，可先判定△ABC是直角三角形，再利用直角三角形的等积法（两种方式计算面积相等）求出C到AB的垂线段CD的长度，和130m比较即可得出结论。
第二问要算影响时间，首先需要确定环卫车在AB上行驶时的影响路段：当行驶到点E、F时，EC=FC=130m，路段EF就是受影响的路段。在Rt△CDE中用勾股定理求出ED的长度，根据对称性可知EF=2ED，得到EF的长度后，再根据“时间=路程÷速度”即可算出影响的持续时间。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D。
已知AC=150m，BC=200m，AB=250m，
∵ $ AC^2 + BC^2 = 150^2 + 200^2 = 62500 $，$ AB^2 = 250^2 = 62500 $，
∴ $ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
根据三角形面积计算公式，$ S_{△ ACB} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} CD · AB $，
代入数值可得：$ CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{150 × 200}{250} = 120(m) $，
∵ 120m ＜ 130m，
∴ 学校C会受噪声影响。
(2) 当环卫车行驶到点E时EC=130m，此时开始影响学校；行驶到点F时FC=130m，此时结束影响。
在Rt△EDC中，由勾股定理得：
$ ED = \sqrt{EC^2 - CD^2} = \sqrt{130^2 - 120^2} = 50(m) $，
由CD⊥AB、EC=FC可知D是EF中点，故EF=2ED=2×50=100m。
已知环卫车行驶速度为50m/min，
则影响时间 $ t = \frac{100}{50} = 2(min) $。
【答案】
(1)学校C会受噪声影响. 理由如下:如图
,过点C作CD⊥AB于点D.∵AC=150 m,BC=200 m,AB=250 m,
∴AC²+BC²=AB²,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
∵S△ACB=1/2 AC·BC=1/2 CD·AB,
∴CD=(AC·BC)/AB=(150×200)/250=120(m)＜130 m,
∴学校C会受噪声影响.
(2)如图,当EC=130 m,FC=130 m时,正好影响学校C. 在Rt△EDC中,ED=√(EC²−CD²)=√(130²−120²)=50(m),
∴EF=2ED=100 m.
∵环卫车的行驶速度为50 m/min,
∴100÷50=2(min). 答:环卫车噪声影响该学校持续的时间有2 min.
【知识点】
1.勾股定理及逆定理
2.等积法求高
3.行程问题计算
【点评】
这道题结合生活实际场景命题，将几何知识和实际应用相结合，解题的关键是先利用勾股定理逆定理判断三角形形状，再通过等积法求出点到直线的距离，最后结合勾股定理确定受影响的路段长度，能有效考查学生对勾股定理相关知识的掌握程度和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
