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8. (2025·甘肃)勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第5个图形中共有
31
个正方形.答案
31 解析:由图可知,第1个图形有1个正方形,第2个图形有1+2=3(个)正方形,第3个图形有1+2+2²=7(个)正方形,…,
∴第5个图形中共有1+2+2²+2³+2⁴=31(个)正方形.
∴第5个图形中共有1+2+2²+2³+2⁴=31(个)正方形.
解析
【分析】
我们可以先从序号较小的图形入手，数出每个图形中正方形的个数，再寻找数量变化的规律：首先数得第1个图形只有1个正方形；第2个图形在第1个的基础上新增了2个正方形，总数为3；第3个图形在第2个的基础上新增了4个（也就是$2^2$个）正方形，总数为7。可以发现，每一个图形比前一个图形新增的正方形个数是2的幂次，第$n$个图形的正方形总数就是从$2^0$到$2^{n-1}$的和，按照这个规律就能算出第5个图形的正方形总数。
【解析】
解：由题意可知：
第1个图形中正方形的个数：$1=2^1-1$；
第2个图形中正方形的个数：$1+2=3=2^2-1$；
第3个图形中正方形的个数：$1+2+2^2=7=2^3-1$；
……
由此可得规律：第$n$个图形中正方形的个数为$2^n-1$。
当$n=5$时，正方形的总个数为$2^5-1=32-1=31$，也可直接累加计算：$1+2+2^2+2^3+2^4=1+2+4+8+16=31$。
【答案】
31
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 乘方的应用
【点评】
本题以趣味几何图形“勾股树”为背景，考查归纳推理的能力，解题的关键是从简单图形出发，总结出正方形个数随图形序号变化的规律，掌握规律探究的基本方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
我们可以先从序号较小的图形入手，数出每个图形中正方形的个数，再寻找数量变化的规律：首先数得第1个图形只有1个正方形；第2个图形在第1个的基础上新增了2个正方形，总数为3；第3个图形在第2个的基础上新增了4个（也就是$2^2$个）正方形，总数为7。可以发现，每一个图形比前一个图形新增的正方形个数是2的幂次，第$n$个图形的正方形总数就是从$2^0$到$2^{n-1}$的和，按照这个规律就能算出第5个图形的正方形总数。
【解析】
解：由题意可知：
第1个图形中正方形的个数：$1=2^1-1$；
第2个图形中正方形的个数：$1+2=3=2^2-1$；
第3个图形中正方形的个数：$1+2+2^2=7=2^3-1$；
……
由此可得规律：第$n$个图形中正方形的个数为$2^n-1$。
当$n=5$时，正方形的总个数为$2^5-1=32-1=31$，也可直接累加计算：$1+2+2^2+2^3+2^4=1+2+4+8+16=31$。
【答案】
31
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 乘方的应用
【点评】
本题以趣味几何图形“勾股树”为背景，考查归纳推理的能力，解题的关键是从简单图形出发，总结出正方形个数随图形序号变化的规律，掌握规律探究的基本方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. (2025·湖南)已知$a、b、c$是$△ ABC$的三条边长，记$t=(\dfrac{a}{c})^k+(\dfrac{b}{c})^k$，其中$k$为整数.
(1)若三角形为等边三角形，则$t=\_\_\_\_\_\_$.
(2)下列结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
①若$k=2,t=1$，则$△ ABC$为直角三角形；
②若$k=1,a=\dfrac{1}{2}b+2,c=1$，则$5＜t＜11$；
③若$k=1,t≤\dfrac{5}{3},a、b、c$为三个连续整数，且$a＜b＜c$，则满足条件的$△ ABC$的个数为$7$.
(1)若三角形为等边三角形，则$t=\_\_\_\_\_\_$.
(2)下列结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
①若$k=2,t=1$，则$△ ABC$为直角三角形；
②若$k=1,a=\dfrac{1}{2}b+2,c=1$，则$5＜t＜11$；
③若$k=1,t≤\dfrac{5}{3},a、b、c$为三个连续整数，且$a＜b＜c$，则满足条件的$△ ABC$的个数为$7$.
答案
(1)2 解析:由题意可知,t=1ᵏ+1ᵏ=1+1=2.
(2)①② 解析:当k=2,t=1时,则1=(a/c)²+(b/c)²=(a²+b²)/c²,即a²+b²=c²,
∴△ABC为直角三角形,故①符合题意;当k=1,a=1/2 b+2,c=1时,t=a/c + b/c =a+b=1/2 b+2 +b=3/2 b+2,(i)当a＞b时,a−b＜c,即1/2 b+2−b＜1,解得b＞2,(ii)当a＜b时,b−a＜c,即b−1/2 b−2＜1,解得b＜6,综上所述,2＜b＜6,当b=2时,t=3/2×2+2=5,当b=6时,t=3/2×6+2=11,
∴5＜t＜11,故②符合题意;当k=1时,t=a/c + b/c=(a+b)/c ≤5/3,
∴a+b ≤5/3 c,又
∵a+b＞c,
∴c＜a+b ≤5/3 c,不妨设a=n,则b=n+1,c=n+2,
∴n+2＜2n+1 ≤5/3 (n+2),解得1＜n≤7,
∴n可取2、3、4、5、6、7,对应的t值分别为5/4、7/5、3/2、11/7、13/8、5/3,共6个,故③不符合题意.
(2)①② 解析:当k=2,t=1时,则1=(a/c)²+(b/c)²=(a²+b²)/c²,即a²+b²=c²,
∴△ABC为直角三角形,故①符合题意;当k=1,a=1/2 b+2,c=1时,t=a/c + b/c =a+b=1/2 b+2 +b=3/2 b+2,(i)当a＞b时,a−b＜c,即1/2 b+2−b＜1,解得b＞2,(ii)当a＜b时,b−a＜c,即b−1/2 b−2＜1,解得b＜6,综上所述,2＜b＜6,当b=2时,t=3/2×2+2=5,当b=6时,t=3/2×6+2=11,
∴5＜t＜11,故②符合题意;当k=1时,t=a/c + b/c=(a+b)/c ≤5/3,
∴a+b ≤5/3 c,又
∵a+b＞c,
∴c＜a+b ≤5/3 c,不妨设a=n,则b=n+1,c=n+2,
∴n+2＜2n+1 ≤5/3 (n+2),解得1＜n≤7,
∴n可取2、3、4、5、6、7,对应的t值分别为5/4、7/5、3/2、11/7、13/8、5/3,共6个,故③不符合题意.
解析
【分析】
(1) 等边三角形三边长度相等，因此$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{c}$的值都为1，代入$t$的表达式直接计算即可得到结果。
(2) 对三个结论逐一分析：
① 当$k=2、t=1$时，对$t$的表达式通分变形，结合勾股定理逆定理即可判断三角形的形状；
② 当$k=1、c=1$时，$t$可化简为$a+b$，代入$a$关于$b$的表达式得到$t$和$b$的关系，再根据三角形“两边之差小于第三边”的性质求出$b$的取值范围，进而推导$t$的范围；
③ 当$k=1$时，$t=\frac{a+b}{c}$，结合$a、b、c$是连续整数的条件设参数，再结合$t≤\frac{5}{3}$和三角形“两边之和大于第三边”的性质列不等式，求解参数的整数解个数即可判断结论是否正确。
【解析】
(1)
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$a=b=c$，则$\frac{a}{c}=1$，$\frac{b}{c}=1$，因此$t=1^k+1^k=1+1=2$。
(2) 逐个判断结论：
① 当$k=2$，$t=1$时，$(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1$，通分可得$\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$，即$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$为直角三角形，故①正确；
② 当$k=1$，$c=1$时，$t=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=a+b$，代入$a=\frac{1}{2}b+2$得$t=\frac{3}{2}b+2$。根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，即$|a-b|＜1$：
若$a＞b$，则$\frac{1}{2}b+2-b＜1$，解得$b＞2$；
若$a＜b$，则$b-(\frac{1}{2}b+2)＜1$，解得$b＜6$。
综上可得$2＜b＜6$，代入$t$的表达式：当$b=2$时，$t=5$；当$b=6$时，$t=11$，因此$5＜t＜11$，故②正确；
③ 当$k=1$时，$t=\frac{a+b}{c}≤\frac{5}{3}$，即$a+b≤\frac{5}{3}c$，又由三角形三边关系得$a+b＞c$，因此$c＜a+b≤\frac{5}{3}c$。设$a=n$，$b=n+1$，$c=n+2$（$n$为正整数），代入不等式得：
$n+2 ＜ 2n+1 ≤ \frac{5}{3}(n+2)$，
解左边不等式得$n＞1$，解右边不等式得$n≤7$，因此$n$可取2、3、4、5、6、7，共6个值，即满足条件的$△ ABC$有6个，故③错误。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{①②}$
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理逆定理、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查三角形的基础性质，结合代数式化简、不等式求解考查学生的逻辑推理能力，需要熟练掌握特殊三角形的判定和三角形三边关系的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 等边三角形三边长度相等，因此$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{c}$的值都为1，代入$t$的表达式直接计算即可得到结果。
(2) 对三个结论逐一分析：
① 当$k=2、t=1$时，对$t$的表达式通分变形，结合勾股定理逆定理即可判断三角形的形状；
② 当$k=1、c=1$时，$t$可化简为$a+b$，代入$a$关于$b$的表达式得到$t$和$b$的关系，再根据三角形“两边之差小于第三边”的性质求出$b$的取值范围，进而推导$t$的范围；
③ 当$k=1$时，$t=\frac{a+b}{c}$，结合$a、b、c$是连续整数的条件设参数，再结合$t≤\frac{5}{3}$和三角形“两边之和大于第三边”的性质列不等式，求解参数的整数解个数即可判断结论是否正确。
【解析】
(1)
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$a=b=c$，则$\frac{a}{c}=1$，$\frac{b}{c}=1$，因此$t=1^k+1^k=1+1=2$。
(2) 逐个判断结论：
① 当$k=2$，$t=1$时，$(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1$，通分可得$\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$，即$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$为直角三角形，故①正确；
② 当$k=1$，$c=1$时，$t=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=a+b$，代入$a=\frac{1}{2}b+2$得$t=\frac{3}{2}b+2$。根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，即$|a-b|＜1$：
若$a＞b$，则$\frac{1}{2}b+2-b＜1$，解得$b＞2$；
若$a＜b$，则$b-(\frac{1}{2}b+2)＜1$，解得$b＜6$。
综上可得$2＜b＜6$，代入$t$的表达式：当$b=2$时，$t=5$；当$b=6$时，$t=11$，因此$5＜t＜11$，故②正确；
③ 当$k=1$时，$t=\frac{a+b}{c}≤\frac{5}{3}$，即$a+b≤\frac{5}{3}c$，又由三角形三边关系得$a+b＞c$，因此$c＜a+b≤\frac{5}{3}c$。设$a=n$，$b=n+1$，$c=n+2$（$n$为正整数），代入不等式得：
$n+2 ＜ 2n+1 ≤ \frac{5}{3}(n+2)$，
解左边不等式得$n＞1$，解右边不等式得$n≤7$，因此$n$可取2、3、4、5、6、7，共6个值，即满足条件的$△ ABC$有6个，故③错误。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{①②}$
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理逆定理、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查三角形的基础性质，结合代数式化简、不等式求解考查学生的逻辑推理能力，需要熟练掌握特殊三角形的判定和三角形三边关系的应用。
【难度系数】
0.6
10. (2025·烟台)如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题.
(1)利用尺规作$△ BED$，使$△ BED$与$△ BCD$关于直线BD成轴对称.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，$AB=1$，$BC=2$，求AF的长.
(1)利用尺规作$△ BED$，使$△ BED$与$△ BCD$关于直线BD成轴对称.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，$AB=1$，$BC=2$，求AF的长.
答案
(1)如图
,△BED即为所求作的三角形.(2)
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2,AB=CD=1,AD//BC,∠A=90°,
∴∠ADB=∠CBD.
∵∠EBD=∠CBD,
∴∠FBD=∠FDB,
∴FB=FD. 设AF=x,则BF=DF=2−x. 在Rt△ABF中,AB²+AF²=BF²,即1²+x²=(2−x)²,解得x=3/4,
∴AF=3/4.
解析
【分析】
(1) 要作与△BCD关于BD对称的△BED，根据轴对称的性质，对应边长度相等，只需分别以B、D为圆心，BC、CD的长度为半径作弧，两弧交点即为点C的对称点E，连接BE、DE即可得到所求三角形。
(2) 求AF的长时，先利用矩形的性质得到AD的长度与AD、BC的平行关系，结合轴对称的性质推出∠FBD=∠FDB，得到FB=FD，将AF设为未知数，用含未知数的式子表示BF，再在Rt△ABF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 分别以点B、D为圆心，BC、CD的长为半径画弧，两弧交于BD上方的点E，连接BE、DE，△BED即为所求。
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，AB=CD=1，AD//BC，∠A=90°，
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
由轴对称的性质可得∠EBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴FB=FD（等角对等边）。
设AF=x，则FD=AD-AF=2-x，即BF=2-x。
在Rt△ABF中，根据勾股定理有$AB^2+AF^2=BF^2$，
代入数值可得$1^2+x^2=(2-x)^2$，
展开得$1+x^2=4-4x+x^2$，
化简解得$x=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 如图,△BED即为所求作的三角形.
(2) $\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 作轴对称图形
2. 矩形的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题结合尺规作图与几何计算，既考查了动手操作能力，也考查了对矩形性质、等腰三角形判定、勾股定理的掌握，同时渗透了方程思想在几何计算中的应用，属于基础类几何综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 要作与△BCD关于BD对称的△BED，根据轴对称的性质，对应边长度相等，只需分别以B、D为圆心，BC、CD的长度为半径作弧，两弧交点即为点C的对称点E，连接BE、DE即可得到所求三角形。
(2) 求AF的长时，先利用矩形的性质得到AD的长度与AD、BC的平行关系，结合轴对称的性质推出∠FBD=∠FDB，得到FB=FD，将AF设为未知数，用含未知数的式子表示BF，再在Rt△ABF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 分别以点B、D为圆心，BC、CD的长为半径画弧，两弧交于BD上方的点E，连接BE、DE，△BED即为所求。
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，AB=CD=1，AD//BC，∠A=90°，
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
由轴对称的性质可得∠EBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴FB=FD（等角对等边）。
设AF=x，则FD=AD-AF=2-x，即BF=2-x。
在Rt△ABF中，根据勾股定理有$AB^2+AF^2=BF^2$，
代入数值可得$1^2+x^2=(2-x)^2$，
展开得$1+x^2=4-4x+x^2$，
化简解得$x=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 如图
,△BED即为所求作的三角形.(2) $\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 作轴对称图形
2. 矩形的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题结合尺规作图与几何计算，既考查了动手操作能力，也考查了对矩形性质、等腰三角形判定、勾股定理的掌握，同时渗透了方程思想在几何计算中的应用，属于基础类几何综合题。
【难度系数】
0.7
