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7. 某校对九年级(1)班学生进行百米测验，已知女生达标成绩为18 s，如图分别是甲、乙两小组各5名女生的成绩统计图. 请你根据统计图回答问题.
(1)甲、乙两组的达标率分别是多少？
(2)已知甲组的方差是2.1，请你计算乙组的方差，比较哪个组的成绩更稳定.
(3)如果老师表扬甲组的成绩好于乙组，那么老师是通过各组的
(1)甲、乙两组的达标率分别是多少？
(2)已知甲组的方差是2.1，请你计算乙组的方差，比较哪个组的成绩更稳定.
(3)如果老师表扬甲组的成绩好于乙组，那么老师是通过各组的
中位数
来评判的.（填“达标率”“中位数”“众数”或“方差”）答案
(1)甲组的达标率是$\frac{3}{5}×100\%=60\%$;乙组的达标率是$\frac{3}{5}×100\%=60\%$.
(2)$\overline{x}_乙=18\ \mathrm{s},s^2_乙=2,\because 2.1＞2,\therefore$乙组的成绩更稳定.
(3)中位数
(2)$\overline{x}_乙=18\ \mathrm{s},s^2_乙=2,\because 2.1＞2,\therefore$乙组的成绩更稳定.
(3)中位数
解析
【分析】
1. 求解第(1)问：首先明确百米达标标准为成绩≤18s（时间越短成绩越好），分别统计甲、乙两组中成绩≤18s的人数，再用“达标率=达标人数÷总人数×100%”计算即可。
2. 求解第(2)问：先根据平均数公式计算乙组的平均成绩，再代入方差公式$ s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2] $算出乙组方差，根据“方差越小成绩越稳定”比较两组稳定性。
3. 求解第(3)问：分别对比两组的达标率、中位数、众数、方差的大小，找出甲组优于乙组的统计量即可。
【解析】
(1) 已知达标成绩为18s，即成绩≤18s为达标：
甲组5名女生成绩为16.5s、19.5s、17s、17s、20s，其中达标人数为3人，
故甲组达标率：$\frac{3}{5}×100\%=60\%$；
乙组5名女生成绩为19s、20s、17s、16s、18s，其中达标人数为3人，
故乙组达标率：$\frac{3}{5}×100\%=60\%$。
(2) 先计算乙组的平均成绩：
$\overline{x}_乙=\frac{19+20+17+16+18}{5}=18\ (\mathrm{s})$
再计算乙组方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(19-18)^2+(20-18)^2+(17-18)^2+(16-18)^2+(18-18)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+4+1+4+0)$
$=2$
已知甲组方差为2.1，因为$2.1＞2$，方差越小成绩越稳定，所以乙组的成绩更稳定。
(3) 对比两组统计量：两组达标率均为60%，不存在优劣；乙组方差更小，成绩更稳定，不符合甲组成绩更好的结论；甲组众数为17，乙组没有众数，无法作为评判依据；甲组成绩从小到大排序为16.5、17、17、19.5、20，中位数为17，乙组成绩从小到大排序为16、17、18、19、20，中位数为18，甲组中位数更小，中间水平的成绩更好，故老师是通过中位数评判的。
【答案】
(1) 甲组达标率为60%，乙组达标率为60%
(2) 乙组的方差为2，乙组的成绩更稳定
(3) 中位数
【知识点】
达标率计算，方差的计算与应用，中位数的意义
【点评】
本题结合统计图考查了常见统计量的计算与实际意义，解题时需要先准确从图表中提取数据，再结合各统计量的含义分析数据，掌握不同统计量代表的特征是解题关键。
【难度系数】
0.7
1. 求解第(1)问：首先明确百米达标标准为成绩≤18s（时间越短成绩越好），分别统计甲、乙两组中成绩≤18s的人数，再用“达标率=达标人数÷总人数×100%”计算即可。
2. 求解第(2)问：先根据平均数公式计算乙组的平均成绩，再代入方差公式$ s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2] $算出乙组方差，根据“方差越小成绩越稳定”比较两组稳定性。
3. 求解第(3)问：分别对比两组的达标率、中位数、众数、方差的大小，找出甲组优于乙组的统计量即可。
【解析】
(1) 已知达标成绩为18s，即成绩≤18s为达标：
甲组5名女生成绩为16.5s、19.5s、17s、17s、20s，其中达标人数为3人，
故甲组达标率：$\frac{3}{5}×100\%=60\%$；
乙组5名女生成绩为19s、20s、17s、16s、18s，其中达标人数为3人，
故乙组达标率：$\frac{3}{5}×100\%=60\%$。
(2) 先计算乙组的平均成绩：
$\overline{x}_乙=\frac{19+20+17+16+18}{5}=18\ (\mathrm{s})$
再计算乙组方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(19-18)^2+(20-18)^2+(17-18)^2+(16-18)^2+(18-18)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+4+1+4+0)$
$=2$
已知甲组方差为2.1，因为$2.1＞2$，方差越小成绩越稳定，所以乙组的成绩更稳定。
(3) 对比两组统计量：两组达标率均为60%，不存在优劣；乙组方差更小，成绩更稳定，不符合甲组成绩更好的结论；甲组众数为17，乙组没有众数，无法作为评判依据；甲组成绩从小到大排序为16.5、17、17、19.5、20，中位数为17，乙组成绩从小到大排序为16、17、18、19、20，中位数为18，甲组中位数更小，中间水平的成绩更好，故老师是通过中位数评判的。
【答案】
(1) 甲组达标率为60%，乙组达标率为60%
(2) 乙组的方差为2，乙组的成绩更稳定
(3) 中位数
【知识点】
达标率计算，方差的计算与应用，中位数的意义
【点评】
本题结合统计图考查了常见统计量的计算与实际意义，解题时需要先准确从图表中提取数据，再结合各统计量的含义分析数据，掌握不同统计量代表的特征是解题关键。
【难度系数】
0.7
8. 在平面直角坐标系中,按要求完成下列各题:
(1)描出下列各点:$A(0,2),B(2,0),C(5,3)$,将这些点依次用线段连接,则点$C$关于$y$轴对称的点$C_1$的坐标为________;
(2)求证:$△ ABC$是直角三角形;
(3)若在$y$轴上有一点$D$,则$CD+BD$的最小值为________.
(1)描出下列各点:$A(0,2),B(2,0),C(5,3)$,将这些点依次用线段连接,则点$C$关于$y$轴对称的点$C_1$的坐标为________;
(2)求证:$△ ABC$是直角三角形;
(3)若在$y$轴上有一点$D$,则$CD+BD$的最小值为________.
答案
(1)图略;$(-5,3)$
(2)证明:$\because AB^2=2^2+2^2=8,BC^2=(5-2)^2+3^2=18,AC^2=5^2+(3-2)^2=26,\therefore AB^2+BC^2=26=AC^2$
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(3)$\sqrt{58}$
(2)证明:$\because AB^2=2^2+2^2=8,BC^2=(5-2)^2+3^2=18,AC^2=5^2+(3-2)^2=26,\therefore AB^2+BC^2=26=AC^2$
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(3)$\sqrt{58}$
解析
【分析】
(1) 关于y轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，已知点C坐标为(5,3)，直接套用规律即可得到C₁的坐标；描点时根据每个点的横、纵坐标，分别在x轴、y轴找到对应位置确定点的位置即可。
(2) 要证明△ABC是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。先根据两点间距离的平方公式（由勾股定理推导：两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的距离平方为$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$）分别计算$AB^2$、$BC^2$、$AC^2$，再验证是否有两个边的平方和等于第三边的平方即可。
(3) 这是将军饮马最短路径问题：动点D在y轴上，要求$CD+BD$的最小值，可作其中一个定点关于y轴的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短），再计算该线段的长度即可。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，点$C(5,3)$关于y轴对称的点$C_1$的横坐标为-5，纵坐标为3，故$C_1$坐标为$(-5,3)$。
(2) 证明：根据两点间距离平方公式：
$AB^2=(0-2)^2+(2-0)^2=(-2)^2+2^2=4+4=8$，
$BC^2=(5-2)^2+(3-0)^2=3^2+3^2=9+9=18$，
$AC^2=(5-0)^2+(3-2)^2=5^2+1^2=25+1=26$，
$\because AB^2+BC^2=8+18=26=AC^2$，
$\therefore$ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
(3) 作点B关于y轴的对称点$B'$，则$B'$的坐标为$(-2,0)$，根据对称性质，对y轴上任意一点D，都有$BD=B'D$，因此$CD+BD=CD+B'D$。根据两点之间线段最短，当D在$B'C$与y轴的交点处时，$CD+B'D$最小，最小值为线段$B'C$的长度。
计算$B'C$的长度：$B'(-2,0)$，$C(5,3)$，
$B'C=\sqrt{[5-(-2)]^2+(3-0)^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$，
故$CD+BD$的最小值为$\sqrt{58}$。
【答案】
(1) $(-5,3)$
(2) 证明过程见解析，$△ ABC$是直角三角形
(3) $\sqrt{58}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，勾股定理及其逆定理，最短路径问题
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础性质、几何证明和最短路径模型，核心是对基础定理和常用模型的掌握，计算时需注意坐标差的平方运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 关于y轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，已知点C坐标为(5,3)，直接套用规律即可得到C₁的坐标；描点时根据每个点的横、纵坐标，分别在x轴、y轴找到对应位置确定点的位置即可。
(2) 要证明△ABC是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。先根据两点间距离的平方公式（由勾股定理推导：两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的距离平方为$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$）分别计算$AB^2$、$BC^2$、$AC^2$，再验证是否有两个边的平方和等于第三边的平方即可。
(3) 这是将军饮马最短路径问题：动点D在y轴上，要求$CD+BD$的最小值，可作其中一个定点关于y轴的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短），再计算该线段的长度即可。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，点$C(5,3)$关于y轴对称的点$C_1$的横坐标为-5，纵坐标为3，故$C_1$坐标为$(-5,3)$。
(2) 证明：根据两点间距离平方公式：
$AB^2=(0-2)^2+(2-0)^2=(-2)^2+2^2=4+4=8$，
$BC^2=(5-2)^2+(3-0)^2=3^2+3^2=9+9=18$，
$AC^2=(5-0)^2+(3-2)^2=5^2+1^2=25+1=26$，
$\because AB^2+BC^2=8+18=26=AC^2$，
$\therefore$ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
(3) 作点B关于y轴的对称点$B'$，则$B'$的坐标为$(-2,0)$，根据对称性质，对y轴上任意一点D，都有$BD=B'D$，因此$CD+BD=CD+B'D$。根据两点之间线段最短，当D在$B'C$与y轴的交点处时，$CD+B'D$最小，最小值为线段$B'C$的长度。
计算$B'C$的长度：$B'(-2,0)$，$C(5,3)$，
$B'C=\sqrt{[5-(-2)]^2+(3-0)^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$，
故$CD+BD$的最小值为$\sqrt{58}$。
【答案】
(1) $(-5,3)$
(2) 证明过程见解析，$△ ABC$是直角三角形
(3) $\sqrt{58}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，勾股定理及其逆定理，最短路径问题
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础性质、几何证明和最短路径模型，核心是对基础定理和常用模型的掌握，计算时需注意坐标差的平方运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
