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3. 山茶花以云南群芳之首而作为昆明市花，已有多年历史，以花大色艳、品种繁多著称，代表“可爱、谦让、理想的爱”等花语，是昆明“春城”的象征. 某校计划购买十八学士、状元红两个品种的山茶花，用于美化校园. 已知购买10盆十八学士和5盆状元红共需700元，购买8盆十八学士和15盆状元红共需1 220元.
(1)十八学士和状元红的单价分别是多少？
(2)该校计划购买十八学士和状元红共80盆，其中十八学士的盆数不能多于状元红盆数的$\frac{5}{3}$，怎样购买总费用最少？费用最少为多少元？
(1)十八学士和状元红的单价分别是多少？
(2)该校计划购买十八学士和状元红共80盆，其中十八学士的盆数不能多于状元红盆数的$\frac{5}{3}$，怎样购买总费用最少？费用最少为多少元？
答案
(1) 设十八学士的单价为$x$元，状元红的单价为$y$元。根据题意，得$\begin{cases}10x + 5y = 700, \\8x + 15y = 1\ 220,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 40, \\y = 60.\end{cases}$
故十八学士的单价为40元，状元红的单价为60元。
(2) 设购买的总费用为$w$元，购买状元红的盆数为$a$，则购买十八学士的盆数为$80 - a$。由题意得$w = 60a + 40(80 - a) = 20a + 3\ 200$，$\because 80 - a ≤ \frac{5}{3}a$，解得$a ≥ 30$。$\because 20 ＞ 0$，$\therefore w$随$a$的增大而增大，$\therefore$ 当$a = 30$时，$w$最小，最小值为$20×30 + 3\ 200 = 3\ 800$。
故当购买状元红的盆数为30，购买十八学士的盆数为50时，总费用最少，费用最少为3 800元。
故十八学士的单价为40元，状元红的单价为60元。
(2) 设购买的总费用为$w$元，购买状元红的盆数为$a$，则购买十八学士的盆数为$80 - a$。由题意得$w = 60a + 40(80 - a) = 20a + 3\ 200$，$\because 80 - a ≤ \frac{5}{3}a$，解得$a ≥ 30$。$\because 20 ＞ 0$，$\therefore w$随$a$的增大而增大，$\therefore$ 当$a = 30$时，$w$最小，最小值为$20×30 + 3\ 200 = 3\ 800$。
故当购买状元红的盆数为30，购买十八学士的盆数为50时，总费用最少，费用最少为3 800元。
解析
【分析】
(1) 题中有两个未知量：十八学士和状元红的单价，同时给出两次购买的总费用两个等量关系，因此可通过设两个未知数，列二元一次方程组求解两种花的单价。
(2) 要找总费用最少的购买方案，首先建立总费用关于购买数量的一次函数表达式，再根据“十八学士的盆数不能多于状元红盆数的$\frac{5}{3}$”的限制条件列不等式，求出自变量的取值范围，最后结合一次函数的增减性，即可判断出总费用最小时对应的购买方案。
【解析】
(1) 设十八学士的单价为$x$元，状元红的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x + 5y = 700 \\8x + 15y = 1220\end{cases}$
将第一个方程两边同乘3得$30x+15y=2100$，减去第二个方程得$22x=880$，解得$x=40$；把$x=40$代入$10x+5y=700$，得$400+5y=700$，解得$y=60$。
(2) 设购买总费用为$w$元，购买状元红$a$盆，则购买十八学士$(80-a)$盆。
总费用表达式为：$w = 60a + 40(80 - a) = 20a + 3200$
根据题意列不等式：$80 - a ≤ \frac{5}{3}a$
两边同乘3得$240 - 3a ≤5a$，移项合并得$8a≥240$，解得$a≥30$
在一次函数$w=20a+3200$中，$k=20＞0$，因此$w$随$a$的增大而增大，所以当$a$取最小值30时，$w$最小。
此时$80-a=80-30=50$，最小费用为$w=20×30 + 3200=3800$元。
【答案】
(1) 十八学士的单价为40元，状元红的单价为60元；
(2) 购买状元红30盆、十八学士50盆时总费用最少，最少费用为3800元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的最值
【点评】
本题属于方案优化类实际应用题，解题核心是准确提炼题干中的等量关系与不等关系，结合一次函数增减性求解最值，这类题型贴合生活实际，侧重考察学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 题中有两个未知量：十八学士和状元红的单价，同时给出两次购买的总费用两个等量关系，因此可通过设两个未知数，列二元一次方程组求解两种花的单价。
(2) 要找总费用最少的购买方案，首先建立总费用关于购买数量的一次函数表达式，再根据“十八学士的盆数不能多于状元红盆数的$\frac{5}{3}$”的限制条件列不等式，求出自变量的取值范围，最后结合一次函数的增减性，即可判断出总费用最小时对应的购买方案。
【解析】
(1) 设十八学士的单价为$x$元，状元红的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x + 5y = 700 \\8x + 15y = 1220\end{cases}$
将第一个方程两边同乘3得$30x+15y=2100$，减去第二个方程得$22x=880$，解得$x=40$；把$x=40$代入$10x+5y=700$，得$400+5y=700$，解得$y=60$。
(2) 设购买总费用为$w$元，购买状元红$a$盆，则购买十八学士$(80-a)$盆。
总费用表达式为：$w = 60a + 40(80 - a) = 20a + 3200$
根据题意列不等式：$80 - a ≤ \frac{5}{3}a$
两边同乘3得$240 - 3a ≤5a$，移项合并得$8a≥240$，解得$a≥30$
在一次函数$w=20a+3200$中，$k=20＞0$，因此$w$随$a$的增大而增大，所以当$a$取最小值30时，$w$最小。
此时$80-a=80-30=50$，最小费用为$w=20×30 + 3200=3800$元。
【答案】
(1) 十八学士的单价为40元，状元红的单价为60元；
(2) 购买状元红30盆、十八学士50盆时总费用最少，最少费用为3800元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的最值
【点评】
本题属于方案优化类实际应用题，解题核心是准确提炼题干中的等量关系与不等关系，结合一次函数增减性求解最值，这类题型贴合生活实际，侧重考察学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+m$ 交 $x$ 轴于点 $A(4,0)$,交 $y$ 轴正半轴于点 $B$,过点 $A$ 的直线交 $y$ 轴负半轴于点 $C$,且 $BC=AB$.
(1)求 $m$ 的值和点 $C$ 的坐标.
(2)点 $P$ 为线段 $AB$(不含 $A,B$ 两点)上的动点,过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交线段 $AC$ 于点 $Q$,连接 $OP,OQ$,记四边形 $APOQ$ 的面积为 $S$.设点 $P$ 的横坐标为 $t$,当 $S=\dfrac{15}{2}$ 时,求点 $P$ 的坐标.
(1)求 $m$ 的值和点 $C$ 的坐标.
(2)点 $P$ 为线段 $AB$(不含 $A,B$ 两点)上的动点,过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交线段 $AC$ 于点 $Q$,连接 $OP,OQ$,记四边形 $APOQ$ 的面积为 $S$.设点 $P$ 的横坐标为 $t$,当 $S=\dfrac{15}{2}$ 时,求点 $P$ 的坐标.
答案
(1) 把点$A(4,0)$代入$y = -\frac{3}{4}x + m$，得$0 = -3 + m$，解得$m = 3$，$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$。令$x = 0$，得$y = 3$，$\therefore B(0,3)$，$\therefore OB = 3$。$\because A(4,0)$，$\therefore OA = 4$。在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = 5$。$\because BC = AB = 5$，$\therefore OC = BC - OB = 2$。$\because$ 点$C$在$y$轴的负半轴上，$\therefore C(0,-2)$。
(2) 设$P(t, -\frac{3}{4}t + 3)$，设直线$AC$的表达式为$y = kx + b$，由题意得$\begin{cases}0 = 4k + b, \\-2 = b,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k = \frac{1}{2}, \\b = -2,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AC$的表达式为$y = \frac{1}{2}x - 2$。由条件可知$Q(t, \frac{1}{2}t - 2)$，$\therefore PQ = -\frac{3}{4}t + 3 - (\frac{1}{2}t - 2) = 5 - \frac{5}{4}t$，$\therefore S_{\mathrm{四边形}APOQ} = S_{△ AOP} + S_{△ AOQ} = \frac{1}{2}AO · PQ = \frac{1}{2}×4×(5 - \frac{5}{4}t) = \frac{15}{2}$，解得$t = 1$，$\therefore -\frac{3}{4}t + 3 = -\frac{3}{4}×1 + 3 = \frac{9}{4}$，$\therefore P(1, \frac{9}{4})$。
(2) 设$P(t, -\frac{3}{4}t + 3)$，设直线$AC$的表达式为$y = kx + b$，由题意得$\begin{cases}0 = 4k + b, \\-2 = b,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k = \frac{1}{2}, \\b = -2,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AC$的表达式为$y = \frac{1}{2}x - 2$。由条件可知$Q(t, \frac{1}{2}t - 2)$，$\therefore PQ = -\frac{3}{4}t + 3 - (\frac{1}{2}t - 2) = 5 - \frac{5}{4}t$，$\therefore S_{\mathrm{四边形}APOQ} = S_{△ AOP} + S_{△ AOQ} = \frac{1}{2}AO · PQ = \frac{1}{2}×4×(5 - \frac{5}{4}t) = \frac{15}{2}$，解得$t = 1$，$\therefore -\frac{3}{4}t + 3 = -\frac{3}{4}×1 + 3 = \frac{9}{4}$，$\therefore P(1, \frac{9}{4})$。
解析
【分析】
(1) 求m的值可直接将点A(4,0)代入直线AB的解析式求解；得到m后可求出点B的坐标，再利用勾股定理计算AB的长度，结合BC=AB以及点C在y轴负半轴的位置，即可求出点C的坐标。
(2) 点P横坐标为t，根据直线AB的解析式可直接写出P点坐标；先求直线AC的解析式，由于PQ平行于y轴，因此Q点横坐标也为t，代入AC解析式可得Q点坐标；PQ的长度为P、Q两点纵坐标的差，四边形APOQ的面积可拆分为△AOP和△AOQ的面积之和，两个三角形均以OA为底，高的和等于PQ的长度，据此列方程求解t，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(4,0)$代入$y = -\dfrac{3}{4}x + m$，得：
$0 = -\dfrac{3}{4} × 4 + m$，解得$m=3$。
∴直线AB的解析式为$y = -\dfrac{3}{4}x + 3$。
令$x=0$，得$y=3$，
∴点$B(0,3)$，$OB=3$。
∵$A(4,0)$，
∴$OA=4$。
在$\mathrm{Rt}△AOB$中，由勾股定理得：$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵$BC=AB=5$，点C在y轴负半轴，
∴$OC = BC - OB = 5 - 3 = 2$，
∴$C(0,-2)$。
(2)
∵点P在线段AB上，横坐标为t，
∴$P(t, -\dfrac{3}{4}t + 3)$（$0＜t＜4$）。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(4,0)$、$C(0,-2)$代入得：
$\begin{cases} 0 = 4k + b \\ -2 = b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = \dfrac{1}{2} \\ b = -2 \end{cases}$。
∴直线AC的解析式为$y = \dfrac{1}{2}x - 2$。
∵PQ平行于y轴，
∴Q点横坐标也为t，代入AC解析式得$Q(t, \dfrac{1}{2}t - 2)$。
∴PQ的长度为：$(-\dfrac{3}{4}t + 3) - (\dfrac{1}{2}t - 2) = 5 - \dfrac{5}{4}t$。
四边形$APOQ$的面积$S = S_{△AOP} + S_{△AOQ} = \dfrac{1}{2} · OA · PQ$。
代入$S=\dfrac{15}{2}$、$OA=4$得：
$\dfrac{1}{2} × 4 × (5 - \dfrac{5}{4}t) = \dfrac{15}{2}$
解得$t=1$。
将$t=1$代入P点纵坐标得：$-\dfrac{3}{4} × 1 + 3 = \dfrac{9}{4}$。
【答案】
(1) $m=3$，$C(0,-2)$；
(2) $P(1, \dfrac{9}{4})$
【知识点】
一次函数解析式求解，勾股定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合题，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式，学会用割补法将不规则四边形的面积转化为易求的三角形面积之和，同时要注意坐标与线段长度的转化关系。
【难度系数】
0.65
(1) 求m的值可直接将点A(4,0)代入直线AB的解析式求解；得到m后可求出点B的坐标，再利用勾股定理计算AB的长度，结合BC=AB以及点C在y轴负半轴的位置，即可求出点C的坐标。
(2) 点P横坐标为t，根据直线AB的解析式可直接写出P点坐标；先求直线AC的解析式，由于PQ平行于y轴，因此Q点横坐标也为t，代入AC解析式可得Q点坐标；PQ的长度为P、Q两点纵坐标的差，四边形APOQ的面积可拆分为△AOP和△AOQ的面积之和，两个三角形均以OA为底，高的和等于PQ的长度，据此列方程求解t，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(4,0)$代入$y = -\dfrac{3}{4}x + m$，得：
$0 = -\dfrac{3}{4} × 4 + m$，解得$m=3$。
∴直线AB的解析式为$y = -\dfrac{3}{4}x + 3$。
令$x=0$，得$y=3$，
∴点$B(0,3)$，$OB=3$。
∵$A(4,0)$，
∴$OA=4$。
在$\mathrm{Rt}△AOB$中，由勾股定理得：$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵$BC=AB=5$，点C在y轴负半轴，
∴$OC = BC - OB = 5 - 3 = 2$，
∴$C(0,-2)$。
(2)
∵点P在线段AB上，横坐标为t，
∴$P(t, -\dfrac{3}{4}t + 3)$（$0＜t＜4$）。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(4,0)$、$C(0,-2)$代入得：
$\begin{cases} 0 = 4k + b \\ -2 = b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = \dfrac{1}{2} \\ b = -2 \end{cases}$。
∴直线AC的解析式为$y = \dfrac{1}{2}x - 2$。
∵PQ平行于y轴，
∴Q点横坐标也为t，代入AC解析式得$Q(t, \dfrac{1}{2}t - 2)$。
∴PQ的长度为：$(-\dfrac{3}{4}t + 3) - (\dfrac{1}{2}t - 2) = 5 - \dfrac{5}{4}t$。
四边形$APOQ$的面积$S = S_{△AOP} + S_{△AOQ} = \dfrac{1}{2} · OA · PQ$。
代入$S=\dfrac{15}{2}$、$OA=4$得：
$\dfrac{1}{2} × 4 × (5 - \dfrac{5}{4}t) = \dfrac{15}{2}$
解得$t=1$。
将$t=1$代入P点纵坐标得：$-\dfrac{3}{4} × 1 + 3 = \dfrac{9}{4}$。
【答案】
(1) $m=3$，$C(0,-2)$；
(2) $P(1, \dfrac{9}{4})$
【知识点】
一次函数解析式求解，勾股定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合题，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式，学会用割补法将不规则四边形的面积转化为易求的三角形面积之和，同时要注意坐标与线段长度的转化关系。
【难度系数】
0.65
