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1. [2025·北京中考]若一个六边形的每个内角都是$x°$,则$x$的值为 （
A.60
B.90
C.120
D.150
C
）A.60
B.90
C.120
D.150
答案
C
解析
【分析】
本题考查正六边形内角度数的计算，解题思路如下：首先由“六边形每个内角都相等”可判断该六边形是正六边形，要求单个内角度数，需先根据多边形内角和公式求出六边形的总内角和，再用总内角和除以边数6，即可得到每个内角的度数。
【解析】
第一步，回忆多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$（n为边数，$n≥3$且n为整数）。
第二步，计算六边形的内角和：此处n=6，代入公式得内角和为$(6-2)×180°=4×180°=720°$。
第三步，计算单个内角度数：因为该六边形每个内角都相等，所以每个内角的度数为$720°÷6=120°$，即$x=120$。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式、正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对多边形内角和公式的掌握和应用，熟练记忆公式即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查正六边形内角度数的计算，解题思路如下：首先由“六边形每个内角都相等”可判断该六边形是正六边形，要求单个内角度数，需先根据多边形内角和公式求出六边形的总内角和，再用总内角和除以边数6，即可得到每个内角的度数。
【解析】
第一步，回忆多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$（n为边数，$n≥3$且n为整数）。
第二步，计算六边形的内角和：此处n=6，代入公式得内角和为$(6-2)×180°=4×180°=720°$。
第三步，计算单个内角度数：因为该六边形每个内角都相等，所以每个内角的度数为$720°÷6=120°$，即$x=120$。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式、正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对多边形内角和公式的掌握和应用，熟练记忆公式即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一起动手，在空地的三条边上栽上了树苗(如图).已知三条边上的树苗数分别为 6,14,13,空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗间距均为 1 m，那么这块空地的形状为（
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
A
）A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
答案
A
解析
【分析】解题时首先要根据边上的树苗数求出三角形的三边长：因为三角形三个角都有树，属于两端都植树的情况，间隔数=树苗数-1，已知间距为1m，因此边长=（对应边树苗数-1）×1m；得到三边长后，再利用勾股定理的逆定理，通过比较较小两边的平方和与最大边的平方的大小关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
步骤1：计算三角形的三边长
已知三条边上的树苗数分别为6、14、13，两端都有树，间距1m，因此：
边长1 = (6-1)×1 = 5m
边长2 = (14-1)×1 = 13m
边长3 = (13-1)×1 = 12m
步骤2：用勾股定理逆定理判断三角形形状
首先找到最大边长为13m，计算较小两边的平方和：
$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
最大边的平方：$13^2 = 169$
可得$5^2 + 12^2 = 13^2$，符合勾股定理逆定理的直角三角形判定条件，因此该三角形是直角三角形。
【答案】A
【知识点】植树问题、勾股定理的逆定理
【点评】本题结合实际生活的植树场景考查三角形形状的判定，解题的易错点是容易忽略角上的树为两条边共有，直接把树苗数当作边长，只要正确求出三边长，结合勾股定理逆定理就能快速得出结果。
【难度系数】0.7
【解析】
步骤1：计算三角形的三边长
已知三条边上的树苗数分别为6、14、13，两端都有树，间距1m，因此：
边长1 = (6-1)×1 = 5m
边长2 = (14-1)×1 = 13m
边长3 = (13-1)×1 = 12m
步骤2：用勾股定理逆定理判断三角形形状
首先找到最大边长为13m，计算较小两边的平方和：
$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
最大边的平方：$13^2 = 169$
可得$5^2 + 12^2 = 13^2$，符合勾股定理逆定理的直角三角形判定条件，因此该三角形是直角三角形。
【答案】A
【知识点】植树问题、勾股定理的逆定理
【点评】本题结合实际生活的植树场景考查三角形形状的判定，解题的易错点是容易忽略角上的树为两条边共有，直接把树苗数当作边长，只要正确求出三边长，结合勾股定理逆定理就能快速得出结果。
【难度系数】0.7
3. [2025·合肥四十五中期末]小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误的是 (
A.(1)处可填$∠ A=90°$
B.(2)处可填$AD=AB$
C.(3)处可填$AD=CB$
D.(4)处可填$∠ A=90°$
C
)A.(1)处可填$∠ A=90°$
B.(2)处可填$AD=AB$
C.(3)处可填$AD=CB$
D.(4)处可填$∠ A=90°$
答案
C
解析
【分析】
本题考查特殊四边形之间的转化判定，解题思路如下：首先明确各转化路径对应的判定规则：①平行四边形转化为矩形，需要添加“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件；②矩形转化为正方形，需要添加“邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件；③平行四边形转化为菱形，需要添加“邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件；④菱形转化为正方形，需要添加“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件。再逐一核对每个选项给出的条件是否符合对应转化的判定要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. (1)处是平行四边形转化为矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加∠A=90°符合判定，条件正确，不符合题意；
B. (2)处是矩形转化为正方形：一组邻边相等的矩形是正方形，添加AD=AB（邻边相等）符合判定，条件正确，不符合题意；
C. (3)处是平行四边形转化为菱形：平行四边形本身就具有对边相等的性质，AD=CB是平行四边形固有的性质，添加该条件无法将平行四边形转化为菱形，条件错误，符合题意；
D. (4)处是菱形转化为正方形：有一个角是直角的菱形是正方形，添加∠A=90°符合判定，条件正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理清不同特殊四边形的联系与区别，需要熟练掌握各类特殊四边形的判定定理和性质，注意不要混淆性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.7
本题考查特殊四边形之间的转化判定，解题思路如下：首先明确各转化路径对应的判定规则：①平行四边形转化为矩形，需要添加“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件；②矩形转化为正方形，需要添加“邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件；③平行四边形转化为菱形，需要添加“邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件；④菱形转化为正方形，需要添加“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件。再逐一核对每个选项给出的条件是否符合对应转化的判定要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. (1)处是平行四边形转化为矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加∠A=90°符合判定，条件正确，不符合题意；
B. (2)处是矩形转化为正方形：一组邻边相等的矩形是正方形，添加AD=AB（邻边相等）符合判定，条件正确，不符合题意；
C. (3)处是平行四边形转化为菱形：平行四边形本身就具有对边相等的性质，AD=CB是平行四边形固有的性质，添加该条件无法将平行四边形转化为菱形，条件错误，符合题意；
D. (4)处是菱形转化为正方形：有一个角是直角的菱形是正方形，添加∠A=90°符合判定，条件正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理清不同特殊四边形的联系与区别，需要熟练掌握各类特殊四边形的判定定理和性质，注意不要混淆性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.7
4. 某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示：
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是
9
h.答案
9
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值。本题给出了不同课外阅读时间对应的人数，人数就代表该阅读时间出现的次数，我们只需要找到人数最多对应的那个阅读时间，就是要求的众数。
【解析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数。
观察表格可知：
阅读时间为7h的有4人，8h的有12人，9h的有13人，10h的有6人。
其中人数最多的是13人，对应的阅读时间为9h，因此该组数据的众数是9h。
【答案】
9
【知识点】
众数的定义，统计表分析
【点评】
本题属于统计类基础题，主要考查对众数概念的理解和对统计表格的读取能力，只要熟练掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值。本题给出了不同课外阅读时间对应的人数，人数就代表该阅读时间出现的次数，我们只需要找到人数最多对应的那个阅读时间，就是要求的众数。
【解析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数。
观察表格可知：
阅读时间为7h的有4人，8h的有12人，9h的有13人，10h的有6人。
其中人数最多的是13人，对应的阅读时间为9h，因此该组数据的众数是9h。
【答案】
9
【知识点】
众数的定义，统计表分析
【点评】
本题属于统计类基础题，主要考查对众数概念的理解和对统计表格的读取能力，只要熟练掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
5. 比较大小：$\sqrt{15}+\sqrt{5}$ ______ $\sqrt{13}+\sqrt{7}$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
＜
解析
【分析】
要比较两个含二次根式的和的大小，首先观察到两个式子的结果都是正数，我们可以利用“正数的平方越大，原数也越大”的性质，通过分别计算两个式子的平方去掉根号，将无理数的大小比较转化为有理数和简化后根式的大小比较，就能快速得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{15}+\sqrt{5}＞0$，$\sqrt{13}+\sqrt{7}＞0$，正数比较大小可通过比较平方的大小判断，平方大的原数更大。
分别计算两个式子的平方：
$(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{15})^2 + 2×\sqrt{15}×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 15 + 2\sqrt{75} + 5 = 20 + 2\sqrt{75}$
$(\sqrt{13}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{13})^2 + 2×\sqrt{13}×\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 13 + 2\sqrt{91} + 7 = 20 + 2\sqrt{91}$
∵ $75＜91$，
∴ $\sqrt{75}＜\sqrt{91}$，可得 $20 + 2\sqrt{75} ＜ 20 + 2\sqrt{91}$
即 $(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2 ＜ (\sqrt{13}+\sqrt{7})^2$
又
∵ 两个式子均为正数，
∴ $\sqrt{15}+\sqrt{5} ＜ \sqrt{13}+\sqrt{7}$
【答案】
＜
【知识点】
二次根式大小比较，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题型，平方法是解决这类和式根式比较问题的常用技巧，解题时要注意先判断两边式子的正负性，保证平方后不等号方向不变。
【难度系数】
0.7
要比较两个含二次根式的和的大小，首先观察到两个式子的结果都是正数，我们可以利用“正数的平方越大，原数也越大”的性质，通过分别计算两个式子的平方去掉根号，将无理数的大小比较转化为有理数和简化后根式的大小比较，就能快速得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{15}+\sqrt{5}＞0$，$\sqrt{13}+\sqrt{7}＞0$，正数比较大小可通过比较平方的大小判断，平方大的原数更大。
分别计算两个式子的平方：
$(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{15})^2 + 2×\sqrt{15}×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 15 + 2\sqrt{75} + 5 = 20 + 2\sqrt{75}$
$(\sqrt{13}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{13})^2 + 2×\sqrt{13}×\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 13 + 2\sqrt{91} + 7 = 20 + 2\sqrt{91}$
∵ $75＜91$，
∴ $\sqrt{75}＜\sqrt{91}$，可得 $20 + 2\sqrt{75} ＜ 20 + 2\sqrt{91}$
即 $(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2 ＜ (\sqrt{13}+\sqrt{7})^2$
又
∵ 两个式子均为正数，
∴ $\sqrt{15}+\sqrt{5} ＜ \sqrt{13}+\sqrt{7}$
【答案】
＜
【知识点】
二次根式大小比较，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题型，平方法是解决这类和式根式比较问题的常用技巧，解题时要注意先判断两边式子的正负性，保证平方后不等号方向不变。
【难度系数】
0.7
6. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了 2 m,另一边减少了 3 m,剩余一块面积为 20 m² 的矩形空地,则原正方形空地的边长是
7 m
.答案
7 m
解析
【分析】
我们可以通过设未知数列方程的方法求解原正方形的边长：首先设原正方形边长为x米，根据题意可知剩余矩形空地的两条边分别是原正方形边长减去2m、减去3m，即两边长为(x-2)m和(x-3)m；再结合矩形面积=长×宽的公式，即可列出关于x的一元二次方程；最后解方程，结合边长为正数的实际要求舍去不符合题意的根，就能得到原正方形的边长。
【解析】
解：设原正方形空地的边长为$ x $ m，由题意得剩余矩形空地的两边长分别为$ (x-2) $ m和$ (x-3) $ m。
根据矩形面积公式列方程：
$ (x-2)(x-3) = 20 $
展开整理得：
$ x^2 - 5x + 6 = 20 $
$ x^2 - 5x - 14 = 0 $
因式分解得：
$ (x-7)(x+2) = 0 $
解得$ x_1=7 $，$ x_2=-2 $。
因为正方形边长为正数，故舍去$ x=-2 $，即原正方形空地的边长为7m。
【答案】
7 m
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是找准剩余矩形边长与原正方形边长的数量关系，结合面积公式列方程，最后要注意检验方程的根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数列方程的方法求解原正方形的边长：首先设原正方形边长为x米，根据题意可知剩余矩形空地的两条边分别是原正方形边长减去2m、减去3m，即两边长为(x-2)m和(x-3)m；再结合矩形面积=长×宽的公式，即可列出关于x的一元二次方程；最后解方程，结合边长为正数的实际要求舍去不符合题意的根，就能得到原正方形的边长。
【解析】
解：设原正方形空地的边长为$ x $ m，由题意得剩余矩形空地的两边长分别为$ (x-2) $ m和$ (x-3) $ m。
根据矩形面积公式列方程：
$ (x-2)(x-3) = 20 $
展开整理得：
$ x^2 - 5x + 6 = 20 $
$ x^2 - 5x - 14 = 0 $
因式分解得：
$ (x-7)(x+2) = 0 $
解得$ x_1=7 $，$ x_2=-2 $。
因为正方形边长为正数，故舍去$ x=-2 $，即原正方形空地的边长为7m。
【答案】
7 m
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是找准剩余矩形边长与原正方形边长的数量关系，结合面积公式列方程，最后要注意检验方程的根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
