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13. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当定价为100元时，平均每天能售出200双. 销售一段时间后发现，平均每天售出的运动鞋数量$ y $（单位：双）与降低的价格$ x $（单位：元）之间存在如图所示的函数关系.
(1) 求$ y $与$ x $之间的函数表达式.
(2) 公司希望平均每天获得的利润为8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3) 为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出此时的定价；若不能，请说明理由.
(1) 求$ y $与$ x $之间的函数表达式.
(2) 公司希望平均每天获得的利润为8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3) 为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出此时的定价；若不能，请说明理由.
答案
13.解:(1)$y$与$x$之间的函数关系式为$y=10x+200$.
(2)根据题意,得$(100-60-x)(10x+200)=8\ 910$,整理得$x^2-20x+91=0$,解得$x_1=7$,$x_2=13$.$\because$要求优惠力度最大,$\therefore x=13$,$\therefore 100-x=100-13=87$(元).答:每双运动鞋的售价应该定为87元.
(3)公司每天能获得9 000元的利润.理由:根据题意,得$(100-60-x)(10x+200)=9\ 000$,整理得$x^2-20x-100=0$,解得$x_1=x_2=10$.$\because$每双运动鞋的利润不低于成本价的$50\%$,$\therefore 100-60-x≥ 60× 50\%$,解得$x≤ 10$.$\therefore x=10$,符合题意,$\therefore 100-10=90$(元).答:公司每天能获得9 000元的利润,此时每双运动鞋的定价为90元.
(2)根据题意,得$(100-60-x)(10x+200)=8\ 910$,整理得$x^2-20x+91=0$,解得$x_1=7$,$x_2=13$.$\because$要求优惠力度最大,$\therefore x=13$,$\therefore 100-x=100-13=87$(元).答:每双运动鞋的售价应该定为87元.
(3)公司每天能获得9 000元的利润.理由:根据题意,得$(100-60-x)(10x+200)=9\ 000$,整理得$x^2-20x-100=0$,解得$x_1=x_2=10$.$\because$每双运动鞋的利润不低于成本价的$50\%$,$\therefore 100-60-x≥ 60× 50\%$,解得$x≤ 10$.$\therefore x=10$,符合题意,$\therefore 100-10=90$(元).答:公司每天能获得9 000元的利润,此时每双运动鞋的定价为90元.
解析
【分析】
(1) 由图象可知y与x是一次函数关系，已知函数过(0,200)和(10,300)两个点，可通过待定系数法设一次函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标求解参数即可得到函数关系式。
(2) 销售总利润=单双利润×销售量，其中单双利润为(原定价-成本价-降价x)，销售量为第一问求得的y，结合总利润为8910元列一元二次方程求解；要求优惠力度最大即降价x取最大值，筛选符合条件的解后代入计算售价即可。
(3) 先假设可获得9000元利润，按利润公式列方程求解x，再根据“单双利润不低于成本的50%”列不等式求出x的取值范围，验证所求x是否符合取值范围即可判断能否达到目标利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(0,200)$、$(10,300)$代入得：
$\begin{cases}b=200\\10k+b=300\end{cases}$
解得$k=10$，$b=200$，
∴$y$与$x$的函数表达式为$y=10x+200$。
(2) 由题意得单双利润为$(100-60-x)$元，销售量为$(10x+200)$双，列方程：
$(40-x)(10x+200)=8910$
整理得$x^2-20x+91=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=13$，
∵优惠力度最大即降价最多，
∴$x=13$，
此时售价为$100-13=87$元。
(3) 能获得9000元利润，理由如下：
列方程得$(40-x)(10x+200)=9000$，
整理得$x^2-20x+100=0$，
解得$x_1=x_2=10$，
由单双利润不低于成本的50%得：$40-x≥60×50\%$，
解得$x≤10$，故$x=10$符合题意，
此时定价为$100-10=90$元。
【答案】
(1) $y=10x+200$
(2) 87元
(3) 能，此时定价为90元
【知识点】
待定系数法求一次函数，一元二次方程应用，不等式的应用
【点评】
本题结合一次函数图象考察销售类实际应用，解题时需准确梳理利润相关的数量关系，同时要注意题目中的限定条件，对求得的方程解进行合理筛选，避免漏看约束条件导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 由图象可知y与x是一次函数关系，已知函数过(0,200)和(10,300)两个点，可通过待定系数法设一次函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标求解参数即可得到函数关系式。
(2) 销售总利润=单双利润×销售量，其中单双利润为(原定价-成本价-降价x)，销售量为第一问求得的y，结合总利润为8910元列一元二次方程求解；要求优惠力度最大即降价x取最大值，筛选符合条件的解后代入计算售价即可。
(3) 先假设可获得9000元利润，按利润公式列方程求解x，再根据“单双利润不低于成本的50%”列不等式求出x的取值范围，验证所求x是否符合取值范围即可判断能否达到目标利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(0,200)$、$(10,300)$代入得：
$\begin{cases}b=200\\10k+b=300\end{cases}$
解得$k=10$，$b=200$，
∴$y$与$x$的函数表达式为$y=10x+200$。
(2) 由题意得单双利润为$(100-60-x)$元，销售量为$(10x+200)$双，列方程：
$(40-x)(10x+200)=8910$
整理得$x^2-20x+91=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=13$，
∵优惠力度最大即降价最多，
∴$x=13$，
此时售价为$100-13=87$元。
(3) 能获得9000元利润，理由如下：
列方程得$(40-x)(10x+200)=9000$，
整理得$x^2-20x+100=0$，
解得$x_1=x_2=10$，
由单双利润不低于成本的50%得：$40-x≥60×50\%$，
解得$x≤10$，故$x=10$符合题意，
此时定价为$100-10=90$元。
【答案】
(1) $y=10x+200$
(2) 87元
(3) 能，此时定价为90元
【知识点】
待定系数法求一次函数，一元二次方程应用，不等式的应用
【点评】
本题结合一次函数图象考察销售类实际应用，解题时需准确梳理利润相关的数量关系，同时要注意题目中的限定条件，对求得的方程解进行合理筛选，避免漏看约束条件导致错误。
【难度系数】
0.7
