16.若$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，则$a^2-(b-c)^2$的结果 （）

A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定

16.A

【分析】
解题时先观察代数式的结构，发现它符合平方差公式的特征，因此第一步先用平方差公式对代数式因式分解，转化为两个整式乘积的形式；再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，分别判断两个因式的正负性，最后根据乘法的符号法则就能确定代数式的结果符号。
【解析】
首先利用平方差公式因式分解：
$a^2-(b-c)^2=[a+(b-c)][a-(b-c)]=(a+b-c)(a+c-b)$
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a+b＞c$，因此$a+b-c＞0$；
$a+c＞b$，因此$a+c-b＞0$。
两个正数的乘积为正数，所以$(a+b-c)(a+c-b)＞0$，即$a^2-(b-c)^2＞0$。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题核心是先通过因式分解变形原式，再利用三角形三边关系判断各因式的符号，进而得到原式的正负性，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7

17.[新定义]定义:任意两个数$a,b$,按规则$c=a+b-ab$扩充得到数$c$,称所得的数$c$为“鸿蒙数”.若$a=2,b=x^2-2x+2,c$为由$a,b$扩充得到的“鸿蒙数”,则$b,c$的大小关系为.

17.$b≥ c$

【分析】
本题属于新定义题型，解题思路分为两步：第一步先准确理解“鸿蒙数”的运算规则，将已知的a、b代入规则求出c的代数式；第二步比较b和c的大小，采用常用的作差法，将两个代数式作差后，通过配方变形，利用完全平方的非负性判断差的符号，即可得出两者的大小关系。
【解析】
根据“鸿蒙数”的定义$c=a+b-ab$，将$a=2$，$b=x^2-2x+2$代入得：
$\begin{aligned}c&=2+(x^2-2x+2)-2×(x^2-2x+2)\\&=2+x^2-2x+2-2x^2+4x-4\\&=-x^2+2x\end{aligned}$
用作差法比较b和c的大小：
$\begin{aligned}b-c&=(x^2-2x+2)-(-x^2+2x)\\&=x^2-2x+2+x^2-2x\\&=2x^2-4x+2\\&=2(x^2-2x+1)\\&=2(x-1)^2\end{aligned}$
∵ 平方数具有非负性，即$(x-1)^2≥0$，
∴ $2(x-1)^2≥0$，即$b-c≥0$，
∴ $b≥ c$。
【答案】
$b≥ c$
【知识点】
新定义运算，作差法比较大小，完全平方的非负性
【点评】
本题以新定义为背景，考查代数运算与变形能力，解题关键是正确把新运算转化为常规代数运算，熟练掌握作差法比较大小和配方变形的方法，是代数基础应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7

18.人类使用密码的历史悠久.利用因式分解可以生成密码:先将确定的多项式分解因式,再对因式赋值生成正整数或0的因式码,将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如:多项式$x^2y-4y$,将其分解因式为$y(x+2)(x-2)$.若取$x=15,y=12$,则有$y=12,x+2=17,x-2=13$,其中12,17,13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然,也可以取另外一些适当的数字,得出新的密码.已知多项式$16p^4-q^4$,当取$p=10,q=5$时,用上述方法生成的密码是________.

18.1525425

【分析】
要生成指定密码，第一步需要先对多项式$16p^4 - q^4$进行彻底的因式分解，该多项式符合平方差公式的形式，可连续两次使用平方差公式分解到不能再分解为止；第二步将$p=10、q=5$代入每个因式，计算得到对应的因式码；最后把所有因式码按从小到大的顺序排列，拼接起来就是所求密码。
【解析】
1. 对多项式因式分解：
$16p^4 - q^4$
$=(4p^2)^2 - (q^2)^2$
$=(4p^2 + q^2)(4p^2 - q^2)$（第一次使用平方差公式）
$=(4p^2 + q^2)(2p + q)(2p - q)$（对$4p^2 - q^2$再次使用平方差公式，分解彻底）
2. 代入$p=10、q=5$计算每个因式的值：
$2p - q = 2×10 - 5 = 15$
$2p + q = 2×10 + 5 = 25$
$4p^2 + q^2 = 4×10^2 + 5^2 = 400 + 25 = 425$
3. 排序拼接：将因式码15、25、425按从小到大排列，拼接得到1525425。
【答案】
1525425
【知识点】
因式分解；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题结合生成密码的新情境考查因式分解的应用，解题核心是熟练掌握平方差公式的分解规则，按要求计算、排序即可，解题时注意因式要分解彻底，避免漏算因式。
【难度系数】
0.7

19.(1)[知识再现]在研究平方差公式时,我们从边长为$a$的正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$,如图1,把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形,如图2,根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于$a,b$的等式为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$。
(2)[知识迁移]从棱长为$a$的正方体中挖去一个棱长为$b(a＞b)$的小正方体后,余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4).
图3中的几何体的体积为$\underline{\qquad\qquad\qquad}$;
图4中的几何体的体积为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$;
根据它们的体积关系得到关于$a,b$的等式为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$(结果写成整式的积的形式).
(3)[知识运用]因式分解:$8x^3 - 1$.

19.解:(1)根据题图1、题图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于$a,b$的等式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
(2)题图3中的几何体的体积为$a^3-b^3$；
题图4中的几何体的体积为$a^2(a-b)+ab(a-b)+b^2(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$；
根据它们的体积关系得到关于$a,b$的等式为$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
(3)根据(2)中结论可得$8x^3-1=(2x)^3-1^3=(2x-1)(4x^2+2x+1)$.

【分析】
(1) 解题思路：先分别计算两个图形阴影部分的面积，图1阴影面积为边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形的面积；图2拼得的长方形长为$(a+b)$、宽为$(a-b)$，按长方形面积公式计算面积，由于阴影部分总面积不变，两个面积相等即可得到对应等式。
(2) 解题思路：先求图3的体积，即棱长为a的大正方体体积减去挖去的棱长为b的小正方体体积；再计算图4拼成的几何体的体积，它由三个长方体组成，分别求三个长方体体积求和后提取公因式整理，根据体积不变即可得到对应等式。
(3) 解题思路：将$8x^3$变形为$(2x)^3$，1变形为$1^3$，直接套用(2)中推导得到的立方差公式，代入整理即可完成因式分解。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1 = a^2 - b^2$，
图2拼得的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$，
因为阴影部分面积相等，故$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
(2) 图3几何体的体积为大正方体体积减去挖去的小正方体体积：$V_1 = a^3 - b^3$；
图4的几何体由三个长方体组成，体积分别为$a^2(a-b)$、$ab(a-b)$、$b^2(a-b)$，总体积：
$V_2 = a^2(a-b)+ab(a-b)+b^2(a-b) = (a-b)(a^2+ab+b^2)$，
二者体积相等，故$a^3 - b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
(3) 利用(2)的立方差公式，将$8x^3$转化为$(2x)^3$，$1$转化为$1^3$，代入得：
$8x^3 -1=(2x)^3 - 1^3=(2x-1)[(2x)^2 + 2x·1 + 1^2]=(2x-1)(4x^2+2x+1)$。
【答案】
(1)$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
(2)$a^3-b^3$；$(a-b)(a^2+ab+b^2)$；$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
(3)$(2x-1)(4x^2+2x+1)$
【知识点】
平方差公式；立方差公式；因式分解
【点评】
本题采用数形结合的形式，从平面图形推导平方差公式延伸到立体图形推导立方差公式，最后考查公式的迁移应用，能够帮助大家理解公式的推导逻辑，提升知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7