5. 如图,在矩形ABCD中,AD=4,DC=6,点H在边AD上,AH=1,点E为边AB上的动点,连接HE.以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG,使点G落在边DC上,连接CF.
(1)当菱形HEFG为正方形时,求DG的长.
(2)在点E的运动过程中,求△FCG的面积的最小值.

(1) 当菱形$HEFG$为正方形时，，$\therefore ∠ EHG = 90°, GH = EH$。$\because$ 四边形$ABCD$为矩形，且$AD = 4, DC = 6$，$\therefore ∠ D = ∠ A = 90°$，$AB = DC = 6$。在$\mathrm{Rt}△ DHG$中，$∠ DHG + ∠ DGH = 90°$，又$\because ∠ AHE + ∠ DHG = 180° - ∠ EHG = 90°$，$\therefore ∠ DGH = ∠ AHE$。在$△ DHG$和$△ AEH$中，$\begin{cases}∠ D = ∠ A = 90°, \\∠ DGH = ∠ AHE, \\GH = EH,\end{cases}$ $\therefore △ GDH ≌ △ HAE(\mathrm{AAS})$，$\therefore DG = AH = 1$。
(2) 如图2，过点$F$作$FM ⊥ DC$，交$DC$的延长线于点$M$，连接$GE$，，$\therefore ∠ M = 90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB // CD, ∠ A = 90°, AB = CD = 6$，$\therefore ∠ AEG = ∠ MGE, ∠ A = ∠ M = 90°$。$\because$ 四边形$HEFG$为菱形，$\therefore HE // GF, HE = GF$，$\therefore ∠ HEG = ∠ FGE$，$\therefore ∠ AEG - ∠ HEG = ∠ MGE - ∠ FGE$，$\therefore ∠ AEH = ∠ MGF$。
在$△ AHE$和$△ MFG$中，$\begin{cases}∠ A = ∠ M = 90°, \\∠ AEH = ∠ MGF, \\HE = GF,\end{cases}$
$\therefore △ AHE ≌ △ MFG(\mathrm{AAS})$，$\therefore FM = HA = 1$，即无论菱形$EFGH$如何变化，点$F$到直线$CD$的距离始终为定值1，$\therefore S_{△ FCG} = \frac{1}{2}FM · CG = \frac{1}{2}×1 · CG = \frac{1}{2}CG$，$\therefore$ 当$CG$最小时，$△ FCG$的面积最小。$\because CG = CD - DG = 6 - DG$，$\therefore$ 当$DG$最大时，$CG$最小。在$\mathrm{Rt}△ DGH$中，$DH = AD - AH = 3$，由勾股定理，得$DG = \sqrt{HG^2 - DH^2} = \sqrt{HE^2 - 9}$，$\therefore$ 当$HE$最大时，$DG$最大。在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，$AH = 1$，由勾股定理，得$HE = \sqrt{AH^2 + AE^2} = \sqrt{1 + AE^2}$，$\therefore$ 当$AE$最大时，$HE$最大。$\because$ 点$E$为边$AB$上的动点，$\therefore AE ≤ AB = 6$，$\therefore AE$的最大值为6，此时点$E$与点$B$重合，即当$AE = 6$时，$HE$最大。如图3所示，，在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，由勾股定理，得$HE = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{37}$，此时$DG = \sqrt{HE^2 - 9} = \sqrt{(\sqrt{37})^2 - 9} = 2\sqrt{7}$，$\therefore CG = CD - DG = 6 - 2\sqrt{7}$，此时$S_{△ FCG} = \frac{1}{2}CG = 3 - \sqrt{7}$，$\therefore △ FCG$的面积的最小值为$3 - \sqrt{7}$。

【分析】
(1) 求解第一问时，先结合正方形的性质得到边相等、内角为直角，再利用矩形的内角为直角的性质，通过同角的余角相等得到一组对应角相等，证明两个直角三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等即可求出DG的长度。
(2) 求解第二问时，△FCG的面积以CG为底，先过F作DC的垂线构造全等三角形，可证明点F到CD的距离为定值，因此面积大小仅由CG的长度决定；再将CG的最小值转化为DG的最大值，结合勾股定理，DG的最大值可转化为HE的最大值，HE的最大值对应AE的最大值（即E与B重合时），最后代入计算即可得到面积的最小值。
【解析】
(1) 当菱形$HEFG$为正方形时，，$\therefore ∠ EHG = 90°, GH = EH$。$\because$ 四边形$ABCD$为矩形，且$AD = 4, DC = 6$，$\therefore ∠ D = ∠ A = 90°$，$AB = DC = 6$。在$\mathrm{Rt}△ DHG$中，$∠ DHG + ∠ DGH = 90°$，又$\because ∠ AHE + ∠ DHG = 180° - ∠ EHG = 90°$，$\therefore ∠ DGH = ∠ AHE$。在$△ DHG$和$△ AEH$中，$\begin{cases}∠ D = ∠ A = 90°, \\∠ DGH = ∠ AHE, \\GH = EH,\end{cases}$ $\therefore △ GDH ≌ △ HAE(\mathrm{AAS})$，$\therefore DG = AH = 1$。
(2) 如图2，过点$F$作$FM ⊥ DC$，交$DC$的延长线于点$M$，连接$GE$，，$\therefore ∠ M = 90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB // CD, ∠ A = 90°, AB = CD = 6$，$\therefore ∠ AEG = ∠ MGE, ∠ A = ∠ M = 90°$。$\because$ 四边形$HEFG$为菱形，$\therefore HE // GF, HE = GF$，$\therefore ∠ HEG = ∠ FGE$，$\therefore ∠ AEG - ∠ HEG = ∠ MGE - ∠ FGE$，$\therefore ∠ AEH = ∠ MGF$。
在$△ AHE$和$△ MFG$中，$\begin{cases}∠ A = ∠ M = 90°, \\∠ AEH = ∠ MGF, \\HE = GF,\end{cases}$
$\therefore △ AHE ≌ △ MFG(\mathrm{AAS})$，$\therefore FM = HA = 1$，即无论菱形$EFGH$如何变化，点$F$到直线$CD$的距离始终为定值1，$\therefore S_{△ FCG} = \frac{1}{2}FM · CG = \frac{1}{2}×1 · CG = \frac{1}{2}CG$，$\therefore$ 当$CG$最小时，$△ FCG$的面积最小。$\because CG = CD - DG = 6 - DG$，$\therefore$ 当$DG$最大时，$CG$最小。在$\mathrm{Rt}△ DGH$中，$DH = AD - AH = 3$，由勾股定理，得$DG = \sqrt{HG^2 - DH^2} = \sqrt{HE^2 - 9}$，$\therefore$ 当$HE$最大时，$DG$最大。在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，$AH = 1$，由勾股定理，得$HE = \sqrt{AH^2 + AE^2} = \sqrt{1 + AE^2}$，$\therefore$ 当$AE$最大时，$HE$最大。$\because$ 点$E$为边$AB$上的动点，$\therefore AE ≤ AB = 6$，$\therefore AE$的最大值为6，此时点$E$与点$B$重合，即当$AE = 6$时，$HE$最大。如图3所示，，在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，由勾股定理，得$HE = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{37}$，此时$DG = \sqrt{HE^2 - 9} = \sqrt{(\sqrt{37})^2 - 9} = 2\sqrt{7}$，$\therefore CG = CD - DG = 6 - 2\sqrt{7}$，此时$S_{△ FCG} = \frac{1}{2}CG = 3 - \sqrt{7}$，$\therefore △ FCG$的面积的最小值为$3 - \sqrt{7}$。
【答案】
(1) $DG=1$
(2) $△ FCG$的面积的最小值为$3-\sqrt{7}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质和最值问题的求解，解题的关键是通过构造全等三角形确定点F到CD的距离为定值，将面积最值问题转化为线段最值问题，渗透了转化的数学思想，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6