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四、我会解答。
1. 有一张长方形的纸，长是60cm，宽是48cm，要剪成若干个同样大小的正方形且没有剩余，剪出的正方形的边长最大是几厘米？可以剪成多少个？
1. 有一张长方形的纸，长是60cm，宽是48cm，要剪成若干个同样大小的正方形且没有剩余，剪出的正方形的边长最大是几厘米？可以剪成多少个？
答案
1.![img alt=4-1] 剪出的正方形的边长最大是2×2×3=12(cm) 可以剪成(60÷12)×(48÷12)=20(个)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理解“剪成若干个同样大小的正方形且没有剩余”的含义：正方形的边长必须同时是长方形长和宽的因数，这样才能保证裁剪后没有剩余。而要求剪出的正方形边长最大，其实就是求长方形长60cm和宽48cm的最大公因数。求出最大边长后，用长方形的长和宽分别除以最大边长，得到长和宽方向各能剪出的正方形个数，两者相乘就是总共能剪出的正方形数量。
【解析】
1. 求60和48的最大公因数：
分解质因数：
$60 = 2×2×3×5$
$48 = 2×2×2×2×3$
它们公有的质因数是2、2、3，因此最大公因数为 $2×2×3 = 12$，即剪出的正方形边长最大是12厘米。
2. 计算能剪出的正方形个数：
长方向可剪的个数：$60÷12 = 5$（个）
宽方向可剪的个数：$48÷12 = 4$（个）
总共可剪的个数：$5×4 = 20$（个）
【答案】
剪出的正方形的边长最大是12厘米，可以剪成20个。
【知识点】
最大公因数的应用、分解质因数求最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是将实际问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，解题关键是理解“无剩余且边长最大”的正方形边长与长、宽的关系，通过分解质因数法求出最大公因数后，再利用除法和乘法计算剪出的个数，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要理解“剪成若干个同样大小的正方形且没有剩余”的含义：正方形的边长必须同时是长方形长和宽的因数，这样才能保证裁剪后没有剩余。而要求剪出的正方形边长最大，其实就是求长方形长60cm和宽48cm的最大公因数。求出最大边长后，用长方形的长和宽分别除以最大边长，得到长和宽方向各能剪出的正方形个数，两者相乘就是总共能剪出的正方形数量。
【解析】
1. 求60和48的最大公因数：
分解质因数：
$60 = 2×2×3×5$
$48 = 2×2×2×2×3$
它们公有的质因数是2、2、3，因此最大公因数为 $2×2×3 = 12$，即剪出的正方形边长最大是12厘米。
2. 计算能剪出的正方形个数：
长方向可剪的个数：$60÷12 = 5$（个）
宽方向可剪的个数：$48÷12 = 4$（个）
总共可剪的个数：$5×4 = 20$（个）
【答案】
剪出的正方形的边长最大是12厘米，可以剪成20个。
【知识点】
最大公因数的应用、分解质因数求最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是将实际问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，解题关键是理解“无剩余且边长最大”的正方形边长与长、宽的关系，通过分解质因数法求出最大公因数后，再利用除法和乘法计算剪出的个数，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
2. 一种牛奶有两种包装方式：每12盒装成一箱或每18盒装成一箱。现有若干盒牛奶，无论采用哪种包装都正好装完。 
答案
2. 36盒
解析
【分析】
题目中牛奶无论用12盒装一箱还是18盒装一箱都正好装完，说明牛奶的总盒数是12和18的公倍数。要求“至少有多少盒”，实际就是求12和18的最小公倍数。我们可以通过分解质因数的方法来求最小公倍数：先分别把12和18分解成质因数相乘的形式，再取它们公有的质因数和各自独有的质因数相乘，得到的结果就是最小公倍数。
【解析】
1. 分解质因数：
$12 = 2×2×3$
$18 = 2×3×3$
2. 计算最小公倍数：
取公有的质因数（2、3）和各自独有的质因数（12独有的2，18独有的3）相乘，即$2×3×2×3 = 36$。
因此这些牛奶至少有36盒。
【答案】
36盒
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际问题中的应用，解题关键是理解“无论哪种包装都正好装完”的含义，即总盒数是两种包装数的公倍数，求“至少”就是求最小公倍数，掌握分解质因数求最小公倍数的方法是解题核心。
【难度系数】
0.8
题目中牛奶无论用12盒装一箱还是18盒装一箱都正好装完，说明牛奶的总盒数是12和18的公倍数。要求“至少有多少盒”，实际就是求12和18的最小公倍数。我们可以通过分解质因数的方法来求最小公倍数：先分别把12和18分解成质因数相乘的形式，再取它们公有的质因数和各自独有的质因数相乘，得到的结果就是最小公倍数。
【解析】
1. 分解质因数：
$12 = 2×2×3$
$18 = 2×3×3$
2. 计算最小公倍数：
取公有的质因数（2、3）和各自独有的质因数（12独有的2，18独有的3）相乘，即$2×3×2×3 = 36$。
因此这些牛奶至少有36盒。
【答案】
36盒
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际问题中的应用，解题关键是理解“无论哪种包装都正好装完”的含义，即总盒数是两种包装数的公倍数，求“至少”就是求最小公倍数，掌握分解质因数求最小公倍数的方法是解题核心。
【难度系数】
0.8
3. 某班同学去植树，分成4人一组，5人一组或8人一组都多1人，这个班至少有多少人？
答案
3. 41人
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要理解题目中的关键条件：分成4人、5人、8人一组都多1人，说明班级总人数减去1之后，正好是4、5、8的公倍数。要求“至少有多少人”，就是求这三个数的最小公倍数，再加上多出来的1人即可。具体思考步骤如下：
1. 明确核心：总人数 = 4、5、8的公倍数 + 1；
2. 求最小公倍数：因为要“至少”，所以取最小的那个公倍数；
3. 计算总人数：用最小公倍数加上1得到结果。
【解析】
1. 求4、5、8的最小公倍数：
分解质因数：
4 = 2×2，
5 = 5，
8 = 2×2×2；
最小公倍数是取各质因数的最高次幂相乘，即2×2×2×5 = 40；
2. 计算班级总人数：
总人数 = 最小公倍数 + 1 = 40 + 1 = 41（人）。
【答案】
41人
【知识点】
最小公倍数的应用、分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是将“分组都多1人”转化为“总人数比公倍数多1”，需要熟练掌握求几个数最小公倍数的方法，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要理解题目中的关键条件：分成4人、5人、8人一组都多1人，说明班级总人数减去1之后，正好是4、5、8的公倍数。要求“至少有多少人”，就是求这三个数的最小公倍数，再加上多出来的1人即可。具体思考步骤如下：
1. 明确核心：总人数 = 4、5、8的公倍数 + 1；
2. 求最小公倍数：因为要“至少”，所以取最小的那个公倍数；
3. 计算总人数：用最小公倍数加上1得到结果。
【解析】
1. 求4、5、8的最小公倍数：
分解质因数：
4 = 2×2，
5 = 5，
8 = 2×2×2；
最小公倍数是取各质因数的最高次幂相乘，即2×2×2×5 = 40；
2. 计算班级总人数：
总人数 = 最小公倍数 + 1 = 40 + 1 = 41（人）。
【答案】
41人
【知识点】
最小公倍数的应用、分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是将“分组都多1人”转化为“总人数比公倍数多1”，需要熟练掌握求几个数最小公倍数的方法，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
五、我会做。
现有一篮子鸡蛋，3枚3枚地数，最后剩下2枚；4枚4枚地数，最后剩下3枚；5枚5枚地数，最后剩下4枚。这篮鸡蛋至少有多少枚？
现有一篮子鸡蛋，3枚3枚地数，最后剩下2枚；4枚4枚地数，最后剩下3枚；5枚5枚地数，最后剩下4枚。这篮鸡蛋至少有多少枚？
答案
3,4,5的最小公倍数是3×4×5=60 60-1=59(枚)
解析
【分析】
首先观察题目中的余数条件：3枚3枚数剩2枚，说明鸡蛋数量加1就能被3整除；4枚4枚数剩3枚，加1就能被4整除；5枚5枚数剩4枚，加1就能被5整除。因此，鸡蛋数量加1后是3、4、5的公倍数，要求至少有多少枚，就是求3、4、5的最小公倍数，再减去1即可。
【解析】
1. 求3、4、5的最小公倍数：
因为3、4、5两两互质，所以它们的最小公倍数为三个数的乘积，即：
$3×4×5 = 60$
2. 计算鸡蛋最少的数量：
鸡蛋数量 = 最小公倍数 - 1，即：
$60 - 1 = 59$（枚）
【答案】
59枚
【知识点】
最小公倍数应用、互质数求最小公倍数
【点评】
本题考查公倍数的实际应用，解题关键是将余数条件转化为“鸡蛋数量加1后能被3、4、5整除”，进而利用最小公倍数求解，锻炼了学生的转化思维和对公倍数概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.4
首先观察题目中的余数条件：3枚3枚数剩2枚，说明鸡蛋数量加1就能被3整除；4枚4枚数剩3枚，加1就能被4整除；5枚5枚数剩4枚，加1就能被5整除。因此，鸡蛋数量加1后是3、4、5的公倍数，要求至少有多少枚，就是求3、4、5的最小公倍数，再减去1即可。
【解析】
1. 求3、4、5的最小公倍数：
因为3、4、5两两互质，所以它们的最小公倍数为三个数的乘积，即：
$3×4×5 = 60$
2. 计算鸡蛋最少的数量：
鸡蛋数量 = 最小公倍数 - 1，即：
$60 - 1 = 59$（枚）
【答案】
59枚
【知识点】
最小公倍数应用、互质数求最小公倍数
【点评】
本题考查公倍数的实际应用，解题关键是将余数条件转化为“鸡蛋数量加1后能被3、4、5整除”，进而利用最小公倍数求解，锻炼了学生的转化思维和对公倍数概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.4
