11. 因式分解：
(1)$x^4 - 1$；
(2)$-a + 2a^2 - a^3$.

11.解:(1)$x^4 - 1=(x^2 - 1)(x^2 + 1)=(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$；
(2)$-a + 2a^2 - a^3=-a(1 - 2a + a^2)=-a(a - 1)^2$.

【分析】
(1) 因式分解$x^4-1$时，首先识别出它是平方差的形式，先将$x^4$转化为$(x^2)^2$，套用平方差公式进行第一次分解；得到的因式$x^2-1$仍满足平方差公式的结构，需要继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
(2) 因式分解$-a + 2a^2 - a^3$时，先观察各项的公因式，三项都含有公因式$-a$，先提取公因式（注意提取负号后括号内各项要变号），提取后得到的多项式$1-2a+a^2$符合完全平方公式的结构，再套用完全平方公式完成分解即可。
【解析】
(1) $x^4 - 1$
$=(x^2 + 1)(x^2 - 1)$
$=(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$
(2) $-a + 2a^2 - a^3$
$=-a(1 - 2a + a^2)$
$=-a(a - 1)^2$
【答案】
(1) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$
(2) $-a(a - 1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本应用，解题需遵循“一提二套三查”的原则：先提取公因式，再根据多项式的特征套用对应的乘法公式，最后检查因式是否分解彻底、符号运算是否正确，避免出现分解不彻底或符号错误的问题。
【难度系数】
0.7

12. [新定义]现用“☆”定义新运算：$x☆y=x^3-xy.$
(1)计算$x☆(x^2-1)$；
(2)将$x☆16$的结果因式分解.

12.解:(1)根据题中的新定义,得
$x☆(x^2-1)=x^3 - x(x^2 - 1)=x^3 - x^3 + x=x$.
(2)根据题中的新定义,得
$x☆16=x^3 - 16x=x(x^2 - 16)=x(x + 4)(x - 4)$.

【分析】
这是新定义运算类题型，解题核心是准确把握新运算“☆”的规则：运算符左侧的量对应规则里的x，右侧的量对应规则里的y，直接代入公式计算即可。
第(1)问：先将对应量代入新运算公式，得到整式运算式子，再按先去括号、再合并同类项的整式运算顺序计算即可得到结果。
第(2)问：先代入新运算得到多项式，因式分解时先提取公因式，再观察剩余部分符合平方差公式特征，继续用平方差公式分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 根据新运算定义$x☆y=x^3-xy$，将$y$替换为$x^2-1$代入得：
$\begin{aligned}x☆(x^2-1)&=x^3 - x(x^2 - 1)\\&=x^3 - x^3 + x\\&=x\end{aligned}$
(2) 根据新运算定义，将$y$替换为16代入得：
$\begin{aligned}x☆16&=x^3 - 16x\\&=x(x^2 - 16)\\&=x(x + 4)(x - 4)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x}$；(2) $\boldsymbol{x(x+4)(x-4)}$
【知识点】
新定义运算，整式化简，因式分解
【点评】
本题主要考查对新规则的理解应用能力，同时结合了整式混合运算、因式分解的基础考点，解题时只要严格按照新定义代入运算，注意因式分解要彻底即可。
【难度系数】
0.85

13. 先因式分解，再求值：
(1) $(\dfrac{a+b}{2})^2 - (\dfrac{a-b}{2})^2$，其中 $a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}$；
(2) $(x-2)^2 - x + 2$，其中 $x=4$。

13.解:(1)$(\dfrac{a+b}{2})^2 - (\dfrac{a-b}{2})^2=(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2})(\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2})=ab$,
当$a=\sqrt{2},b=\sqrt{6}$时,原式$=\sqrt{2}×\sqrt{6}=2\sqrt{3}$.
(2)$(x-2)^2 - x + 2=(x-2)^2 - (x-2)=(x-2)(x-2-1)=(x-2)(x-3)$,
当$x=4$时,原式$=(4-2)×(4-3)=2$.

【分析】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题思路如下：
(1) 观察式子结构，是两个平方项作差，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的特征，因此优先用平方差公式因式分解，将式子化简后再代入数值计算，可简化运算步骤；
(2) 先将式子后两项变形为$-(x-2)$，此时式子两项含有公因式$(x-2)$，用提公因式法分解因式，化简后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式因式分解：
$(\dfrac{a+b}{2})^2 - (\dfrac{a-b}{2})^2=(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2})(\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2})$
计算括号内的式子：
$\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2}=\dfrac{2a}{2}=a$，$\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2}=\dfrac{2b}{2}=b$
因此分解结果为$ab$。
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}$代入得：原式$=\sqrt{2}×\sqrt{6}=2\sqrt{3}$。
(2) 先变形构造公因式：
$(x-2)^2 - x + 2=(x-2)^2 - (x-2)$
提取公因式$(x-2)$得：
$(x-2)(x-2-1)=(x-2)(x-3)$
将$x=4$代入得：原式$=(4-2)×(4-3)=2×1=2$。
【答案】
(1) $2\sqrt{3}$；(2) $2$
【知识点】
平方差公式，提公因式法，代数式求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，解题的关键是观察代数式的结构特征，选择合适的因式分解方法对式子化简，再代入数值计算，相比直接展开代入运算更简便，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.85

14. 为治理污水，甲、乙两区需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份各铺了 $ x \, \mathrm{m} $，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为 $ a $，乙区平均每月减少率为 $ a $.
（1）十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母 $ a $，$ x $ 的代数式表示）
（2）如果 $ x = 300 $，且 $ a = 5\% $，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？

14.解:(1)由题意,得十月份甲区铺设了 $ x(1+a)^2 \, \mathrm{m} $ 的排污管,乙区铺设了 $ x(1-a)^2 \, \mathrm{m} $ 的排污管.
(2)$x(1+a)^2 - x(1-a)^2=x(1+a+1-a)(1+a-1+a)=4ax$,
当$x=300,a=5\%$时,原式$=4×5\%×300=60$,
∴十月份甲区比乙区多铺 60 m 排污管.

【分析】
（1）解决第一问首先要明确增长率、降低率的计算逻辑：已知基期的量为x，若每月增长率为a，则n个月后的量为$x(1+a)^n$；若每月降低率为a，则n个月后的量为$x(1-a)^n$。本题中从八月到十月间隔2个月，直接代入公式即可分别求出甲、乙两区十月的工作量。
（2）第二问求甲区比乙区多铺的长度，只需用甲区十月的工作量减去乙区十月的工作量，先利用平方差公式对式子化简，再代入x和a的数值计算，能简化运算步骤，减少计算错误。
【解析】
解：（1）由题意可知，八月份甲、乙两区的铺设长度均为$x \, \mathrm{m}$，从八月到十月共经过2个月：
甲区工作量平均每月增长率为a，因此十月份甲区铺设长度为$x(1+a)^2 \, \mathrm{m}$；
乙区工作量平均每月减少率为a，因此十月份乙区铺设长度为$x(1-a)^2 \, \mathrm{m}$。
（2）十月份甲区比乙区多铺的长度为：
$x(1+a)^2 - x(1-a)^2$
利用平方差公式因式分解得：
$\begin{aligned}&=x[(1+a)+(1-a)][(1+a)-(1-a)]\\&=x × 2 × 2a\\&=4ax\end{aligned}$
将$x=300$，$a=5\%$代入上式得：
原式$=4 × 5\% × 300 = 60$（$\mathrm{m}$）
【答案】
（1）十月份甲区铺设了$x(1+a)^2$米排污管，乙区铺设了$x(1-a)^2$米排污管；
（2）十月份甲区比乙区多铺60米排污管。
【知识点】
增长率/降低率计算，平方差公式应用，代数式求值
【点评】
本题结合实际污水处理场景考察代数基础知识，核心是掌握增长率和降低率的通用计算公式，同时在计算差值时优先使用因式分解化简式子，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

15.对于整式$A=x-1,B=x^{2}-x$，有下列结论：
结论一：$A· x=B$；
结论二：$A,B$的公因式为$x$。
下列判断正确的是 （）

A.结论一正确，结论二不正确
B.结论一不正确，结论二正确
C.结论一、结论二都正确
D.结论一、结论二都不正确

15.A

【分析】
解题时需分别判断两个结论的正误：①判断结论一是否正确，只需根据整式乘法法则计算A·x的结果，再与B对比即可；②判断结论二是否正确，需先将A、B分别因式分解，再找出两个整式公共的因式（即公因式），和“x”对比即可得出结论二的正误，最终结合两个结论的判断结果选出正确选项。
【解析】
先验证结论一：
已知$A=x-1$，计算$A·x$得：
$A·x=(x-1)x=x·x - 1·x=x^2 -x$
又因为$B=x^2 -x$，所以$A·x=B$，结论一正确。
再验证结论二：
先对A、B因式分解：
$A=x-1$，已是最简因式形式；
$B=x^2 -x=x(x-1)$。
两个整式的公因式是二者都含有的公共因式，因此A、B的公因式为$x-1$，不是$x$，结论二错误。
综上，结论一正确，结论二不正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式运算；因式分解；公因式的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考察整式运算和公因式的判定，解题关键是明确公因式是多个整式共同含有的因式，避免遗漏公共的多项式因式。
【难度系数】
0.8