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1. (2025·遂宁)如图,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在点C处,沿圆柱的侧面爬到点B处,现将圆柱侧面沿AC剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线,正确的是 (
B
)答案
B
解析
【分析】
要解决蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线问题，首先需要将圆柱侧面转化为平面图形，依据“两点之间线段最短”确定最短路径是两点的连线段。首先明确圆柱侧面沿AC剪开后得到长方形，长方形的宽等于圆柱的高AC，长等于圆柱底面周长；再确定B点在展开图的位置：由于AB是上底面直径，因此B点在展开图的上边上，距离A点的水平长度等于底面半周长，即长方形长的一半，并非长方形的右上角，最后结合选项判断符合该特征的线段即可。
【解析】
1. 圆柱侧面沿AC剪开后，展开为长方形：长方形的宽为圆柱的高AC，长等于圆柱的底面周长。
2. 根据“两点之间线段最短”，蚂蚁从C到B的最短爬行路线是展开图中C、B两点的连线段，因此首先排除为曲线的选项D。
3. 由于AB是圆柱上底面的直径，因此展开后B点位于长方形的上边，且距离A点的长度等于底面周长的一半，即长方形长的1/2处，不是长方形的右上角，因此排除线段连接到右上角的选项A，同时排除存在两条线段的选项C。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题考查立体图形中最短路径的求解，核心思路是将立体图形的侧面展开为平面图形，利用平面内线段最短的性质判断路径，解题的易错点是容易误将B点判断为展开图的右上角，需要结合直径对应的弧长准确确定点的位置。
【难度系数】
0.7
要解决蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线问题，首先需要将圆柱侧面转化为平面图形，依据“两点之间线段最短”确定最短路径是两点的连线段。首先明确圆柱侧面沿AC剪开后得到长方形，长方形的宽等于圆柱的高AC，长等于圆柱底面周长；再确定B点在展开图的位置：由于AB是上底面直径，因此B点在展开图的上边上，距离A点的水平长度等于底面半周长，即长方形长的一半，并非长方形的右上角，最后结合选项判断符合该特征的线段即可。
【解析】
1. 圆柱侧面沿AC剪开后，展开为长方形：长方形的宽为圆柱的高AC，长等于圆柱的底面周长。
2. 根据“两点之间线段最短”，蚂蚁从C到B的最短爬行路线是展开图中C、B两点的连线段，因此首先排除为曲线的选项D。
3. 由于AB是圆柱上底面的直径，因此展开后B点位于长方形的上边，且距离A点的长度等于底面周长的一半，即长方形长的1/2处，不是长方形的右上角，因此排除线段连接到右上角的选项A，同时排除存在两条线段的选项C。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题考查立体图形中最短路径的求解，核心思路是将立体图形的侧面展开为平面图形，利用平面内线段最短的性质判断路径，解题的易错点是容易误将B点判断为展开图的右上角，需要结合直径对应的弧长准确确定点的位置。
【难度系数】
0.7
2. (2025·辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在边AD上,BE=BC,连接CE.若AB=3,AE=4,则CE的长为 （
A.1
B.5
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$
D
）A.1
B.5
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$
答案
D 解析:在矩形ABCD中,AB=3,AE=4,
∴∠A=∠D=90°,AD=BC,CD=AB=3,在Rt△ABE中,BE=√(AE²+AB²)=5,
∴BC=BE=5,
∴AD=5,
∴DE=AD−AE=1,在Rt△CDE中,CE=√(CD²+DE²)=√10.
∴∠A=∠D=90°,AD=BC,CD=AB=3,在Rt△ABE中,BE=√(AE²+AB²)=5,
∴BC=BE=5,
∴AD=5,
∴DE=AD−AE=1,在Rt△CDE中,CE=√(CD²+DE²)=√10.
解析
【分析】
本题是矩形背景下的线段长度求解问题，解题思路如下：第一步，利用矩形四个角为直角、对边相等的性质，得到Rt△ABE，已知两条直角边AB和AE的长度，可通过勾股定理求出斜边BE的长度；第二步，结合题目给出的BE=BC的条件，以及矩形对边AD=BC的性质，得到AD的长度，进而求出ED的长度；第三步，在Rt△CDE中，已知两条直角边CD和DE的长度，再次运用勾股定理即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
在Rt△ABE中，AB=3，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AE^2+AB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∵BE=BC，
∴BC=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=5-4=1，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查矩形性质与勾股定理的结合应用，解题的关键是通过BE=BC的等量关系求出DE的长度，整体逻辑清晰，计算量小，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题是矩形背景下的线段长度求解问题，解题思路如下：第一步，利用矩形四个角为直角、对边相等的性质，得到Rt△ABE，已知两条直角边AB和AE的长度，可通过勾股定理求出斜边BE的长度；第二步，结合题目给出的BE=BC的条件，以及矩形对边AD=BC的性质，得到AD的长度，进而求出ED的长度；第三步，在Rt△CDE中，已知两条直角边CD和DE的长度，再次运用勾股定理即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
在Rt△ABE中，AB=3，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AE^2+AB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∵BE=BC，
∴BC=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=5-4=1，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查矩形性质与勾股定理的结合应用，解题的关键是通过BE=BC的等量关系求出DE的长度，整体逻辑清晰，计算量小，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. (2025·连云港)如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为$\boldsymbol{\sqrt{3^2 - 1.8^2}}$ m.
答案
2.4
解析
【分析】
由题意可知墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面可构成直角三角形，其中梯子长度为斜边，已知斜边和一条直角边的长度，求另一条直角边（梯子顶端高度），可直接利用勾股定理列式，再计算二次根式即可得到结果。
【解析】
解：
∵墙面与地面垂直，
∴梯子、墙面、地面围成直角三角形，梯子为斜边，长度为3m，梯子底端到墙脚的距离为一条直角边，长度为1.8m。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$h^2 + 1.8^2 = 3^2$
∴$h=\sqrt{3^2 - 1.8^2}=\sqrt{9 - 3.24}=\sqrt{5.76}=2.4(\mathrm{m})$
【答案】
2.4
【知识点】
勾股定理；二次根式的计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，解题的关键是结合实际场景抽象出直角三角形，再利用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.9
由题意可知墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面可构成直角三角形，其中梯子长度为斜边，已知斜边和一条直角边的长度，求另一条直角边（梯子顶端高度），可直接利用勾股定理列式，再计算二次根式即可得到结果。
【解析】
解：
∵墙面与地面垂直，
∴梯子、墙面、地面围成直角三角形，梯子为斜边，长度为3m，梯子底端到墙脚的距离为一条直角边，长度为1.8m。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$h^2 + 1.8^2 = 3^2$
∴$h=\sqrt{3^2 - 1.8^2}=\sqrt{9 - 3.24}=\sqrt{5.76}=2.4(\mathrm{m})$
【答案】
2.4
【知识点】
勾股定理；二次根式的计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，解题的关键是结合实际场景抽象出直角三角形，再利用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.9
4. (2025·扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.该法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①$3,4,5$;②$5,12,13$;③$7,24,25$;④$9,40,41$;$···$.根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________.
答案
11,60,61 解析:通过观察可知,第①组勾股数分别为:2×1+1=3,2×1²+2×1=4,2×1²+2×1+1=5;第②组勾股数分别为:2×2+1=5,2×2²+2×2=12,2×2²+2×2+1=13;第③组勾股数分别为:2×3+1=7,2×3²+2×3=24,2×3²+2×3+1=25;第④组勾股数为:2×4+1=9,2×4²+2×4=40,2×4²+2×4+1=41;
∴第⑤组勾股数分别为:2×5+1=11,2×5²+2×5=60,2×5²+2×5+1=61.
∴第⑤组勾股数分别为:2×5+1=11,2×5²+2×5=60,2×5²+2×5+1=61.
解析
【分析】
要解决本题，首先观察给出的前4组勾股数，分别寻找每组三个数和组序号的对应规律：先看每组第一个数，3、5、7、9是连续奇数，可得第n组第一个数为2n+1；再观察后两个数，发现二者是相邻正整数，进一步推导可得出第n组第二个数为2n²+2n，第三个数为2n²+2n+1，最后将n=5代入规律表达式即可算出第⑤组勾股数。
【解析】
观察前4组勾股数，总结规律如下：
第①组（n=1）：第一个数=2×1+1=3，第二个数=2×1²+2×1=4，第三个数=2×1²+2×1+1=5；
第②组（n=2）：第一个数=2×2+1=5，第二个数=2×2²+2×2=12，第三个数=2×2²+2×2+1=13；
第③组（n=3）：第一个数=2×3+1=7，第二个数=2×3²+2×3=24，第三个数=2×3²+2×3+1=25；
第④组（n=4）：第一个数=2×4+1=9，第二个数=2×4²+2×4=40，第三个数=2×4²+2×4+1=41；
当为第⑤组时，n=5，代入规律计算：
第一个数：2×5+1=11，
第二个数：2×5²+2×5=60，
第三个数：60+1=61。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数，数字规律探究
【点评】
本题结合中国传统数学文化背景出题，考查学生对数字规律的观察、归纳和应用能力，只需梳理清楚每组勾股数与组序号的对应关系，代入计算即可得出结果，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先观察给出的前4组勾股数，分别寻找每组三个数和组序号的对应规律：先看每组第一个数，3、5、7、9是连续奇数，可得第n组第一个数为2n+1；再观察后两个数，发现二者是相邻正整数，进一步推导可得出第n组第二个数为2n²+2n，第三个数为2n²+2n+1，最后将n=5代入规律表达式即可算出第⑤组勾股数。
【解析】
观察前4组勾股数，总结规律如下：
第①组（n=1）：第一个数=2×1+1=3，第二个数=2×1²+2×1=4，第三个数=2×1²+2×1+1=5；
第②组（n=2）：第一个数=2×2+1=5，第二个数=2×2²+2×2=12，第三个数=2×2²+2×2+1=13；
第③组（n=3）：第一个数=2×3+1=7，第二个数=2×3²+2×3=24，第三个数=2×3²+2×3+1=25；
第④组（n=4）：第一个数=2×4+1=9，第二个数=2×4²+2×4=40，第三个数=2×4²+2×4+1=41；
当为第⑤组时，n=5，代入规律计算：
第一个数：2×5+1=11，
第二个数：2×5²+2×5=60，
第三个数：60+1=61。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数，数字规律探究
【点评】
本题结合中国传统数学文化背景出题，考查学生对数字规律的观察、归纳和应用能力，只需梳理清楚每组勾股数与组序号的对应关系，代入计算即可得出结果，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
5. (2025·广西)如图,点 A、D 在 BC 同侧,$AB=BC=CA=2,BD=CD=\sqrt{2}$,则 AD 的长为
$\sqrt{3}-1$
.答案
$\sqrt{3}-1$ 解析:如图
,延长AD交BC于点E.∵AB=CA,BD=CD,
∴AE⊥BC,BE=CE.
∵AB=BC=CA=2,
∴BE=CE=1,
∴AE=√(AB²−BE²)=√3,DE=√(BD²−BE²)=1,
∴AD=AE−DE=√3−1.
解析
【分析】
首先观察已知条件：AB=AC，BD=CD，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、点D都在BC的垂直平分线上，因此直线AD就是BC的垂直平分线。延长AD交BC于E后，可得AE⊥BC且E是BC中点。接下来△ABC是等边三角形，可通过勾股定理算出它的高AE的长度；再在Rt△BDE中用勾股定理算出DE的长度，最后AD的长度就是AE与DE的差。
【解析】
解：延长AD交BC于点E，
∵AB=AC，BD=CD，
∴直线AD是BC的垂直平分线，即AE⊥BC，$BE=CE=\frac{1}{2}BC$，
∵AB=BC=CA=2，
∴BE=CE=1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
在Rt△BDE中，$BD=\sqrt{2}$，BE=1，由勾股定理得：$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$，
∵点D在AE上，
∴$AD=AE-DE=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是利用等线段判断出AD所在直线是BC的垂直平分线，将所求线段转化为两条高线的差，再结合勾股定理计算即可，解题时要注意线段的位置关系，避免加减计算出错。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件：AB=AC，BD=CD，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、点D都在BC的垂直平分线上，因此直线AD就是BC的垂直平分线。延长AD交BC于E后，可得AE⊥BC且E是BC中点。接下来△ABC是等边三角形，可通过勾股定理算出它的高AE的长度；再在Rt△BDE中用勾股定理算出DE的长度，最后AD的长度就是AE与DE的差。
【解析】
解：延长AD交BC于点E，
∵AB=AC，BD=CD，
∴直线AD是BC的垂直平分线，即AE⊥BC，$BE=CE=\frac{1}{2}BC$，
∵AB=BC=CA=2，
∴BE=CE=1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
在Rt△BDE中，$BD=\sqrt{2}$，BE=1，由勾股定理得：$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$，
∵点D在AE上，
∴$AD=AE-DE=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是利用等线段判断出AD所在直线是BC的垂直平分线，将所求线段转化为两条高线的差，再结合勾股定理计算即可，解题时要注意线段的位置关系，避免加减计算出错。
【难度系数】
0.7
6. (2025·广安)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D是边BC上的一个动点,连接AD,则AD的最小值为________.
答案
$2\sqrt{2}$ 解析:如图
,过点A作AH⊥BC于点H,则∠AHB=90°.∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
∴△ABH是等腰直角三角形,
∴AH=BH,AB²=AH²+BH²=16,
∴AH=BH=2√2,
∵AD≥AH,
∴AD的最小值为2√2.
解析
【分析】
要解决动点D在BC上运动时AD的最小值问题，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当AD垂直于BC时，AD的长度最小，即AD的最小值等于点A到BC的垂线段AH的长度；接下来结合等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算出AH的长度即可得到答案。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，此时∠AHB=90°。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴∠B=45°，则△ABH为等腰直角三角形，即AH=BH。
在Rt△ABH中，由勾股定理得：$AH^2 + BH^2 = AB^2$，
代入AH=BH、AB=4，可得$2AH^2 = 16$，
解得$AH=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负解）。
根据垂线段最短可知$AD≥ AH$，因此AD的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
垂线段最短；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查几何动点最值的计算，解题的关键是利用垂线段最短确定AD取最小值的位置，再结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解，是几何最值类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
要解决动点D在BC上运动时AD的最小值问题，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当AD垂直于BC时，AD的长度最小，即AD的最小值等于点A到BC的垂线段AH的长度；接下来结合等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算出AH的长度即可得到答案。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，此时∠AHB=90°。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴∠B=45°，则△ABH为等腰直角三角形，即AH=BH。
在Rt△ABH中，由勾股定理得：$AH^2 + BH^2 = AB^2$，
代入AH=BH、AB=4，可得$2AH^2 = 16$，
解得$AH=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负解）。
根据垂线段最短可知$AD≥ AH$，因此AD的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
垂线段最短；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查几何动点最值的计算，解题的关键是利用垂线段最短确定AD取最小值的位置，再结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解，是几何最值类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
7. (2025·广安)如图,在$△ ABC$中,按以下步骤作图:①以点 A 为圆心、AC 的长为半径画弧,交 BC 于点 D;②分别以点 C 和点 D 为圆心、大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧,两弧相交于点 F;③画射线 AF 交 BC 于点 E.若$∠ C=2∠ B,BC=23,BD=13$,则 AE 的长为
12
.答案
12 解析:如图
,连接AD,由作图可知,AD=AC,AE⊥BC,∴∠ADC=∠C=2∠B,∠AED=90°,DE=CE.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠B,
∴AD=BD=13.
∵BC=23,BD=13,
∴CD=BC−BD=10,
∴DE=1/2 CD=5,
∴AE=√(AD²−DE²)=√(13²−5²)=12.
解析
【分析】
解题时首先分析作图步骤的几何意义：步骤①可得AD=AC，步骤②③可得AF是线段CD的垂直平分线，因此AE⊥BC且DE=CE。接下来结合角的条件∠C=2∠B推导边的关系：由AD=AC得∠ADC=∠C，再利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于∠B+∠BAD，代入∠ADC=2∠B可推出∠BAD=∠B，即AD=BD，得到AD的长度后，先计算CD的长，进而得到DE的长，最后在Rt△ADE中用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
如图，连接AD，由作图可知：AD=AC，AF是线段CD的垂直平分线，
∴ AE⊥BC，∠AED=90°，DE=CE，∠ADC=∠C=2∠B。
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD，
代入∠ADC=2∠B，可得2∠B=∠B+∠BAD，
∴ ∠BAD=∠B，
∴ AD=BD=13。
已知BC=23，BD=13，
∴ CD=BC - BD=23 - 13=10，
∴ DE=½CD=½×10=5。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE=√(AD² - DE²)=√(13² - 5²)=√(169 - 25)=√144=12。
【答案】
12
【知识点】
尺规作图的应用，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图、几何推理与计算结合考查，解题的核心是先准确识别作图得到的垂直平分线、等腰三角形等结论，再结合角的数量关系推导边的等量关系，最后用勾股定理完成计算，能有效考查学生的识图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先分析作图步骤的几何意义：步骤①可得AD=AC，步骤②③可得AF是线段CD的垂直平分线，因此AE⊥BC且DE=CE。接下来结合角的条件∠C=2∠B推导边的关系：由AD=AC得∠ADC=∠C，再利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于∠B+∠BAD，代入∠ADC=2∠B可推出∠BAD=∠B，即AD=BD，得到AD的长度后，先计算CD的长，进而得到DE的长，最后在Rt△ADE中用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
如图
，连接AD，由作图可知：AD=AC，AF是线段CD的垂直平分线，∴ AE⊥BC，∠AED=90°，DE=CE，∠ADC=∠C=2∠B。
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD，
代入∠ADC=2∠B，可得2∠B=∠B+∠BAD，
∴ ∠BAD=∠B，
∴ AD=BD=13。
已知BC=23，BD=13，
∴ CD=BC - BD=23 - 13=10，
∴ DE=½CD=½×10=5。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE=√(AD² - DE²)=√(13² - 5²)=√(169 - 25)=√144=12。
【答案】
12
【知识点】
尺规作图的应用，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图、几何推理与计算结合考查，解题的核心是先准确识别作图得到的垂直平分线、等腰三角形等结论，再结合角的数量关系推导边的等量关系，最后用勾股定理完成计算，能有效考查学生的识图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
